2022.10房山实验中学高一期中数学试卷及答案

这是一份2022.10房山实验中学高一期中数学试卷及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
房山区实验中学期中考试试题 一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B．或C． D．或2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）A． B．C． D．3．已知数列满足为其前n项和.若，则（    ）A．20 B．30 C．31 D．624．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（    ）A． B． C． D．5．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则与分别等于（    ）A．1， B．1， C．2， D．2，6．在中，，若，则的大小是（    ）A． B． C． D．7．函数的定义域为，则“，”是“函数为偶函数”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为9．已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（    ）．A． B． C． D．10．已知函数，在下列结论中：①是的一个周期；②在上单调递减；③的图象关于直线对称；④的图象关于点对称.正确结论的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．复数的虚部是___________.12．已知，则________.13．已知函数，若对任意都有（c为常数），则常数m的一个取值为_________．14．已知O为坐标原点，点，，则的面积为_____________．15．设当时，函数取得最大值，则______. 三、解答题16．函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.17．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．18．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面积.条件①：；条件②：.19．已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．(1)求的解析式；(2)设，求函数在上的单调递增区间．条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 20．已知：函数.（1）求；（2）求证：当时，；（3）若对恒成立，求实数的最大值.21．在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；（3）设，，求的值.（用表示）
参考答案：1．B【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵或，，∴或，故选：B.2．D【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性以及函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上不单调；对于B选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，且该函数在上单调递减；对于C选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；对于D选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，，故函数在上为增函数.故选：D.3．C【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.【详解】因为，所以为等比数列，且，又，所以，则.故选：C.4．A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.5．D【分析】根据函数周期求出，根据特殊值计算的值．【详解】解：由图象可知的周期为，，解得．由图象可知，即，，．，又，．故选：D．6．C【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项.【详解】因为，所以，由余弦定理可知，即，得，所以是等边三角形，.故选：C7．B【分析】分充分性和必要性进行讨论：充分性：取特殊函数进行判断；必要性：根据函数为偶函数，直接证明.【详解】充分性：取函数符合条件，但不是偶函数，所以充分性不满足.必要性：函数为偶函数，则有，所以恒成立，所以必要性满足.选B.8．D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.9．D【详解】试题分析：∵函数只有一个零点，∴ 与只有一个交点，图象如图所示，∴k的取值范围是 ． 考点：函数零点问题．10．C【分析】利用判定①错误；利用导数的符号判定②正确；通过证明判定③正确；通过证明判定④正确.【详解】对于①：因为，所以不是的一个周期，即①错误；对于②：当时，，，所以，，，则，即，所以在上单调递减，即②正确；对于③：因为，且，所以，即的图象关于直线对称，即③正确；对于④：因为，且，所以，即的图象关于直线对称，故④正确；即正确结论个数为3个.故选：C.11．【分析】根据复数四则运算及复数的定义即可求解.【详解】因为，所以复数的虚部是.故答案为：.12．-3.【分析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程．【详解】因为，所以．【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．13．（答案不唯一，只要是即可）【分析】先根据函数的对称性得到，再根据诱导公式求出都可满足条件.【详解】函数中心对称点都在x轴上，所以，所以对任意恒成立，，所以，故利用诱导公式得都可满足条件.故答案为：（答案不唯一，只要是即可）【点睛】正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.14．##【分析】由题意，得，计算，，再利用三角形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意，可得，，，所以故答案为：15．；【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 16．（1），，；（2）最大值0，最小值.【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值.（1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.（2）因为，所以，于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值.考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 17．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.18．(1)(2)， 【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，（1）选择条件①因为，，，由余弦定理，得，化简得，解得或（舍）.所以；选择条件②因为，，所以，因为，，所以，由正弦定理得，得，解得；（2）选择条件①因为，，所以.由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以为锐角，所以，所以，选择条件②由（1）知，，又因为，，在中，，所以因为所以，所以19．(1)；(2) 【分析】（1）先由降幂公式得，故为奇函数，排除条件②，若选①③，不唯一，不合题意；若选①④由及周期解出即可；若选③④由最大值及周期解出即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出，再令解出单调区间，最后写出在上的单调递增区间即可.（1），易知为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则且，故，，解得，故不唯一，不合题意；若选①④，且，故，解得，，存在且唯一，故；若选③④，则且，故，解得，，故，存在且唯一，故；（2），令，解得，当时，，当时，，故函数在上的单调递增区间为.20．（1）0；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.【详解】  （1）；（2）令，则， 当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以， 所以.（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则.易知，即在单调递增，所以，所以， 故在单调递减，所以.  综上所述，的最大值为 .【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.21．（1），，；（2）；（3）．【详解】试题分析：（1）根据使得成立的 的最大值为， ，则， ，则， ，则，这样就写出 ，， 的值；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值． 试题解析：（1） ，，. （2）由题意，得，结合条件，得. 又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，. 设，则.假设，即，则当时，；当时，.所以，.因为为等差数列，所以公差，所以，其中.这与矛盾，所以. 又因为，所以，由为等差数列，得，其中. 因为使得成立的的最大值为，所以，由，得. （3）设，因为，所以，且 ，所以数列中等于1的项有个，即个；设，则， 且，所以数列中等于2的项有个，即个； 以此类推，数列中等于的项有个. 所以.即.