浙江省杭州市学军中学2020届高三数学下学期4月月考试题含解析

这是一份浙江省杭州市学军中学2020届高三数学下学期4月月考试题含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州市学军中学2020届高三数学下学期4月月考试题（含解析）一、选择题1.已知集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，再利用集合的基本运算求解.【详解】因为集合，，所以    故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若复数满足（其中i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】设根据复数满足，得到，再利用复数相等求解.【详解】设，.因为复数满足，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.已知直线，，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【详解】直线，，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4. 的部分图像大致为A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【详解】由题函数的定义域为，则是偶函数，排除C， 排除B，D，
故选A．【点睛】本题考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．5.已知随机变量有三个不同的取值，其分布列如下表，则的最大值为（    ）4Pm  A.  B. 6 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用分布列的性质求出m，然后求得期望的表达式，利用函数的导数求解最值.【详解】因为，所以，所以，所以，令，解得，当时，，当时，，所以当，取得最大值为：.故选：D【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.将函数的图象沿着x轴向左平移个单位后得到函数的图象，则下列直线方程可为的对称轴的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先化简函数为，再利用图象变换得到，然后验证即可.【详解】因为，则的图象沿着x轴向左平移个单位后得到函数，因为，故为的一条对称轴.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图形变换以及三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.已知在矩形中，，沿直线BD将△ABD折成，使得点在平面上射影在内（不含边界），设二面角的大小为，直线 ,与平面中所成的角分别为，则（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′=1，则BC=，∴A′C=1，说明O为BC的中点；当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′=1，则，∴A′E=，BE=．要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故选D．【点睛】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，考查了正弦函数单调性的应用，是中档题．8.已知双曲线的右焦点为， 以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为yx，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由，可知H为OQ的三等分点，用两种方式表示OH，即可得到双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为yx，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由F（c，0）到渐近线的距离为FH=db，∴PH=，又∴OH=即，∴故选D【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．9.已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，则下列判断中一定成立的是（  ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】方程的四个实根从小到大依次为函数与函数的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为，作函数与函数的图象如下，由图可知，，故，， 易知，即，即，即，即，又，，故，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .10.已知数列{an}满足：a1=0，（n∈N*），前n项和为Sn (参考数据： ln2≈0.693，ln3≈1.099)，则下列选项中错误的是（    ）A. 是单调递增数列，是单调递减数列 B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设，则有，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列都是单调数列，分别判定，即得单调性，数列与数列的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.【详解】由题可知，a1=0，，设，则有，即令，则，这里将视为上的前后两点，因函数单调递增，所以，所以数列都是单调数列又因为同理可知，，所以单调递增，单调递减因为数列与数列的单调性一致，所以单调递增，单调递减，故A选项正确；因为，则，欲证，即由，上式化为，显然时，，当时，，故成立；所以原不等式成立故B选项正确；欲证，只需证，即即，显然成立故，所以故C选项错误；欲证，因单调性一致则只需证，只需证因为，若，则；又因为，若，则；由数学归纳法有，则成立故D选项正确。故答案为：C【点睛】本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳法的证明，属于难题.二、填空题11.已知实数x，y满足，则的最大值是_______，最小值是_______．【答案】    (1). 12    (2). 【解析】【分析】由实数x，y满足，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，当直线在y轴上截距取得最大值，目标函数取得最大值，当直线在y轴上截距取得最小值，目标函数取得最小值.【详解】由实数x，y满足，画出可行域如图所示阴影部分： 将目标函数，转化为，平移直线，当直线经过点时，直线的在y轴上截距取得最大值，此时，目标函数取得最大值，最大值为12；当直线经过点，直线的在y轴上截距取得最小值，此时，目标函数取得最小值-1.故答案为：（1）12；（2）-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12.若二项式的展开式中各项系数之和为32，则_______，展开式中的系数为_______．【答案】    (1). 3    (2). 270【解析】【分析】根据二项式的展开式中各项系数之和为32，解得，然后再利用通项公式求得展开式中的系数.【详解】令得，，因为二项式的展开式中各项系数之和为32，所以，解得，所以，其通项公式：，令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：3，270【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13.如图为某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则该几何体的最长的棱长为_______．该几何体的表面积为_______．【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】由三视图可该几何体是一个四棱锥，其中一个侧面为等腰三角形，且垂直于底面，底面为直角梯形，根据几何体的体积为，求得几何体的高，然后求得各棱长和各面的面积.【详解】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥如图所示：其中平面PAB平面ABCD，为等腰三角形，底面为直角梯形，因为该几何体的体积为，所以，所以，，，所以该几何体的最长的棱长为，，所以该几何体的表面积为.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题主要考查三视图还原几何体以及几何体体积和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且b=1，则B=____；△ABC的面积为____.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.判断出，由此利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.【详解】依题意，由正弦定理得，解得，而，而，所以，则，所以，所以.故答案为：（1）；（2）【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.15.已知实数x，y满足，且．则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据，且，构造，再利用“1”的代换，转化为，利用基本不等式求解.【详解】因为，且，所以，，当且仅当，即取等号.所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.16.已知，函数的最小值为，则的取值范围是：______.【答案】【解析】【分析】计算，得到，，讨论，，三种情况，计算得到答案.【详解】，解得.，其中，.当时，，故，即，化简得到，故或；当时，，解得或.当时，，故，即，化简得到，故或.综上所述：.故答案为：. 【点睛】本题考查了根据函数最值求参数，意在考查学生计算能力和综合应用能力.17.若平面向量是两个单位向量，且，空间向量满足，，，则对任意的实数，，的最小值是_________．【答案】3【解析】【分析】将平方，结合，，，化简整理得到，再利用二次式的特点求解.【详解】因为是两个单位向量，且，，，，所以 ，，，，当且仅当取等号.所以的最小值是3.故答案为：3【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题18.已知中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．（I）求角A的大小;（II）若，的面积为，D为边BC的中点，求AD的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（I）根据，由正弦定理得到，再利用两角和与差的三角函数得到，从而得到求解. （II）根据，的面积为，利用正弦定理得到，再利用余弦定理解得 ，，然后在中求解.【详解】（I）因为，所以，所以，因为，，.（II）因为，的面积为，所以，由余弦定理得：，所以，所以，所以，所以AD的长度为．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，菱形ABCD中，，，O为线段CD的中点，将沿BO折到 的位置，使得，E为的中点．（1）求证:;（2）求直线AE与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据ABCD为菱形， ，得到为等边三角形，由O为线段CD的中点，得到，再由，得到，从而平面BOD，得到，又，从而平面即可得证. （2）由（1）知两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和的坐标，代入公式求解.【详解】（1）因为ABCD为菱形， ，所以为等边三角形，又O为线段CD的中点，所以，即折叠后有，因为，所以，而，所以，所以，所以平面BOD，又平面BOD,所以，又，所以，，所以平面，所以.（2）由（1）知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系：则，设平面的一个法向量为，则，所以，令，得，又因为，所以，所以直线AE与平面所成角的正弦值.【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化以及线面角的求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.已知数列的前n项和为，且满足，．（1）求的通项公式（2）数列满足，，求的通项公式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据数列通项与前n项和的关系，当时，由，得，两式相减得，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）知：，然后利用累加法求解.【详解】（1）因为时，由，得，两式相减得，当时，，有，所以数列是等比数列，所以.（2）因为，由（1）知：，所以，，当n为偶数时：当n为奇数时：综上：.【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的定义，累加法求通项以及裂项法的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.21.椭圆的右焦点为F到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且．（1）求椭圆E及抛物线G的方程;（2）过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A，B点，交抛物线于M，N两点，如图所示，请问是否存在实常数，使为常数，若存在，求出的值;若不存在，说明理由．【答案】（1）椭圆方程为，抛物线G的方程为；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆于抛物线的公共焦点，根据右焦点F到直线的距离为，得到，解得，再由，即，解得a，b即可. （2）设，直线l的方程与椭圆方程，抛物线方程分别联立，利用弦长公式分别求得 ，，代入分析求解.【详解】（1）设椭圆与抛物线的公共焦点，因为F到直线的距离为，所以，解得，所以，，因为，所以，所以，又，解得，所以椭圆方程为，抛物线G的方程为.（2）设，设直线l的方程为：，与椭圆方程联立消去y得：，所以，所以.直线l的方程与抛物线方程联立消去y得：，所以，所以，所以，要使为常数，则，解得.故存在使得为常数.【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线方程的求法以及直线与椭圆，直线与抛物线的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性;（2）若函数在区间上有两个极值点，，证明:．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据函数，求导，令，分，两种情况讨论求解. （2）由（1）得到， 求导，根据在区间上有两个极值点，，则有，可得，则，要证，即证：，转化为 ，构造函数，利用其单调性求解.【详解】（1）因为函数，所以，令，当，即时，，在上是增函数，当，即时，令，解得，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数.（2）因为， 所以，因在区间上有两个极值点，，所以，所以，不妨设，要证，即证：，即证：，即证：，令，所以，令，所以在成立，所以在在上是增函数，所以，所以在成立，所以在上是增函数，所以.所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值，导数法证明不等式，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.