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专题08 整式的加减探究与表达规律（七大题型）-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）
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这是一份专题08 整式的加减探究与表达规律（七大题型）-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版），文件包含专题08整式的加减探究与表达规律七大题型原卷版docx、专题08整式的加减探究与表达规律七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
【知识梳理】
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：
①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系．
②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系．
③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系．
④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．
⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．
2. 常见的数列规律：
①1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
②2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
③2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
④2，6，12，20，…，（为正整数）．
⑤，，，，，，…，（为正整数）．
⑥特殊数列：
（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，．
（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．
【经典题型一数字排列规律】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·六年级单元测试）观察下列等式：，，，，…，依此类推，第n（n为正整数）个等式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）对于数133，规定第一次操作为，第二次操作为，按此规律操作下去，则第2022次操作后得到的数是（ ）
A．250B．133C．55D．24
3．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）观察下列算式：，根据规律，则的末位数字是．
4．（2022秋·四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算规律如下，，，，…；利用以上规律计算．
5．（2020秋·广东广州·七年级校考阶段练习）观祭等式：，，，，……猜想：．（结果用含的式子表示，其中，……）．
6．（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式：
①；②；③；④______；⑤；…
(2)请写出第n个等式：______；
(3)利用（2）中的等式，计算：．
7（2022秋·广东东莞·七年级东莞市华侨中学校考阶段练习）观察下列等式：①，②，③
④，……，回答下列问题：
(1)依照上述规律，直接写出等式：__________________
__________________
(2)求和：
【经典题型二图形排列规律】
【例2】（2023·重庆巴南·统考一模）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（ ）
A．36B．40C．49D．53
【变式训练】
1．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）
A．54B．108C．109D．110
2．（2023·广东梅州·校考一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（ ）
A．31B．32C．63D．64
3．（2023秋·山东济南·六年级统考期末）用火柴棒按以下方式搭小鱼，
其中第（1）个图形有8根火柴棒，第（2）个图形有14根火柴棒，第（3）个图形有20根火柴棒…，则第（7）个图形有根火柴棒．
4．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若（为正整数），则的值为．
5．（2023·河北石家庄·校联考一模）为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6．
（1）按图示规律，第一个图案的长度，第二个图案的长度．
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数与走廊的长度之间的关系．
6．（2022秋·河北·七年级校联考阶段练习）用若干块边长均为0.2米的白、灰两种颜色的地砖铺成如图所示的一定规律的图案．
（1）根据规律，第5个图形中共有块灰色地砖；
（2）第，且是整数）个图形中，白色地砖共有块（用含的式子表示）；
（3）某走廊的宽为1米，长为3.4米，若按上述的规律铺地砖[小明发现该走廊所要铺的地砖正好和第，且是整数）个图形一样]，则需购买块灰色地砖．
7．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）七年级苏科版教材第58页有这样一段阅读材料：
人们数钱时通常先将钱币分类，把相同面值的钱币整理在一起；商场陈列商品时，也总是分类摆放，使商品看起来整齐有序，易于拿取．同样，分类是研究数学问题的一种常用方法．如图5，在一个8×8的方格棋盘的盘里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、向下、向左、向右走一格．那么A格里的这枚棋子走28步能到达B格吗？
【问题探究】
爱动脑筋的小媛从简单的图形入手：完成沿下图中的行走问题，
如图1，不难看出，从A点到M点至少需要2步，且共有2种不同的走法；
（1）如图2，从A点到C点至少需要步，且共有种不同的走法；
（2）如图3，从A点到D点至少需要步，且共有种不同的走法；
【问题深入】
如果A处是一个正数，每走一步，正负性改变一次，请在图4中用阴影部分描出负数所处的网格；
【问题解决】
如图5，A格里的这枚棋子走28步能到达B格吗？（填：“是”或“否”）．
【经典题型三图形面积类规律】
【例3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级专题练习）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·云南昆明·七年级云南师大附中校考期中）如图，每格图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积是，第②个图形的面积为，第③个图形的面积为，那么第④个图形的面积为（ ）
①②③④
A．B．C．D．
3．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．若按这个方式继续分割下去，可求得的值为．
C
4（2022春·山东青岛·七年级校联考期末）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于cm2．
5．（2021春·河北张家口·七年级统考期末）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过次操作．
6．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推…
(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______，的值为______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
①______．
②计算：．
7．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点为格点，如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为“格点正方形”．
(1)【探索发现】按照图形完成下表：
从上述表格中你发现与p、q之间有什么关系？
(2)【继续猜想】类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为有类似（1）中的结论吗？试以图5中格点长方形为例来验证．
(3)【学以致用】在的方格（图6）中画一个格点三角形，使它的面积为5.5，且这个三角形内的格点数最多．
【经典题型四动点类规律】
【例4】（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与O点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置．
A．887B．903C．90D．1024
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（ ）上．
A．B．C．D．
3．（2023秋·四川广安·七年级统考期末）如图，在正方形中，动点M从点A出发以的速度沿着正方形的边顺时针运动，同时动点N也从点A出发以的速度沿着正方形的边逆时针运动，1s后点M，N都运动到点D，记为第1次相遇，继续进行下去，则第2023次相遇在点处．
4．（2022·山东聊城·统考中考真题）数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为（，是整数）．
5．（2018秋·浙江绍兴·七年级绍兴市越城区孙端中学阶段练习）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度
的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为秒．（结果保留π）
6．（2022秋·贵州贵阳·七年级校联考期中）已知在数轴上，有一动点Q从原点O出发，在数轴上以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……
(1)5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是______；
(2)如果在数轴上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
7．（2022秋·河南洛阳·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．
(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为 ；
(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m•BC（其中m＞1），则点C在数轴上所表示的数为 （用含m的代数式表示）；
(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点Pn为线段BPn﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，pn（n为正整数）．
①请问：当n≥2时，2pn﹣pn﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②记S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求当n＝2022时S的值．
【经典题型五数列规律】
【例5】（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第21行从左边数第19个数是（ ）
A．19B．380C．210D．190
【变式训练】
1．（2023·河南安阳·统考一模）如图，将数列排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（ ）
A．119B．－121C．－117D．123
2．（2023春·山西太原·七年级山西实验中学校考阶段练习）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，．）已知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2022个“智慧数”是（ ）
A．2697B．2698C．2699D．以上都不对
3．（2022秋·广东清远·七年级统考期末）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，则这个数列中的第个数是．
4．（2021秋·北京西城·七年级北京市第三中学校考期中）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为，判断2021所在的位置是第行，第列．
5．（2021秋·山东青岛·七年级统考期中）阅读材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1；排在第二位的数称为这个数列的第2项，记为a2；…；排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3……，an，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．如：数列1，4，7，10……为等差数列，其中a1=1，a2=4，公差为d=3．根据以上材料，则等差数列-5，-7，-9，-11……的公差d为，第2021项是．
6．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）现场学习：观察一列数：2，4，8，16，…，这一列数按规律排列，我们把它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比．
一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．
解决问题：
(1)已知等比数列3，6，12，24…，那么它的第八项是．
(2)已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为．
(3)如果等比数列，…，公比为q，那么有：，…，．（用与q的式子表示，其中n为大于1的自然数）
拓展应用：
(4)等比数列3，6，12，24…，那么它的第n项是．
7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数，称为数列，计算，，，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列2，，3，因为，，，所以数列2，，3的最佳值为．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列，2，3的最佳值为；数列3，，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：
(1)数列，，1的最佳值为
(2)将“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
(3)将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值．
【经典题型六新定义规律】
【例6】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取，则：若，则第次“运算”的结果是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对于有序数对，定义，则的值为（ ）
A．B．245C．D．
2．（2022秋·全国·七年级期末）有一列数，记为，我们记其前n项和为=，定义为这列数的“新海和”，现如果有2020个数，其“新海和”为2021，则2，这2021个数的“新海和”为（ ）．
A．2022B．2020C．2021D．2022
3．（2023·山东济宁·统考二模）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则．
4．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则；
（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为；
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若，则第2022次“F运算”的结果是．
6．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）数学是一门充满思维乐趣的学科．现有的数阵，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数阵中第行第列的数．例如，数阵第3行第2列所对应的数是3，所以．
(1)对于数阵A，的值为；若，则x的值可能为；
(2)若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；
则称此数阵是“有趣数阵”．
①请判断数阵A是否是“有趣数阵”．你的结论：（填“是”或“不是”）；
②已知一个“有趣数阵”满足，试计算的值．
7．（2022秋·湖南株洲·七年级期末）阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：
解：设S＝2+22+23+…22020①，
①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，
②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，
即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．
然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，…的公比q为______，第4项是______．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝_____（用a1和q的代数式表示）．
(3)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
(4)请你用上述方法求的值．
【经典题型七规律性问题综合】
【例7】（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199B．200C．201D．202
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西宜春·统考二模）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移动规则是：第次移动个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A．、B．、C．、、D．、、
3．（2022秋·河北张家口·七年级统考期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为（是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由与1差的绝对值得到，即为，第四个数是由与差的绝对值得到，即为，…依此类推．
①若，则这列数的前5个数的和为；
②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则．
4．（2023·湖北恩施·统考二模）观察下列按一定规律排成的一组数：
，从左起第个数记，则，．
5．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则．
6．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
．．．……；
下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式的第三项的系数______；
(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；
(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；
②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．
7．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”．
(1)直接写出计算结果：______，______．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）：
①______，
②______．
(3)将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：______．（只写最后结果）．
(4)【结论应用】计算：
格点正方形边上的格点数p
格点正方形内的格点数q
格点正方形面积
图1
4
1
2
______
图2
4
4
______
______
图3
______
4
______
______
图4
4
______
______
______
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
……
第1行
1
4
5
16
17
……
第2行
2
3
6
15
18
第3行
9
8
7
14
19
第4行
10
11
12
13
20
第5行
25
24
23
22
21
第6行
26
……
第1列
第2列
第3列
第1行
1
1
1
第2行
2
2
2
第3行
3
3
3
【知识梳理】
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：
①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系．
②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系．
③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系．
④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．
⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．
2. 常见的数列规律：
①1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
②2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
③2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
④2，6，12，20，…，（为正整数）．
⑤，，，，，，…，（为正整数）．
⑥特殊数列：
（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，．
（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．
【经典题型一数字排列规律】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·六年级单元测试）观察下列等式：，，，，…，依此类推，第n（n为正整数）个等式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）对于数133，规定第一次操作为，第二次操作为，按此规律操作下去，则第2022次操作后得到的数是（ ）
A．250B．133C．55D．24
3．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）观察下列算式：，根据规律，则的末位数字是．
4．（2022秋·四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算规律如下，，，，…；利用以上规律计算．
5．（2020秋·广东广州·七年级校考阶段练习）观祭等式：，，，，……猜想：．（结果用含的式子表示，其中，……）．
6．（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式：
①；②；③；④______；⑤；…
(2)请写出第n个等式：______；
(3)利用（2）中的等式，计算：．
7（2022秋·广东东莞·七年级东莞市华侨中学校考阶段练习）观察下列等式：①，②，③
④，……，回答下列问题：
(1)依照上述规律，直接写出等式：__________________
__________________
(2)求和：
【经典题型二图形排列规律】
【例2】（2023·重庆巴南·统考一模）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（ ）
A．36B．40C．49D．53
【变式训练】
1．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）
A．54B．108C．109D．110
2．（2023·广东梅州·校考一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（ ）
A．31B．32C．63D．64
3．（2023秋·山东济南·六年级统考期末）用火柴棒按以下方式搭小鱼，
其中第（1）个图形有8根火柴棒，第（2）个图形有14根火柴棒，第（3）个图形有20根火柴棒…，则第（7）个图形有根火柴棒．
4．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若（为正整数），则的值为．
5．（2023·河北石家庄·校联考一模）为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6．
（1）按图示规律，第一个图案的长度，第二个图案的长度．
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数与走廊的长度之间的关系．
6．（2022秋·河北·七年级校联考阶段练习）用若干块边长均为0.2米的白、灰两种颜色的地砖铺成如图所示的一定规律的图案．
（1）根据规律，第5个图形中共有块灰色地砖；
（2）第，且是整数）个图形中，白色地砖共有块（用含的式子表示）；
（3）某走廊的宽为1米，长为3.4米，若按上述的规律铺地砖[小明发现该走廊所要铺的地砖正好和第，且是整数）个图形一样]，则需购买块灰色地砖．
7．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）七年级苏科版教材第58页有这样一段阅读材料：
人们数钱时通常先将钱币分类，把相同面值的钱币整理在一起；商场陈列商品时，也总是分类摆放，使商品看起来整齐有序，易于拿取．同样，分类是研究数学问题的一种常用方法．如图5，在一个8×8的方格棋盘的盘里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、向下、向左、向右走一格．那么A格里的这枚棋子走28步能到达B格吗？
【问题探究】
爱动脑筋的小媛从简单的图形入手：完成沿下图中的行走问题，
如图1，不难看出，从A点到M点至少需要2步，且共有2种不同的走法；
（1）如图2，从A点到C点至少需要步，且共有种不同的走法；
（2）如图3，从A点到D点至少需要步，且共有种不同的走法；
【问题深入】
如果A处是一个正数，每走一步，正负性改变一次，请在图4中用阴影部分描出负数所处的网格；
【问题解决】
如图5，A格里的这枚棋子走28步能到达B格吗？（填：“是”或“否”）．
【经典题型三图形面积类规律】
【例3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级专题练习）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·云南昆明·七年级云南师大附中校考期中）如图，每格图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积是，第②个图形的面积为，第③个图形的面积为，那么第④个图形的面积为（ ）
①②③④
A．B．C．D．
3．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．若按这个方式继续分割下去，可求得的值为．
C
4（2022春·山东青岛·七年级校联考期末）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于cm2．
5．（2021春·河北张家口·七年级统考期末）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过次操作．
6．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推…
(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______，的值为______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
①______．
②计算：．
7．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点为格点，如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为“格点正方形”．
(1)【探索发现】按照图形完成下表：
从上述表格中你发现与p、q之间有什么关系？
(2)【继续猜想】类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为有类似（1）中的结论吗？试以图5中格点长方形为例来验证．
(3)【学以致用】在的方格（图6）中画一个格点三角形，使它的面积为5.5，且这个三角形内的格点数最多．
【经典题型四动点类规律】
【例4】（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与O点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置．
A．887B．903C．90D．1024
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（ ）上．
A．B．C．D．
3．（2023秋·四川广安·七年级统考期末）如图，在正方形中，动点M从点A出发以的速度沿着正方形的边顺时针运动，同时动点N也从点A出发以的速度沿着正方形的边逆时针运动，1s后点M，N都运动到点D，记为第1次相遇，继续进行下去，则第2023次相遇在点处．
4．（2022·山东聊城·统考中考真题）数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为（，是整数）．
5．（2018秋·浙江绍兴·七年级绍兴市越城区孙端中学阶段练习）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度
的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为秒．（结果保留π）
6．（2022秋·贵州贵阳·七年级校联考期中）已知在数轴上，有一动点Q从原点O出发，在数轴上以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……
(1)5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是______；
(2)如果在数轴上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
7．（2022秋·河南洛阳·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．
(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为 ；
(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m•BC（其中m＞1），则点C在数轴上所表示的数为 （用含m的代数式表示）；
(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点Pn为线段BPn﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，pn（n为正整数）．
①请问：当n≥2时，2pn﹣pn﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②记S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求当n＝2022时S的值．
【经典题型五数列规律】
【例5】（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第21行从左边数第19个数是（ ）
A．19B．380C．210D．190
【变式训练】
1．（2023·河南安阳·统考一模）如图，将数列排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（ ）
A．119B．－121C．－117D．123
2．（2023春·山西太原·七年级山西实验中学校考阶段练习）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，．）已知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2022个“智慧数”是（ ）
A．2697B．2698C．2699D．以上都不对
3．（2022秋·广东清远·七年级统考期末）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，则这个数列中的第个数是．
4．（2021秋·北京西城·七年级北京市第三中学校考期中）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为，判断2021所在的位置是第行，第列．
5．（2021秋·山东青岛·七年级统考期中）阅读材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1；排在第二位的数称为这个数列的第2项，记为a2；…；排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3……，an，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．如：数列1，4，7，10……为等差数列，其中a1=1，a2=4，公差为d=3．根据以上材料，则等差数列-5，-7，-9，-11……的公差d为，第2021项是．
6．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）现场学习：观察一列数：2，4，8，16，…，这一列数按规律排列，我们把它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比．
一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．
解决问题：
(1)已知等比数列3，6，12，24…，那么它的第八项是．
(2)已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为．
(3)如果等比数列，…，公比为q，那么有：，…，．（用与q的式子表示，其中n为大于1的自然数）
拓展应用：
(4)等比数列3，6，12，24…，那么它的第n项是．
7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数，称为数列，计算，，，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列2，，3，因为，，，所以数列2，，3的最佳值为．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列，2，3的最佳值为；数列3，，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：
(1)数列，，1的最佳值为
(2)将“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
(3)将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值．
【经典题型六新定义规律】
【例6】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取，则：若，则第次“运算”的结果是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对于有序数对，定义，则的值为（ ）
A．B．245C．D．
2．（2022秋·全国·七年级期末）有一列数，记为，我们记其前n项和为=，定义为这列数的“新海和”，现如果有2020个数，其“新海和”为2021，则2，这2021个数的“新海和”为（ ）．
A．2022B．2020C．2021D．2022
3．（2023·山东济宁·统考二模）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则．
4．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则；
（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为；
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若，则第2022次“F运算”的结果是．
6．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）数学是一门充满思维乐趣的学科．现有的数阵，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数阵中第行第列的数．例如，数阵第3行第2列所对应的数是3，所以．
(1)对于数阵A，的值为；若，则x的值可能为；
(2)若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；
则称此数阵是“有趣数阵”．
①请判断数阵A是否是“有趣数阵”．你的结论：（填“是”或“不是”）；
②已知一个“有趣数阵”满足，试计算的值．
7．（2022秋·湖南株洲·七年级期末）阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：
解：设S＝2+22+23+…22020①，
①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，
②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，
即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．
然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，…的公比q为______，第4项是______．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝_____（用a1和q的代数式表示）．
(3)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
(4)请你用上述方法求的值．
【经典题型七规律性问题综合】
【例7】（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199B．200C．201D．202
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西宜春·统考二模）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移动规则是：第次移动个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A．、B．、C．、、D．、、
3．（2022秋·河北张家口·七年级统考期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为（是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由与1差的绝对值得到，即为，第四个数是由与差的绝对值得到，即为，…依此类推．
①若，则这列数的前5个数的和为；
②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则．
4．（2023·湖北恩施·统考二模）观察下列按一定规律排成的一组数：
，从左起第个数记，则，．
5．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则．
6．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
．．．……；
下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式的第三项的系数______；
(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；
(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；
②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．
7．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”．
(1)直接写出计算结果：______，______．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）：
①______，
②______．
(3)将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：______．（只写最后结果）．
(4)【结论应用】计算：
格点正方形边上的格点数p
格点正方形内的格点数q
格点正方形面积
图1
4
1
2
______
图2
4
4
______
______
图3
______
4
______
______
图4
4
______
______
______
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
……
第1行
1
4
5
16
17
……
第2行
2
3
6
15
18
第3行
9
8
7
14
19
第4行
10
11
12
13
20
第5行
25
24
23
22
21
第6行
26
……
第1列
第2列
第3列
第1行
1
1
1
第2行
2
2
2
第3行
3
3
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