2023-2024学年山东省菏泽市牡丹区王浩屯中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市牡丹区王浩屯中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年山东省菏泽市牡丹区王浩屯中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填写在相应位置）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
3．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为（　　）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a＞﹣2且a≠2 D．a≥﹣2且a≠2
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
5．如图，将一矩形纸片ABCD沿着直线EF剪成两块全等的四形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较长的边BF的长是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．9​
6．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0
7．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
8．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 　 　．
10．如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是 　 　．

11．三角形两边的长为3和4，第三边长是方程x2﹣10x+16＝0的根，则该三角形的周长是 　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF＝　 　．

13．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　 　．
14．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形AB∁nOn的面积为　 　．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在相应区域内）
15．解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
16．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

17．如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

18．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．

19．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积．

21．下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的过程：
解：原方程可化为2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步
方程两边同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步
系数化为1得x＝﹣．
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．
22．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC；
（2）若AD＝4，求AM的长．

23．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．

24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．



参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填写在相应位置）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．方程2x+1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意，
B．方程是y2+x＝1二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
C．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意，
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
【分析】根据正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定逐项判断即可．
解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故A不正确，不符合题意；
B．对角线垂直平行四边形是菱形，故B不正确，不符合题意；
C．三个角都是直角的四边形是矩形，故C正确，符合题意；
D．有一组邻边相等的矩形是正方形；故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，解题的关键是掌握相关性质和判定．
3．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为（　　）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a＞﹣2且a≠2 D．a≥﹣2且a≠2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝16+4（a﹣2）≥0，
∴a≥﹣2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a≥﹣2且a≠2，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝是解此题的关键．
5．如图，将一矩形纸片ABCD沿着直线EF剪成两块全等的四形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较长的边BF的长是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．9​
【分析】由矩形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB＝FQ＝DC＝4，求出EQ＝FQ＝4，进而即可得出答案．
解：如图，过F作FQ⊥AD于Q，
∴∠FQA＝∠FQD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，
∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形，
∴AB＝FQ＝DC＝4，QD＝CF，AQ＝BF，
由题意得：AE＝CF，
∴AE＝QD，
∵AD∥BC，
∴∠QEF＝∠BFE＝45°，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EQ＝FQ＝4，
∴AE＝QD＝×（10﹣4）＝3，
∴BF＝AQ＝AE+EQ＝3+4＝7，
故选：C．

【点评】本题考查了矩形的性质和判定、全等图形、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
6．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0
【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
7．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】连结OB，作BD⊥x轴于点D，由OC＝BC＝1，∠C＝90°，得OB＝＝，由∠COB＝45°，∠COD＝15°，得∠DOB＝30°，则BD＝，则点B的纵坐标为﹣，于是得到问题的答案．
解：如图，连结OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，
∴OB＝＝＝，
∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，
∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝OB＝×＝，
∴点B的纵坐标为﹣，
故选：B．

【点评】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，故④正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故选：D．

【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 　13　．
【分析】根据配方法可以将题目中的方程变形，然后根据题意即可得到m和n的值，从而可以求得m+n的值．
解：∵x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝1+9，
∴（x﹣3）2＝10，
∴m＝3，n＝10，
∴m+n＝3+10＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
10．如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是 　2　．

【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝4，结合垂直平分线定义得到BE＝2，根据勾股定理求解即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，
∵AE垂直平分BC，
∴BE＝BC＝AB＝2，
由勾股定理得，AE＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了菱形的性质，熟记“菱形的四条边相等”是解题的关键．
11．三角形两边的长为3和4，第三边长是方程x2﹣10x+16＝0的根，则该三角形的周长是 　9　．
【分析】求出已知方程的解，确定出三角形第三边长，求出周长即可．
解：方程x2﹣10x+16＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
当x＝2时，三角形三边长分别为2，3，4，其周长＝2+3+4＝9；
当x＝8时，三角形三边长分别为8，3，4，周长为3+4＜8，不能构成三角形，
综上所述，该三角形周长为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是解一元二次方程﹣因式分解法，熟知利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF＝　　．

【分析】连接OP．由勾股定理得出AC＝10，可求得OA＝OB＝5，由矩形的性质得出S矩形ABCD＝AB•BC＝48，S△AOB＝S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，由S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝OA•PE+OB•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12求得答案．
解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，AC＝＝＝10，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，S△AOB＝S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，
∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝OA•PE+OB•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝；
故答案为：．

【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　．
【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4b＝0，
∴AC＝b＝4，
∵BC＝2，AB＝2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长＝AC＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
14．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形AB∁nOn的面积为　　．

【分析】逐步探究平行四边形与矩形的面积之间的关系，找规律解答．
解：后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形AB∁nOn的面积为．
【点评】此题属规律探究归纳题，考查了学生矩形和平行四边形的有关知识，要求考生具备有从特殊到一般的数学思考方法和有较强的归纳探究能力，才能正确地作出解答．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在相应区域内）
15．解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
可得x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
16．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

【分析】利用菱形的性质可得DA＝DC，进而可得∠DAC＝∠DCA，∠ADE＝∠CDF，利用ASA证明△DAE≌△DCF可证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△DAE≌△DCF是解题的关键．
17．如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．

【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）由菱形的性质可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，则可求得OD的长，则可求得答案．
【解答】（1）证明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形CODE是矩形；
（2）解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四边形CODE的周长＝2×（3+4）＝14．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
19．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：∵Δ＝（m﹣4）2≥0，
∴x＝＝．
∴x1＝m﹣2，x2＝2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m﹣2＜1．
∴m＜3．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积．

【分析】（1）正方形的边长相等，四个角相等，即AD＝AB，∠ABF＝∠D＝90°，根据条件还能证∠FAB＝∠DAE，故能证明△ADE≌△ABF．
（2）DE＝1，AD＝4，根据勾股定理能求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠EAB＝90°，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE．
∵AD＝AB，∠ABF＝∠D＝90°，
∴△ADE≌△ABF．

（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴AF＝AE．
∵DE＝1，AD＝4，∠D＝90°，
∴AE＝＝．
∴△AFE的面积为：××＝．
【点评】本题考查正方形的性质，四边相等，四个角相等，以及全等三角形的判定和性质．
21．下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的过程：
解：原方程可化为2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步
方程两边同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步
系数化为1得x＝﹣．
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．
【分析】先移项，再提取公因式分解因式，即可得到两个一元一次方程的积，再解一元一次方程即可．
解：从第二步开始出现的错误，其错误原因是等式的性质2用错，
正确的解答过程如下：
2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），
2x（x﹣5）+3（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（2x+3）＝0，
则x﹣5＝0或2x+3＝0，
解得：x1＝5、x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC；
（2）若AD＝4，求AM的长．

【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，从而有AD＝CN，只需证明AM＝NM即可．
（2）设MC＝x，则BM＝4﹣x，由勾股定理与（1）的结论得出AM＝＝＝4+x，解得x即可得出结果．
【解答】（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，
∴AM＝MN，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD＝NC，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝4，∠B＝90°，
设MC＝x，则BM＝4﹣x，
AM＝＝，
∵AM＝AD+MC＝4+x，
∴＝4+x，
解得：x＝1，
∴AM＝5．

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
23．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　（51﹣3x）　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．

【分析】（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；

（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；

（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．