专题05 整式重难点题型专训（十一大题型）-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

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专题05整式重难点题型专训【十一大题型】
【题型目录】
【知识梳理】

【经典题型一代数式的概念与书写方法】
【例1】（2023·江苏·七年级假期作业）在，1，，，中,代数式的个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可．
【详解】解：在，1，，，中，
代数式有：，1，，共4个，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式的概念．注意代数式中不含有关系符号，此为解题关键．

【变式训练】
1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据代数式的书写要求：
1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面；
2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数；
3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写；
4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式；
5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定．
【详解】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求；
B.正确的书写为或，故该选项不符合要求；
C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求；
D.正确的书写为，故该选项不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级期末）下列各式：①②③ ④ ⑤千克，不符合代数式书写要求的是（     ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据代数式书写要求判断即可．
【详解】解：①，不符合要求；
②，符合要求；
③=，不符合要求；
④符合要求；
⑤千克=千克，不符合要求；
因此有3个书写不符合要求，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键．
3．（2022秋·七年级课时练习）在，0，，，中，代数式有个.
【答案】3
【分析】代数式是指把数或表示数的字母用+、-、×、÷连接起来的式子，而对于带有=、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．
【详解】解：是不等式，不是代数式；是方程，不是代数式；
，0，，，是代数式，共3个.
故答案是：3.
【点睛】本题考查了代数式的定义，理解定义是关键．
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各式：，，，，其中符合代数式书写规范的有个．
【答案】2
【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案．
【详解】解：应该写成，
应该写成，
，符合书写规范，
综上所述，符合代数式书写规范的有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成；    
（2）S÷t应写成；
（3），应写成；
（4）, 应写成.
【答案】 5a
【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果．
（2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果．
（3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果．
（4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果．
【详解】解：（1）a×5=5a，
故答案为∶5a；
（2）S÷t=，
故答案为∶；
（3），
故答案为∶；
（4）
故答案为∶．
【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式?
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可．
【详解】解：（1）（4）（5）是代数式；
（2）（3）（6）不是代数式．
【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念．
7．（2022秋·上海·七年级专题练习）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示．
下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题：
（1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？
（2）下列情境：
①、两数的平均数为；
②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元；
③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶；
④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是．
上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号）
【答案】（1）长方形的长比正方形的边长大；（2）②③④
【分析】（1）分别表示长方形和正方形的边长，再作差即可得出结论；
（2）根据题意逐项列式，即可看出．
【详解】（1）


答：长方形的长比正方形的边长大．
（2）①，
②，
③，
④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了代数式的意义及列代数式，能够根据题意列出正确的代数式是解决问题的关键．



【经典题型二用字母表示数量关系】
【例2】（2022秋·福建宁德·七年级校考期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　）
A．78 B．87 C．23 D．12
【答案】A
【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案．
【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，
由题意得：，
整理得：，
即小明心里想的那个两位数是78，
故选：A．
【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键．

【变式训练】
1．（2022秋·北京·八年级北京四中校考阶段练习）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　）
A．x B．y C． D．
【答案】D
【分析】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后利用总路程除以总时间可得平均速度．
【详解】设从学校到家路程为s，
平均速度是：
；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握平均速度=路程÷时间．
2．（2023·上海·七年级假期作业）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（    ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
【答案】A
【分析】原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案．
【详解】由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元
∵m＞0，
∴m＞0.99m，
∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．
3．（2021·重庆·九年级专题练习）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是．
【答案】10a+11
【分析】先表示出十位上的数字，然后再表达出这个两位数的大小
【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a
∴十位数是1+a
∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11
故答案为：10a+11
【点睛】本题考查用字母表示数字，解题关键是：若十位数字为a，则应表示为10a
4．（2021·上海·九年级专题练习）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上增加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是元(用含m、a的代数式表示)
【答案】0.17am
【分析】根据题意可以用含a的代数式表示出超市获得的利润，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
超市获得的利润是：a(1+30%)×[m(1﹣10%)]﹣am＝0.17am(元)，
故答案为0.17am．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．（2022秋·七年级课时练习）设n为自然数，则奇数表示为，能被5整除的数为，被4除余3的数为．
【答案】或 5n
【分析】能被2整除的数是偶数，因此偶数通常可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为或；同理，能被5整除的数必含5这个因数；能被4除余3的数，应为4的倍数且加上3.
【详解】因为偶数中含有2这个因数，则偶数可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为或；能被5整除的数必含5这个因数，则能被5整除的数可表示为5n；能被4除余3的数可表示为4n+3.
故答案为或；5n；4n+3.
【点睛】本题考查了列代数式的知识点，熟练掌握所求的数的特征是解决本题的关键，属于基础题.注意：能被某数整除的数中必含有除数的因数.
6．（2022秋·七年级课时练习）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米．

(1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）．
【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米）
(2)498（元）

【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可；
（2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得．
【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2
即窗户的面积为（4a2πa2）米2．
15a+πa＝（15+π）a（米）
即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）．
（2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a
≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1
＝137.5+360
＝497.5
≈498（元），即制作这扇窗户需要498元．
【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏．
7．（2022秋·湖北襄阳·七年级统考期中）.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：

到C地
到D地
A地
每吨15元
每吨12元
B地
每吨10元
每吨9元
（1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥
为吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为元；
（2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子．
【答案】（1）20-x，240-x；（2）总运输费=2x+525．
【详解】解：（1）根据题意得出：
从A地运到D地的水泥为：（20-x），
从A地将水泥运到D地的运输费用为：（240-12x）；
故答案为（20-x），（240-12x）；
（2）根据题意得出：15x+12（20-x）+10（15-x）+9[35-（20-x）]=2x+525．

【经典题型三用代数式表示数、图形的规律】
【例3】（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）如图, 用火柴棒摆出的系列图案, 第1个图形用了3 根火柴棒, 第2个图形用了5根火柴棒, 那么第个图形用的火柴棒的根数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【详解】解：因为第一个三角形需要三根火柴棍，再每增加一个三角形就增加2根火柴棒，
所以有个三角形，则需要根火柴棍．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，培养了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．

【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）观察如图给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察图形中点的排列规律得到第个点阵中的点的个数，第个点阵中的点的个数，第个点阵中的点的个数，第个点阵中的点的个数，，则第个点阵中的点的个数．
【详解】解：第个点阵中的点的个数，
第个点阵中的点的个数，
第个点阵中的点的个数，
第个点阵中的点的个数，

则第个点阵中的点的个数．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况，熟练掌握其规律是解决此题的关键．
2．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期中）如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的正东方向5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一汽车从A地的正东方向2km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，经过第一个广告牌时行驶了米；经过第2个广告牌时行驶了米；经过第3个广告牌时行驶了米，从而推出经过第n个广告牌时行驶的路程.
【详解】经过第1个广告牌时所行驶的路程为；
经过第2个广告牌时所行驶的路程为；
经过第3个广告牌时所行驶的路程为；
经过第4个广告牌时所行驶的路程为；
⋯
经过第n个广告牌时所行驶的路程为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了利用代数式表示规律问题，解题的关键是发现汽车所行驶的路程的变化规律，并能用代数式表示出来.
3．（2023春·云南大理·七年级统考期末）如图，用黑白两色正方形瓷砖按一定的规律铺设地板图案，第个图案中白色瓷砖有块．（用含的式子表示）
  
【答案】
【分析】根据图形，先确定前几个图案中白色瓷砖数量，总结出一般规律，即可解答．
【详解】解：第一个图案白色瓷砖数：（个），
第二个：（个），
第三个：（个），
……
第n个：个，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用代数式表示图形变化规律，解题的关键是找观察图形，求出前几个图形数量，总结出一般规律．
4（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）下列是用火柴棒拼出的一列图形．

请仔细观察，找出规律，并做出解答：
第5个图中共有根火柴；第n个图形中共有根火柴．
【答案】 16；（n为正整数）．
【分析】（1）根据每增加一个正方形增加3根火柴棍即可求得第6个图形的火柴根数；
（2）根据地（1）题的结论继续探究即可得到第n个图形的火柴根数．
【详解】解：根据图案可知，
当时，火柴的根数是；
当时，火柴的根数是；
当时，火柴的根数是；
当时，火柴的根数是；
当时，火柴的根数是；
……
所以第n个图形中火柴有根．
故答案为：．
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
5．（2023秋·黑龙江·七年级统考期末）在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：0，，4，，…小明猜想出第六个数字是，也是正确的，根据此规律，第n个数字是．
【答案】
【分析】从所给的数不难看出，分数的分子是，分母都是2，进而得出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
…，
故第n个数字是，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键．
6．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）观察下列等式：
，
，
，
……
(1)写出第4个等式是：_______；
(2)猜想并写出第n个等式是：_______；（n为正整数）
(3)探究并计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；
（2）根据题目规律可发现，；
（3）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴第4个等式为．
故答案为：．
（2）解：，
，
，
……
第n个等式是：．
故答案为：．
（3）解：



．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．
7．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）【阿题提出】
求的值．（其中是正整数）
为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形图案，把数量关系和儿何图形巧妙地结合起来进行探究，即用“由数思形，以形助数”的方法解决代数问题．
      
小红同学思考过程如下：
①令，于是这个三角形图案即为图2．将图2倒过来（第1层变为第7层）拼摆到图2的右边，拼成平行四边形图案（由？层小圆圈组成），那么这个平行四边形图案中小圆圈的总个数的一半就是图2中小圆圈的总个数；
②将①中特殊化的方法，迁移到图1中，将图1倒过来（第1层变为第层）拼摆到图1的右边，转化为平行四边形图案（由层小圆圈组成），再利用拼摆的平行四边形图案中小圆圈的总个数，求出的值．
【问题解决】
（1）①请将小红在图2中拼摆的平行四边形图案补充完整（利用图2补充即可）；
②小红将图1转化为平行四边形图案后，这个平行四边形图案每层有__________个小圆圈，图案中小圆圈共有__________个，则__________；
【模型构建】
（2）请你用所学过的几何图形，构造一个与图1不同的几何图形，将所求算式“”的数量关系与构造的几何图形巧妙地结合起来：（要求只画出构造的几何图形，说明你所画的图形与算式之间有怎样的联系）
【模型应用】
（3）如图3，某客运公司有一条往返于两地的长途客运线路，途中要停靠三个车站，那么该条线路上需要制定__________种不同的票价：如果车票上起点不同为一种票面，那么这趟客运线路有__________种不同的车票？
【思维拓展】
（4）受小红的思路启发，小明将算式与一个本学期学习的几何图形建立数与形之间的联系，请你画出这个几何图形．
【答案】（1）①见解析，②，，；（2）见解析；（3）10 ， 20；（4）见解析
【分析】（1）①根据题意画出图即可；②由图可得这个平行四边形图案每层有个小圆圈，总共有层，从而得到图案中小圆圈的个数，再根据三角形的小圆圈个数是平行四边形小圆圈个数的一半即可得到答案；
（2）根据线段的总条数或角的总个数即可设计出方案；
（3）由（1）中的公式进行计算即可得到答案；
（4）根据多变形的对角线的条数公式即可得到答案．
【详解】解：（1）① 根据题意画出图如图所示：
  
②由图可得：
小红将图1转化为平行四边形图案后，这个平行四边形图案每层有个小圆圈，图案中小圆圈共有个，
三角形的小圆圈个数是平行四边形小圆圈个数的一半，
则，
故答案为：，，；
（2）答案不唯一，
方法1：如图所示，点在线段上，
则线段上线段的总条数对应算式“”；
  
方法2：如图所示，射线在内，
则图中角的总个数对应算式“”；
  
（3）根据题意得，共有4个站点需要停靠，
由（1）中的公式可得：
该条线路上需要制定的不同的票价的总数为：种，
如果车票上起点不同为一种票面，那么这趟客运线路有种不同的车票，
故答案为：10，20；
（4）如图所示，五边形对角线的总条数与算式之间建立数与形的联系，
  
【点睛】本题主要考查了图形规律类探索，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．
【经典题型四代数式表示的实际意义】
【例4】（2022秋·七年级课时练习）对于代数式，第三学习小组讨论后得出如下结论：①代数式还可以写成；②如图，较大正方形的边长为y，较小正方形的边长为1，则代数式表示阴影部分的面积；③其可以叙述为：y与1的平方差的一半；④代数式的值可能是﹣1，其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据代数式的书写方式、代数式与图形、平方差、偶次方的非负性逐个判断即可得．
【详解】解：代数式还可以写成，则①正确；
图中阴影部分的面积等于较大正方形的面积与较小正方形的面积之差的一半，即为，则②正确；
代数式可以叙述为：与1的平方差的一半，则③正确；
，
，
所以代数式的值不可能是，即④错误；
综上，正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式、偶次方的非负性等知识，熟练掌握代数式的意义是解题关键．

【变式训练】
1．（2021·全国·九年级假期作业）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ）．
A．若葡萄的价格是3元/千克，则表示买千克葡萄的金额
B．若表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长
C．若3和分别表示一个长方形的长和宽，则表示这个长方形的面积
D．若3和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数
【答案】D
【分析】根据总价=单价×数量可判断A的对错；根据等边三角形的周长公式可判断B的对错；根据长方形的面积公式可判断C的对错；根据多位数的表示法可判断D的对错．
【详解】若葡萄的价格是3元/千克，则表示买千克葡萄的金额，A选项正确．
若表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长，B选项正确．
若3和分别表示一个长方形的长和宽，则表示这个长方形的面积，C选项正确．
若3和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示十位数字和个位数字的乘积，故D选项错误．
故选D．
【点睛】此题主要考查了代数式在实际问题中所表示的意义，关键是正确理解题意．
2．（2021·河北唐山·统考三模）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（　　）
A．原价减去10元后再打6折 B．原价打6折后再减去10元
C．原价减去10元后再打4折 D．原价打4折后再减去10元
【答案】A
【分析】首先根据x-10得到原价减去10元，再根据“折”的含义，可得（x-10）变成（x﹣10），即是6折，所以是把原价减去10元后再打6折，据此判断即可．
【详解】解：根据分析，可得：
将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，是把原价减去10元后再打6折．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确“折”的含义．
3．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，该图形由四个半径为的圆组成，请用含有的代数式表示图中阴影部分的面积

【答案】/
【分析】点A、B、C、D分别为四个圆的圆心，连接，，，；根据题意，得，根据代数式、正方形、圆形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】如下图，点A、B、C、D分别为四个圆的圆心，连接，，，

根据题意，
∴正方形面积
∴阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、正方形和圆形面积计算的性质，从而完成求解．
4．（2021秋·七年级课时练习）单项式可以表述为“棱长为的正方体的表面积”，请再赋予它一个新的实际背景：．
【答案】6个边长为a的正方形的面积和(答案不唯一)

【分析】本题答案不唯一，可自己创设情境．
【详解】解：单项式可以表述为：6个边长为a的正方形的面积和；
故答案为：6个边长为a的正方形的面积和．
【点睛】本题考查了单项式的知识，此类问题应结合实际，根据单项式的特点解答．
5．（2022秋·浙江·七年级专题练习）对单项式“”可以解释为：一件商品原价元，若按原价的七五折出售，这件商品现在的售价为元．某超市的苹果价格为39元/斤，则代数式“”可表示的实际意义．
【答案】用50元买原价39元/斤一折出售的苹果斤后余下的钱．
【分析】根据代数式，50是支付的钱，按原价一折，购买x斤的钱，其差表示余下的钱即可．
【详解】解：按原价一折，购买x斤的钱，
代数式“”可表示的实际意义是：支付50元买原价39元/斤一折出售的苹果x斤后余下的钱，
故答案为：用50元买原价39元/斤一折出售的苹果斤后余下的钱．
【点睛】本题考查代数式的意义，特别注意减号与小数的实际意义，通过代数式变形将小数的实际意义突出出来是解题关键．
6．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）(1)根据生活经验，请对代数式作出解释．
(2)判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请改正．
①没有平方等于的有理数．
②是三次四项式，它的第二项的系数是3，是常数项．该多项式是按字母m的降幂排列．
【答案】(1)解释见解析；
(2)①正确，理由见解析；②不正确，改正见解析．

【分析】（1）设两种物品的单价分别为、元，用总花费即可解释代数式；
（2）①根据任何数的平方都是非负数即可判断；
②根据多项式的次数、项数、各项的系数、常数项，降幂排序的定义即可判断．
【详解】（1）解：根据生活经验，对代数式作出解释如下：
小明去文具店，买了3本笔记本，每本元，买了两支笔，每支元，小明共花费了元；
（2）解：①正确，理由如下：
任何数的平方都是非负数，
没有平方等于的有理数，
原说法正确；
②不正确，理由如下：
是六次四项式，它的第二项的系数是，是常数项，该多项式是按字母m的降幂排列，
原说法不正确，
改正如下：是六次四项式，它的第二项的系数是，是常数项，该多项式是按字母m的降幂排列．
【点睛】本题考查了对代数式的理解，有理数的乘方以及多项式，熟记乘方法则和多项式的有关定义是解题关键．
7．（2022秋·河南郑州·七年级统考期中）某网店在年的“庆国庆”活动中对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：①如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；②如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．
(1)程叔叔在该网店购买了一台标价元的吸尘器，他应付多少元？
(2)王老师先在该网店为女儿购买了一台台灯，付款元．后来想到家里的榨汁机坏了，又上这家网店花了元买了一台榨汁机，如果王老师一次性购买，只需要付款多少元？
(3)某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元．若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价．求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)当时，两次购物的实际付款共元；当时，两次购物的实际付款共元；当时，两次购物的实际付款共元；

【分析】（1）根据优惠条件，将元减去元，再乘以即可；
（2）求出台灯、榨汁机的标价，再根据两种物品的总价和优惠条件进行计算即可；
（3）根据题意先求出的范围，再分类讨论即可；
【详解】（1）解：（元）
答：他应付元；
（2）解：台灯的标价为：（元）
榨汁机的标价为：（元）
因此，合在一起买应付：（元）
答：如果王老师一次性购买，只需要付款元；
（3）解：由题意可得：
解得：
①当时
则：
两次购物的实际付款共为：元；
②当时
则：
两次购物的实际付款共为：元；
③当
则：
两次购物的实际付款共为：（元）
综上所述，当时，两次购物的实际付款共元，当时，两次购物的实际付款共元，当时，两次购物的实际付款共元．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，理解优惠方案及分类讨论思想的应用．


【经典题型五单项式的概念与判定】
【例5】．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）在这五个代数式中，单项式有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义解决此题
【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式），
∴单项式有，共3个
故选：C.
【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键

【变式训练】
1．（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）下列语句中，错误的是（　　）
A．是单项式 B．单项式的系数与次数都是
C．单项式的系数是 D．的系数是
【答案】A
【分析】利用单项式的概念逐一判断即可．
【详解】解：A．是多项式，故原选项说法错误；
B．单项式的系数与次数都是1，故原选项说法正确；
C．单项式的系数是，故原选项说法正确；
D．的系数是，故原选项说法正确．
故选:A．
【点睛】本题考查了单项式的有关概念，理解掌握单项式的概念是解题的关键．
2．（2023秋·重庆秀山·七年级统考期末）单项式的系数和次数分别是（    ）
A．，2 B．，4 C．，2 D．，5
【答案】D
【分析】根据单项式的系数、次数的定义解答．
【详解】解：单项式的系数和次数分别是，5，
故选：D．
【点睛】此题考查了单项式的系数、次数的定义，解题的关键是掌握概念：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
3．（2022秋·江苏南京·七年级南京第五初中校考期中）单项式的系数是，次数是．
【答案】 4
【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可解答．
【详解】解：∵单项式的数字因数是，所有字母指数的和是，
∴此单项式的系数是，次数是4．
故答案为，4．
【点睛】本题主要考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
4．（2023·全国·七年级假期作业）下列各式：，，﹣25，，，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有．
【答案】，﹣25
【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【详解】根据单项式的定义知，单项式有：，﹣25．
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键．
5．（2022秋·江西宜春·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的单项式是3次单项式，则m的值为．
【答案】1或−3
【分析】根据单项式次数的定义求解即可．
【详解】解：∵是关于x、y的单项式是3次单项式，
∴，
∴，
∴或m=−3，
故答案为：1或−3．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义以及绝对值，单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键，把π当作常数是解题的易错点．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【答案】（1），（3），（4），（5）符合单项式的定义，是单项式；（1）的系数是，次数是1；（3）的系数是，次数是1；（4）的系数是，次数是3；（5）的系数是，次数是7.
【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.
【详解】(1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式．
(1)的系数是，次数是1；
(3)的系数是，次数是1；
(4)的系数是，次数是3；
(5)的系数是，次数是7.
【点睛】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关键.
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）观察下列一系列单项式的特点：
，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…
(1)写出第8个单项式；
(2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)
(2)第n个单项式是，系数是，次数n+2

【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案．
（1）
解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得
系数是，字母部分是，
第8个单项式；
（2）
解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得
第n个单项式是，系数是，字母部分是，次数n+2．
【点睛】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键．


【经典题型六多项式的概念与判定】
【例6】（2020秋·天津·七年级校联考阶段练习）下列说法正确的是（        ）
A．单项式x没有系数 B．的系数是
C．3xy的次数是3 D．多项式3x－1的项是3x和1
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式的概念逐个判断即可．
【详解】解：A、单项式x的系数为1，故本选项错误；
B、的系数是，故本选项正确；
C、3xy的次数是4，故本选项错误；
D、多项式3x－1的项是3x和－1，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式和多项式的概念，掌握单项式、多项式、单项式的系数和次数的概念是解答本题的关键．

【变式训练】
1．（2023·全国·七年级假期作业）下列式子：，其中是多项式的有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可．
【详解】，3，，4，都是单项式；
分母含有字母，不是整式，不是多项式；
根据多项式的定义，是多项式，共有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式，解答本题的关键是理解多项式的定义．注意：几个单项式的和叫做多项式．
2．（2020秋·广东揭阳·七年级统考期末）下列判断中正确的是（    ）
A．的项是， B．不是整式
C．单项式的系数是 D．是二次三项式
【答案】C
【分析】根据整式、多项式的定义，单项式、多项式的项与系数的概念判断即可．
【详解】解：A．的项是，，，故A选项不正确；
B．是整式，故B选项不正确；
C．单项式的系数是，故C选项正确；
D．是三次三项式，故D选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式、多项式的定义，单项式、多项式的项与系数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）多项式的各项系数之积是．
【答案】3
【分析】根据多项式各项系数的定义求解．多项式的各项系数是单项式中各项的系数，由此即可求解．
【详解】解：多项式的各项系数之积为：
．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多项式的相关定义，解题的关键是熟练掌握多项式的各项系数和次数的定义即可求解．
4．（2023·全国·七年级假期作业）下列整式﹣x2y，，x2+y2﹣1，﹣5，x，2﹣y中有a个单项式，b个多项式，则ab＝．
【答案】16
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式可得a、b的值，进而可得答案．
【详解】整式-x2y，，-5，x是单项式，共4个，
x2+y2-1，2-y是多项式，共2个，
则a=4，b=2，
ab=16，
故答案为16．
【点睛】此题主要考查了整式，关键是掌握单项式和多项式概念．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）关于x、y的多项式是四次二项式，则．
【答案】2或
【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵关于x、y的多项式是四次二项式，
∴当，|m+1|=3时，
∴m=2；
当m+3=0时，m=-3，原多项式为，
综上所述，m的值为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m的值是解题关键．
6．（2022秋·六年级单元测试）已知多项式．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么
【答案】(1)十次十一项式；
(2)；
(3)；

【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；
（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值；
（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．
【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列，
∴该多项式有项，并且每一项的次数是，
∴该多项式是十次十一项式；
（2）解：∵多项式有项，
∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴第项的系数为，
∴第项的系数为，
∴,
∴最后一项的系数的值为．
（3）解：∵多项式第项的系数为，
∴第七项的系数是，第八项的系数是，
∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是，
∴第七项是, 第八项,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．
7．（2022秋·河南周口·七年级统考期中）已知是六次四项式，且的次数与它相同．
(1)求、的值；
(2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和．
【答案】(1)，
(2)多项式的各项为：，，，；各项的系数和为

【分析】（1）用多项式的次数，单项式的次数分别列方程求解即可；
（2）由（1）得到的值，代入计算得到该多项式的各项及各项系数，再把系数求和即可．
【详解】（1）解：是六次四项式，
，
解得，
的次数也是六次，
，
，
，；
（2）解：该多项式为，
多项式的各项为：，，，，
各项的系数和为：．
【点睛】本题考查了多项式的次数和系数的概念，单项式的次数的概念，一元一次方程的应用，理解基础概念是解题关键．

【经典题型七多项式系数、指数中字母求值】
【例7】1（2022秋·全国·七年级专题练习）如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多项式及多项式的次数的定义求解．由于多项式是几个单项式的和，那么此多项式中的每一项都必须是单项式，而整式中的字母可以取任意数，0的0次幂无意义，所以a、b均为正数；又由于多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三次多项式是指次数为3的多项式，则a、b均不大于3；又此多项式中另外的项的次数都小于3，故a、b中至少有一个是3．即a、b的取值都是正整数，且a、b中至少有一个是3．据此选择即可．
【详解】解：A、时，如果，那么无意义，故错误；
B、时，是分式，此时不是多项式，故错误；
C、正确；
D、时，多项式是关于y的一次多项式，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了对多项式的有关概念的应用，能理解多项式的次数和项数的意义是解此题的关键，


【变式训练】
1．（2022秋·七年级课时练习）已知关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次三项式的定义得出m-4=0，n=2，求出m=4，n=2，代入二次三项式，最后把x=-1代入求出即可．
【详解】解：∵关于x的多项式（m-4）x3-xn+x-mn为二次三项式，
∴m-4=0，n=2，
∴m=4，n=2，
即多项式为-x2+x-8，
当x=-1时，-x2+x-8=-（-1）2-1-8=-10．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值的应用，关键是求出二次三项式．
2．（2020春·重庆渝中·七年级重庆市大坪中学校校考期中）若关于x，y的多项式是三次三项式，则m等于（     ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
【答案】C
【分析】根据三次三项式的定义，可得，且 - ( m+1) ≠0，求解即可.
【详解】解:由题意可得且- (m+1)≠0，
解得m=1.
故选C.
【点睛】本题考查了整式的定义，属于简单题，熟悉多项式的定义是解题关键.
3．（2022秋·江西赣州·七年级校联考期中）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为．
【答案】或/或
【分析】分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式，
当时，，，则，
∴
∴；
当，，，则，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的次数是最高次数的项的次数是解题的关键．
4．（2022秋·七年级课时练习）若m为常数，多项式为三项式，则的值是．
【答案】6
【分析】根据所给的多项式是三项式得，即可求出代数式的值．
【详解】解：∵是三项式，合并同类项之后得，
∴，即，
则．
故答案是：6．
【点睛】本题考查多项式的定义和代数式求值，解题的关键是掌握多项式项数的定义．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，则，，．
【答案】 -3 1 2
【分析】先化简多项式，然后再根据两个多项式相等得到对应项的系数相等，从而求出a、b、c的值．
【详解】解：，
∵与多项式相等，
∴，
∴a=-3，b=1，c=2，
故答案为：-3；1；2．
【点睛】本题考查多项式的化简，理解两个多项式相等的含义是解题的关键．
6．（2023·江苏·七年级假期作业）如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨、n的取值情况．
【答案】或
【分析】根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3，项数为3．
【详解】解：由题意可知：，
解得或
当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式；
当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式；
综上所述，当且或者且时多项式为三次三项式
故答案为：或者
【点睛】此题主要考查了三次三项式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知关于的多项式，．
(1)若整式不含项和不含项，求、的值；
(2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值．
（2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论．
【详解】（1）因为，
当不含项和不含项时有和，
因为，，
所以．
因为，，
所以或（不符合题意）．
所以．
（2）①∵|a|+4≥4，
∴a=0，b+3=0时，
即a=0，b=-3，
②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项，
∴a-1≠0，b+3=0，
∴a=-1，b=3，
∴
【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键．

【经典题型八多项式中的升幂、降幂问题】
【例8】（2022秋·七年级课时练习）已知多项式﹣7ambn+5ab2﹣1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则（﹣n）m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣4 C．﹣1或4 D．﹣3或4
【答案】C
【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得m＞1，m+n＝4，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
【详解】解：由题意得：m＞1，m+n＝4，
∴m＝2，n＝2或m＝3，n＝1，
当m＝2，n＝2时，（﹣n）m＝（﹣2）2＝4；
当m＝3，n＝1时，（﹣n）m＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．

【变式训练】
1．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）代数式3x2y-4x3y2-5xy3-1按x的升幂排列，正确的是（　　）
A．-4x3y2+3x2y-5xy3-1 B．-5xy3+3x2y-4x3y2-1
C．-1+3x2y-4x3y2-5xy3 D．-1-5xy3+3x2y-4x3y2
【答案】D
【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列．
【详解】解：3x2y-4x3y2-5xy3-1的项是3x2y、-4x3y2、-5xy3、-1，
按x的升幂排列为-1-5xy3+3x2y-4x3y2，故D正确；
故选D．
【点睛】考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
2．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）多项式﹣6y4+5xy3﹣4x2+x3y是按（  ）
A．x的降幂排列 B．x的升幂排列 C．y的降幂排列 D．y的升幂排列
【答案】B
【分析】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，常数项应放在最前面．
【详解】多项式﹣6y4+5xy3﹣4x2+x3y，y的指数是4、3、1，
其中第三项中没有y；
x的指数依次是3、2、1，
因此A、C、D不正确．
故选B．
【点睛】把一个多项式按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面．如果是降幂排列应按此字母的指数从大到小依次排列，常数项应放在最后面．
3．（2023秋·重庆·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列可写成．
【答案】
【分析】按字母按x的降幂排列即可得答案．
【详解】按字母按x的降幂排列，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的定义，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．
4．（2022秋·陕西西安·七年级统考期末）把多项式按的指数从大到小排列为.
【答案】
【分析】由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式降幂排列的定义进行排列即可．
【详解】解：按的指数从大到小排列为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的降幂排列，注意掌握把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
5．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数是－3，常数项是－4.按照x的次数逐渐减小排列，这个二次三项式为．
【答案】－3x2＋5x－4
【分析】由于多项式是由单项式组成的，而多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，而关于x的二次三项式的二次项系数是-3，一次项系数是5，常数项是-4，根据前面的定义即可确定这个二次三项式．
【详解】∵关于x的二次三项式，二次项系数是-3，
∴二次项是-3x2，
∵一次项系数是，
∴一次项是5x，
∵常数项是-4，
∴这个二次三项式为：-3x2+5x-4．
故答案为：-3x2+5x-4
【点睛】本题考查了多项式的知识，多项式是由单项式组成的，本题首先要确定是由几个单项式组成，要记住常数项也是一项，单项式前面的符号也应带着．
6．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）有一个关于、的多项式，每项的次数都是．
(1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______；
(2)写出同时满足下列要求的一个多项式：
①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列．
【答案】(1)；（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）

【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可；
（2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且，
各项的字母组成只能是：，，，，
项数最多的一个多项式有四项，
项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一），
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是，
满足要求的多项式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键．
7．（2022秋·七年级课时练习）【做一做】列代数式
（1）已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为　　；
（2）某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7℃，若山脚温度是28℃，则比山脚高x米处的温度为　　℃；
（3）已知某礼堂第1排有18个座位，往后每一排比前一排多2个座位．则第n排共有座位数　　个．
【数学思考】
（4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的　　；
（5）请你任意写一个关于x的这种类型的数字系数的二次式　　；
（6）用字母表示系数，写一个关于x的二次三项式，并注明字母系数应满足的条件　　；
【问题解决】
（7）若代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式，求m的值．
【答案】（1）100c+10b+c；（2）（﹣0.007x+28）；（3）（2n+16）；（4）多项式；（5） x2+1；（6）ax2+bx+c（a、b、c均不为0）；（7）-2．
【分析】（1）根据题意，用含a、b、c的代数式表示出这个三位数即可；
（2）根据题意，用含x的代数式表示出比山脚高x米处的温度即可；
（3）根据题意，用含n的代数式表示出第n排的座位数即可；
（4）根据前三个小题的结果判断即可；
（5）根据整式的相关概念按要求写出即可；
（6）根据多项式的相关概念按要求写出即可；
（7）根据多项式的相关概念可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【详解】解：（1）由题意可得，
这个三位数可表示为100c+10b+a，
故答案为：100c+10b+c；
（2）由题意可得，
比山脚高x米处的温度为：28﹣×0.7＝﹣0.007x+28，
故答案为：（﹣0.007x+28）；
（3）由题意可得，
第n排共有座位18+2（n﹣1）＝18+2n﹣2＝2n+16，
故答案为：（2n+16）；
（4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的多项式，
故答案为：多项式；
（5）关于x的这种类型的数字系数的二次式可以是：x2+1，
故答案为：x2+1；
（6）由题意可得，满足条件的多项式可以是：ax2+bx+c（a、b、c均不为0），
故答案为：ax2+bx+c（a、b、c均不为0）；
（7）∵代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
即m的值是﹣2．
【点睛】本题考查整式的相关概念以及列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．



【经典题型九单项式与多项式的综合问题】
【例9】（2022秋·七年级课时练习）下列说法错误的是(    )
A．单项式h的系数是1 B．多项式a-2.5的次数是1
C．m+2和3都是整式 D．是六次单项式
【答案】D
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．
【详解】A、B、C说法均是正确的，D中是四次单项式．
【点睛】本题考查单项式知识的相关应用．
【变式训练】
1．（2021秋·上海·七年级期中）下列说法正确的是（　　　）．
A．与都是多项式 B．的系数与次数分别是与
C．与是同类项 D．是单项式
【答案】C
【分析】根据整式的多项式、单项式的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵是字母除以数字，不是数字或字母的乘积
∴不是单项式
∴不是多项式，即A错误；
∵的系数与次数分别是与
∴B错误；
∵是多项式
∴D错误；
∵与是同类项
∴C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式多项式和单项式的定义，从而完成求解．
2．（2021春·浙江·七年级期末）下列说法①的系数是-2；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是5次；⑥是代数式但不是单项式．正确的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】利用单项式及多项式的定义判定即可．
【详解】①的系数是-，故①不正确；
②是单项式，故②不正确；
③是多项式，故③正确；
④次数是3次，故④正确；
⑤的次数是2次，故⑤不正确；
⑥是代数式但不是整式，也就不是单项式，故⑥正确．
共3个正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式及多项式，解题的关键是熟记单项式及多项式的定义．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中是整式的有，其中是单项式的有，是多项式的有．
【答案】①②③④⑥⑦⑧②④①③⑥⑦⑧
【分析】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.
【详解】解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
单项式有：②④⑦；
多项式有：①③⑥⑧．
故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
【点睛】本题考查了多项式、单项式及整式的知识，掌握三者的定义是解题的关键，属于基础知识考察类题目.
4．（2021秋·全国·七年级期中）当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式+（m+1）by﹣3值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为．
【答案】5
【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m值，再把m代回二次三项式中得到等式，再把x和y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果．
【详解】解：∵+（m+1）by﹣3是关于x、y的二次三项式，
∴当x＝1，y＝﹣1时，有a﹣（m+1）b﹣3＝0，m2＝1，
∴m＝±1，
当m＝﹣1时不合题意，
∴m＝1，
∴a﹣2b﹣3＝0，
∴a﹣2b＝3，
∴，
∴当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+＝＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式的次数项数的定义、多项式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义确定m的取值要考虑全面，这是本题的易错点．
5．（2021秋·上海·七年级期中）若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则,．
【答案】 4
【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：是关于a,b的单项式,系数是,次数是5,
,,
解得：,,
故答案为,4．
【点睛】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
6．（2023春·上海·六年级专题练习）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．  
①t秒钟过后，AC的长度为（用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5
(2)①4t＋6；②不会变化，2

【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）①分别表示出t秒后点A对应的数，点B对应的数，点C对应的数，即可表示出AC；
（3）先求出AB，BC的值，再计算BC-AB的值，可得BC-AB的值是定值．
【详解】（1）解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，
最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；  
故答案为：-1，1，5
（2）①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
7．（2022·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(��+2)(2��+3)所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：

也就是说，只需要x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3,3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2,3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将 12,16,18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（x+1）（4x+3）所得多项式的一次项系数为.
（2）计算（x+1）（3x-2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为.
（3）若是的一个因式，求、的值.
【答案】（1）7；（2）1;（3）a=-6；b=-3
【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数求解即可
（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积的和即为所得多项式的一次项系数求解即可
（3）由中4次项系数为1，常数项为2可设另一个因式为：，根据三次项系数为0，二次项系数为a，一次项系数为b列出方程求解即可
【详解】（1）1×4+1×3=7
（2）1×（-2）×5+3×1×5+2×1×（-2）=1
（3）∵中4次项系数为1，常数项为2
∴设另一个因式为：
则（）（）=
∴1×m-3×1=0
  1×2+1×1+（-3）×m=a
  -3×2+1×m=b
解得：m=3；a=-6；b=-3
【点睛】本题主要考查了多项式的各项系数，根据题意得到多项式乘以多项式系数之间的关系规律是解题关键
【经典题型十整式中的数字类规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据跳动规则，分奇数、偶数探索出遵循的基本规律，确定计算即可．
【详解】解：设点所表示的数是a，
则点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
∴点所表示的数是，
∵点处所表示的数恰好是，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字中的规律问题，根据序号的奇数，偶数分类探索规律是解题的关键．

【变式训练】
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（    ）
  
A．19920 B．19921 C．19922 D．19923
【答案】B
【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n；所以从特殊入手，，…，由此得出一般规律：，从而可求得结果．
【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n，所以，，…，．所以，
，从而
故选：B．
【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求．
2．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据差倒数的定义先计算，从而得到规律每3次一个循环，再计算2023除以3，看余数即可得出答案.
【详解】解：∵是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，
∴，
∴每3次一个循环，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的运算和规律探寻，正确计算、得出规律是解题关键.
3．（2022秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是．
【答案】
【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解.
【详解】解：∵
∴分裂后的第一个数是，共有个奇数，
∵，
∴奇数是底数为的数的立方分裂后的一个奇数，
∴
故答案为：
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期中）计算：．
【答案】
【分析】根据，，，…，计算．
【详解】


．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了规律式子的计算．熟练掌握（，且n为整数），合并计算，是解题的关键．
5．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）观察下列等式找出规律：①；②；③；…；则的值是．
【答案】
【分析】根据所给算式找出规律求解即可．
【详解】解：∵：①；
②；
③；
…；
∴，
∴



，
∴


．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
6．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）观察下列等式：
；；．
将以上三个等式两边分别相加，得：
．
根据上面的信息，解答下列问题：
(1)填空：_________；
(2)填空：_________；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意得出规律，然后变形计算即可；
（2）根据（1）中得出规律变形，计算即可；
（3）首先把原式转化为，然后再计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
可得规律为：，



；
故答案为：；
（2）解：



；
故答案为：；
（3）解：原式



．
【点睛】本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算，解本题的关键在总结出规律等式．
7．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可；
（2）根据给定的式子，写出第（为正整数）个等式即可；
（3）将转化为，利用前面等式的特点转化为，进行求解即可；
（4）将转化为，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：
（2）
（3）



；
（4）




．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．



【经典题型十一整式中的图形类规律问题】
【例11】（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴



，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．

【变式训练】
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（    ）·
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第个图案中涂有阴影的小正方形个数．
【详解】第一个图案有个：，
第二个图案有个：，
第三个图案有个：，
则第个图形有：个，
故第个图案中有(个)，
故选：．
【点睛】此题考查了图案的变化规律问题，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
2．（2023春·重庆南川·八年级统考期末）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（    ）
  
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，得到其中的规律．
【详解】解：第①个图形中字母“”的个数是4，
第②个图形中字母“”的个数是6，
第③个图形中字母“”的个数是8，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，
则第④个图形中字母“”的个数是10，
故选：A．
【点睛】本题考查了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律需要考生细心观察，仔细求证解决本题．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式：　　．
第1个点阵  1+3+1=12+22，

第2个点阵  1+3+5+3+1=_____+_____，
第3个点阵  1+3+5+7+5+3+1=_____+_____．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等号左边的图形，即可得出结论；
（2）根据（1）中的三个等式，总结出一般规律即可．
【详解】解：（1）第1个点阵  ，
第2个点阵  ，
第3个点阵  ．
故答案为：；
（2）第n个点阵相对应的等式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，根据前几个图形的变化总结出一般规律．
4．（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要根小棒．
  
【答案】51
【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有根小棒，
第3个图案中有根小棒，
……
∴第n个图案中小棒的根数为：，
∴第10个图案中小棒的根数为：，
故答案为：51．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有根小棒是解决问题的关键．
5．（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）如图所示，以为端点画六条射线后，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2022个点在射线上．
  
【答案】
【分析】根据题意可得，1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…，每六个一循环．根据，即可求解．
【详解】解∶∵1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…
∴每六个一循环．
∵，
∴所描的第2022个点所在射线和6所在射线一样．
∴所描的第2022个点在射线上．
故答案为：
【点睛】本题考查了图形规律题，找到规律是解题的关键．
6．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
  
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
【答案】(1)21
(2)
(3)不能，理由见解析
(4)

【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第5次可得，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3）不能，理由：由，解得，n不是整数，
所以不能将正方形划分成2022个正方形的图形．
（4）由题意．
【点睛】本题考查图形规律题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，属于中考常考题型．
7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．

(1)如果剪n次共能得到个正方形，试用含有n，的等式表示它们之间的数量关系；
(2)若原正方形的边长为1，设表示第n次所剪出的正方形的边长，如．
①试用含n的式子表示　　；
②试用含n的式子表示　　；
(3)运用（2）的结论，计算的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)

【分析】（1）观察图形发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，根据得到的规律得到通项公式即可；
（2）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；②结合图形得出答案即可；
（3）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．
【详解】（1）解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有个，
∴用含有n、的等式表示它们之间的数量关系为；
（2）解：①第一次所剪的正方形的边长为，
第二次所剪的正方形的边长为；
第三次所剪的正方形的边长为，
…
第n次所剪的正方形的边长；
②根据图形的变化可知：

＝
；
（3）解：原式




．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用代数式表示出来是解决本题的关键．