湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

南雅中学2023年下期第一次月考试题

高二数学

时量：120分钟  分值：150分

命题人：王磊庭、刘德志     审题人：黄知清

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ）

A．1 B．1或4 C．1或3 D．4

2．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

3．若直线：与直线：互相垂直，则a的值为（    ）

A．-1 B．1 C． D．2

4．点P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（    ）

A．1 B．4 C．5 D．6

5．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．在中，，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．棱长为6的正方体内有一个棱长为m的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则m的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

8．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则||的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合符合题目要求；全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．如果，，那么直线经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．在下列四个命题中，错误的有（    ）

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角

B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为90°

C．直线的倾斜角的取值范围是

D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险：乙，两全保险：丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（    ）

A．18-29周岁人群参保总费用最少 B．丁险种更受参保人青睐

C．54周岁以上的参保人数最少 D．30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%

12．已知点P在圆O：上，点，，则（    ）

A．满足的点P有1个

B．点P到直线AB的距离最大值为

C．过点B作圆O的两切线，切点分别为M、N，则直线MN的方程为

D．的最小值是

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的21样本，则抽取男运动员的人数为______．

14．直线l：与圆C：有公共点，则实数a的取值范围是______．

15．若一条过原点的直线被圆所截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为______．

16．过直线l：上任一点P向圆C：作两条切线切点分别为A，B线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为______．

四、解答题（本题共6个小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）已知直线l经过点，且斜率为．

（1）求直线l的方程；

（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．

18．（本小题满分12分）已知圆C关于直线对称，且过点和原点O．

（1）求圆C的方程；

（2）设点，求过点Q与圆C相切的直线方程．

19．（本小题满分12分）如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．

（1）求证．；

（2）求点B到平面EAC的距离；

20．（本小题满分12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）求样本成绩的第75百分位数；

（3）已知落在的平均成绩是54，落在的平均成绩为66，求落在的平均成绩．

21．（本小题满分12分）已知圆C：和定点，直线l：．

（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；

（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围．

22．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且；

（1）求点P的轨迹方程；

（2）点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．

南雅中学2023年下期第一次月考试题

高二数学

时量：120分钟  分值：150分

命题人：王磊庭、刘德志    审题人：黄知清

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】D

【详解：】因为直线：与直线：互相垂直，

所以，解得；故选：D

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】C

【详解】由题意知，当正四面体在正方体的内切球内，正四面体可以在正方体内任意转动，故该正四面体内接于球时，其棱长最长，因为正方体的棱长为6，则其内切球的半径为3，如图所示，

设正四面体为，为底面ABC的中心，正四面体外接球的球心为O，连接、、，则面ABC，

则，，又，

所以在中，，解得：．故选：C．

8．【答案】A

【详解】因为，所以点C在圆O：的内部或圆周上，

又动点P满足，

所以当A，C，P三点不重合时，点P的轨迹是以为AC直径的圆，如图：

当点C在圆O内时，延长AC交圆O于点D，设AB的中点为M，AD的中点为N，

则，，，

当点C在圆O上时，M，N两点重合，C，D两点重合，所以，当且仅当点C在圆O上时取等号，则，当且仅当O，M，P三点共线时取等号，

因为，当且仅当M，N重合时取等号，因为，所以，

所以，当且仅当时取等号，此时，

所以，当且仅当O，M，P三点共线且点C在圆与y轴的交点处时取等号，

所以的最大值为，故选：A．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合符合题目要求；全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得分0．）

9．【答案】ACD

10【答案】BD

11．【答案】ABC

12．【答案】BCD

【详解】对A，设点，则，且，，由题意

，

两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，，于是，即两圆相交，满足这样条件的P点2有个．A错误：

对B，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．B正确；

对C，设，，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，

所以，，于是M，N都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；

对D，即求的最小值，设存在定点，使得点P在圆O上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，

则有，即，∴，，

所以，所以D正确．

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13．【答案】12

14．【答案】

15．【答案】60°或120°

16．【答案】

【详解】设点，则直线AB的方程为（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是），

注意到直线AB：，即，直线与的交点为．又，因此点Q的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心C坐标是，半径是．

又线段ON的中点到直线的距离等于，因此点Q

到直线l的距离的取值范围是．

故答案为：

四、解答题（本题共6个小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．解：（1）  （2）或

18．解：（1）圆C的方程为．  （2）或．

19．【答案】（1）证明见解析（2）

【详解】∵，M是AB的中点，∴，

∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，

∴平面ABCD，平面ABCD，∴．

（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，

∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，∴．

∴ME，MC，MB两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，，，，，，

设是平面ACE的一个法向量，

则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则，∴点B到平面EAC的距离为．

20．【答案】（1）  （2）84  （3）

【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1，

∴，

∴．

（2）成绩落在内的频率为，

落在内的频率为，

设第75百分位数为m，

由，得，故第75百分位数为84；

（3）由图可知，成绩在的市民人数为，

成绩在的市民人数为，

故．

所以两组市民成绩的总平均数是62，

21．【答案】（1）  （2）

【详解】（1）圆C：，圆心，半径，

当时，直线l的方程为，

所以圆心C到直线l的距离，

故弦长为．

（2）设，则，

由，，得．

化简得，

所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆．

又因为点M在直线l：上，

所以l与圆D有公共点，所以，

解得，所以m的取值范围是．

22．【答案】（1）  （2）过定点．

【详解】设点为曲线上任意一点，由几何关系得：，故点P的轨迹方程为：．

（2）由题意得，，设，则直线CE的方程为，

直线的方程为，联立，得，

则，即，，所以．

联立得，

则，即，，

所以．

①当时，直线MN的斜率，

则直线MN的方程为，即，所以，

②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点．

综上，直线MN恒过定点．