重庆市杨家坪中学2023-2024学年高二数学上学期9月测试试题（Word版附解析）

重庆市杨家坪中学高2025届高二（上）九月测试

数学试题

（满分150分，时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂思.如简改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意利用点斜式求直线的方程．

【详解】解：过点且与直线平行的直线方程式为，

即，

故选：．

【点睛】本题主要考查用点斜式求直线的方程,考查直线与直线平行条件的应用，属于基础题．

2. 过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据两直线的垂直可得出斜率得关系，即可点斜式得出直线方程.

【详解】因为直线的斜率，

所以过点且垂直于直线的直线方程为，

即.

故选：B

3. 若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解.

【详解】依题意得，，；

所以，

故选：B.

4. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面垂直得到线线垂直，进而得到三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，求出长方体体对角线的长，得到该球的半径和体积.

【详解】因为平面，平面，

所以，

又，

所以两两垂直，

所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，

即该球的直径为长方体体对角线的长，

因为，

所以，

所以该球的半径为2，体积为.

故选：C

5. 如果，那么直线不经过的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可.

【详解】由可得，,

所以直线的斜率纵截距，

所以直线经过一、二、四象限，

故选:C

6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

7. 如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】因为，所以，所以，

又点N为BC中点，所以，

所以.

故选：B.

8. 若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，结合余弦函数的值域求出直线斜率的范围，再利用斜率的定义求解作答.

【详解】直线的斜率，显然此直线倾斜角，

因此或，解得或，

所以直线的倾斜角的取值范围为.

故选：C

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 正方体的截面可能是

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 菱形 D. 正六边形

【答案】CD

【解析】

【分析】如图所示截面为三角形ABC，设OA=a，OB=b，OC=c，应用余弦定理，证明是锐角三角形；如图，取相对棱的中点和相对顶点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形．

【详解】 

如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，

∴，

∴

∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形，

∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，

不可能是钝角三角形和直角三角形，A、B错误；

若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，

但不可能是直角梯形，C正确；

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，

如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查正方体截面问题，考查空间想象能力，属于中等难度.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 过两点的直线方程为

B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

C. 点关于直线的对称点为

D. 直线必过定点

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,根据两点式直线方程的使用条件判断即可;对于B,求出直线分别在轴和轴上的截距,再用三角形面积公式求解即可;对于C,设点关于直线的对称点为,列方程组求解即可;对于D,将直线可转化为即可进行判断.

【详解】对于A,当或时,不存在选项中的两点式直线方程,故A错误;

对于B,直线在轴上的截距为,在轴上的截距为,所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是,故B正确;

对于C,设点关于直线的对称点为,

则,解得,

即点关于直线的对称点为,故C错误;

对于D,直线可转化为,过定点,故D正确.

故选:BD.

11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，点与点在同一平面内，则点到点的距离可能为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用等体积法计算点到平面BDE的距离d，则点到点P的距离可能值大于等于d，再结合选项即可.

【详解】连接，如图，

因为E为的中点，则E也为的中点.

由题意，，且，故四边形为平行四边形，

故，

故

又，

故，

设点到平面BDE的距离为d，则，解得，

又点P与点B，D，E在同一平面内，则点到点的距离大于等于，

选项中BCD满足.

故选：BCD

12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（    ）

A. 若平面，则为的中点

B. 若为的中点，则三棱锥的体积为

C. 平面与平面的夹角为

D. 若，则直线与平面所成角的正弦值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，利用线面平行的性质定理证明即可；B选项，利用割补的思路得到，然后求体积即可；C选项，利用几何法找出二面角的平面角，然后求三角函数值即可判断；D选项，根据得到，在中利用余弦定理即可求出，再利用等体积的思路求出点到平面的距离，即可得到直线与平面所成角的正弦值.

【详解】 

对A，因为平面，平面，平面平面，

所以，因为正方形，所以为中点，

又，所以为中点，故A正确；

对B，取中点，连接，

因为为等边三角形，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，可得，

因为为中点，所以点到平面的距离为，

所以，

故B正确；

对C，取中点，连接，，因为为等边三角形，

所以，

因为底面是正方形，

，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，因为平面，

所以，又，所以平面，

因平面，

所以，又，平面平面，

所以为二面角，，

故二面角不是，故C错误；

对D，由题意，，

因为，所以，

因为为等腰三角形，可求得，

在中，由余弦定理可得

，解得，

在中，，，所以高，

设点到平面的距离为，利用等体积法，，

所以，

解得 ，

所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确.

故选：ABD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据直线的点斜式,再分别求出截距，计算面积及即得；

【详解】由题可得直线l方程为，即；

令，则,令，则,

则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，

故答案为: .

14. 如图，正方的棱长为2，若空间中的动点P满足，若，则二面角的平面角的大小为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据几何法求解二面角的平面角，即可求解大小.

【详解】若，则为正方体的体对角线的交点，即为正方体的中心，

因此平面即为平面，

平面，平面，，，

是二面角的平面角，

在等腰直角三角形中，，

故二面角的平面角为，

故答案为：

15. 如图，圆锥的高，底面⊙的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的余弦值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】设点到平面的距离为,设直线和平面所成角为，则由等体积法有：，即，,，于是，故答案为.

16. 如图，在直三棱柱中，，，是上一点，且，是中点，是上一点，当时，平面，则三棱柱外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】本题首先可以根据平面得出，然后根据得出以及，故球心到平面的距离，再然后根据以及得出外接圆的半径为，最后根据即可求出的值以及外接球的表面积.

【详解】

如图，连接交于，连接，

因为平面，平面，平面平面，

所以，

因为，所以，则，

因为，

所以外接球的球心到平面的距离为，

因为，，

所以外接圆的半径为，

故所求外接球的半径为，其表面积为，

故答案为：.

【点睛】本题考查三棱柱外接球表面积的求法，考查根据线面平行证明线线平行，考查三角形相似的应用，考查利用正弦定理求三角形外接圆半径，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，是中档题.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知三角形的三个顶点是.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求边上的高所在直线的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程，

（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.

【小问1详解】

由题意可得,

由斜截式可得直线方程为；

【小问2详解】

,所以边上的高所在直线的斜率为，

由点，所以边上的高所在直线方程为.

18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为的中点，.

（1）证明：平面平面；

（2）若与所成角为，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得；

（2）由题可得为与所成角，又由条件可得平面，可得，进而利用棱锥体积公式即得.

【小问1详解】

∵，分别为的中点，

∴，又，，

∴平面，又平面，

∴平面平面，

【小问2详解】

连接，由，

∴平行四边形，

∴，

所以是异面直线所成的角，

则，

所以，

因为分别为的中点，

所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，为，

则.

19. 已知直线和直线．

（Ⅰ）当时，若，求a的值；

（Ⅱ）若，求的最小值．

【答案】（1）；（2）2

【解析】

分析】

（1）通过l1∥l2，斜率相等，截距不相等，推出关系式，然后求b的取值范围；
（2）利用l1⊥l2，得到，然后利用基本不等式求|ab|的最小值．

【详解】（1）直线：和直线：，

∵l1∥l2，，且，

即，且，

若，则，

整理可得，解得.

（2）由，当任一直线斜率不存在时，显然不成立，

，

，

，

又∵，

，

当且仅当，即时等号成立，

∴

的最小值为2.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系、垂直关系，关键是熟记两直线平行时：系数满足；两直线垂直时，系数满足：，考查了计算能力.

20. 如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.

（1）请用表示；

（2）求证：三点共线.

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，

（2）根据空间向量的线性运算用基底表示，即可根据向量共线证明.

【小问1详解】

．

【小问2详解】

；

则，

又有公共起点，，，三点共线．

21. 如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面

（1）求证：;

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）详见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据条件及面面垂直的性质定理可得⊥平面，进而即得；

（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得平面平面，即得.

【小问1详解】

因为,,是的中点，

所以，

，又，

∴在中 ，，

所以，

∵平面⊥平面，且是交线，平面，

∴⊥平面，

∵平面，

∴；

【小问2详解】

由题可知，

又，平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

即二面角的大小为.

22. 已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点．

（1）证明：；

（2）若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.

【小问1详解】

取的中点，连接、，

因为、分别为、的中点，则，

因为，所以，，

设直线与直线交于点，

因为，则，，所以，，

所以，，故，

设，则，，

所以，，

且，，

所以，，所以，，

又因为，、平面，则平面，

因为平面，故.

【小问2详解】

因为，，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，则、、、、，

设平面的法向量为，则，，

则，取，则，

设，其中，

，

因为直线与平面所成角的正弦值为，