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【期中知识点归纳】沪教版2020 2023-2024学年高二数学 必修3 第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）-试卷
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第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）
一、 点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化
图形语言
文字语言
符号语言
点A在直线a上
点B在直线a外
A∈a
Ba
点A在平面α内
点B在平面α外
A∈α
Bα
直线a在平面α内
直线b在平面α外
aα
bα
直线a与平面α相交于点A
a∩α=A
直线a与直线b相交于点A
a∩b=A
平面α与平面β交于直线a
α∩β=a
★2 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
㈡ 空间图形的位置关系
1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)
平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线
⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
图1-1 异面直线
即：
异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].
⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)
图1-2 直线与平面的位置关系
3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行)
1 线面平行
线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
判定定理：
性质定理：
判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
图1-3 线面角
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l ∩ α = A
直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
3 面面平行
面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
面面平行的判定定理：
图1-4 面面平行
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：
面面平行的性质定理
⑴ (面面平行线面平行)
⑵
⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
图1-5 判定2
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)
1 线面垂直
线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：
常用的判定或证明线面垂直的依据
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★ 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
图1-6 斜线定理
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
图1-7 三垂线定理
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
2 面面斜交和二面角
二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]
二面角平面角的作法：
⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用；
⑵ 三垂线法：常用方法；
图1-8 面面垂直
⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。
3 面面垂直
面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：
面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
⑵
⑶
⑷
二、 立体几何主要难点
1 三种角的对比
角的类型
范围
解题步骤
异面直线
所成角
0°～90°
1找：利用平移法找出异面直线所成角；
⑴ 固定一条直线，平移另一条直线，
⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。
2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；
3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。
直线与平面
所成角
0°～90°
1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；
2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；
3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；
2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；
3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
题型1：平面的基本性质
【例1】若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 .
【答案】，，
【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.
【详解】点在直线上，在平面内，则，，
故､､之间的关系可记作，，.
故答案为：，，
巩固训练：
1．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是 ．
【答案】1个或3个
【分析】根据平面的性质和公理即可求解.
【详解】三条直线两两相交，
若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，
若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面．
综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个．
故答案为：1个或3个.
2．正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分
【答案】
【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案.
【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.
故答案为：
题型2：直线与直线的位置关系
【例2】．在正方体中，M、N分别是棱、的中点，则以下结论：
①直线AM与直线相交；
②直线AM与直线BN平行；
③直线AM与直线异面；
④直线BN与直线异面．
正确的编号有
【答案】③④
【分析】根据直线与直线的位置关系对四个结论逐一分析，由此确定正确结论.
【详解】对于①，∵四点不共面，
∴根据异面直线的定义可得直线AM与是异面直线，故选项①错误；
对于②，取的中点E，连接AE、EN、，则有，
所以四边形是平行四边形，所以，
∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故选项②错误；
对于③，平面，平面，且，
根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故③正确；
对于④，平面，平面，且，
根据异面直线的定义可得，直线BN与直线异面，故④正确；
故选：③④
巩固训练：
1．已知，，，则与的位置关系是 .
【答案】异面
【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系.
【详解】如图所示，因为，，故与不相交，又与不平行，
故与的位置关系是异面.
故答案为：异面
2．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条
【答案】6
【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.
【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：
，共条，
故答案为：
题型3：直线与直线所成角
【例3】在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案.
【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线，
所以与所成角即为异面直线、所成角，
因为，且异面直线所成角的范围是，
所以异面直线、所成角的大小为,
故答案为：
巩固训练：
1．、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则 .
【答案】或
【分析】连接、，利用异面直线所成角的定义可得出的大小.
【详解】连接、，
因为、分别为、的中点，则，同理可知，，
所以，直线与所成角为或其补角，
又因为与所成角为，若为锐角，则；若为钝角，则.
综上所述，或.
故答案为：或.
2．已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 .
【答案】
【分析】根据条件先将直线得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案.
【详解】解：分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示，
设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为，
因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为，
所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即；
当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条，
所以，，解得.
所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，.
故答案为：
题型4：直线与平面的位置关系
【例4】．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：
①，则，
②，则，
③，则，
④，则，
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
【答案】①④
【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.
【详解】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确；
对于②，如果，则结论不成立，错误；
对于③，如图：
，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误；
对于④，，又，正确；
故答案为：①④.
巩固训练：
1. “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可得到结果.
【详解】因为直线平面，直线在平面上，则可得直线直线或直线与直线异面.
故答案为：假
2．经过正方体的两个顶点的所有直线中，异面并且相互垂直的直线有多少 对.
【答案】78
【分析】经过正方体的两个顶点的所有直线有棱、面对角线以及体对角线，结合垂直关系运算求解.
【详解】若其中一条直线为棱，比如，
因为平面，平面，
则异面并且相互垂直的直线的有，共4条棱、2条面对角线，
所以与棱垂直的直线共有对；
若其中一条直线为面对角线，比如，
因为平面，平面，则，
且平面，
所以平面，
则异面并且相互垂直的直线的有，共1条面对角线、2条体对角线，
所以与面对角线垂直的直线（棱除外）共有对；
且体对角线不相互垂直，所以符合题意共有对.
故答案为：78.
题型5：直线与平面所成角
【例5】．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
【答案】/
【分析】根据平面可知即为所求角，利用可求得结果.
【详解】连接，
平面，即为直线与平面所成角，
在中，，，
.
故答案为：.
巩固训练：
1．在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据平面，可得即为与底面ABCD所成角的平面角，由此可求得，从而可求得正棱柱的棱长，再根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，再解即可.
【详解】如图，在正四棱柱中，
因为平面，
所以即为与底面ABCD所成角的平面角，
则，解得，
所以，所以，
因为且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以即为异面直线与所成角的平面角，
在中，，
所以，
所以，
即异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
2．如图的四面体中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为 .
【答案】
【分析】由题意得，四面体为正四面体，进而可以证明平面，求出线面角.
【详解】
如图，连接，
由题意得，四面体为正四面体，
所以，，
因为与点，平面，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角的大小为.
故答案为：.
3．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是 .
【答案】
【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出.
解得，即可求出的取值范围
【详解】作于D.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以即为与平面所成的角，.
设，，则.
在直角三角形中，由正弦的定义：.
在直角三角形中，由等面积可得：，
所以，所以.
在直三棱柱中，.
因为平面，所以.
因为平面，平面，，
所以平面，故，从而，即.
于是，解得：.
又，解得：.
故答案为：.
题型6：平面与平面的位置关系
【例6】．下列四个命题：
①平行于同一平面的两个平面平行；
②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
③垂直于同一平面的两个平面平行；
④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面）
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①④
【分析】①④可通过平面平行的性质和线面垂直的性质可证得，②③可举出反例.
【详解】①根据平面平行的性质可得，平行于同一平面的两个平面平行，①正确；
②一个平面内的无数条直线若都为平行直线，则两平面不一定平行，②错误；
③垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，③错误；
④直线平面，直线平面，由线面垂直的性质可得．（是不同的平面），④正确.
故答案为：①④
巩固训练：
1．已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，满足以下条件：①，；②；③，，，，则与的位置关系是 ．（填“相交”，“平行”或“异面”）
【答案】平行
【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理得到结论.
【详解】由题意可知，直线与直线不平行，过上一点作与直线，如图所示，
则与确定一个平面，
由，，则，
由，，则，又，则，
由，得，
由，得，又，，，所以，
，，所以.
故答案为：平行.
2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是 .
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
【答案】②
【分析】举例说明判断①③④；利用相关性质推理判断②作答.
【详解】对于①，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，显然有，，，而，①错误；
对于②，因为，，当时，由，得，
当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为，
则有，而，，于是，因此，②正确；
对于③，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，满足，，，而，③错误；
对于④，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，满足，，，而，④错误，
所以正确命题的序号是②.
故答案为：②
题型7：二面角
【例7】．在正方体中，二面角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】连接和交于点，可证得平面，则，又，所以为二面角的平面角，在直角中，解三角形即可求出结果.
【详解】如图，连接和交于点，连接．
∵平面，平面，∴，
又平面，
∴平面，又平面，
∴，又，
∴为二面角的平面角，
在直角中，设，则，故．
故答案为：.
巩固训练：
1．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．
【答案】
【分析】由定义作出二面角的平面角，然后解三角形即可.
【详解】
过作，垂足为，过作，垂足为，连接.
平面平面，平面平面，又，平面，
根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故，
又，，平面，故平面，
由平面，故，于是二面角的平面角为，
根据题目数据，在中，，，
则，则.
故答案为：
2．已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是 .
【答案】
【分析】作出辅助线，证明线面垂直，找到即为二面角的平面角，设，表达出各边长，得到，求出，由函数单调性得到余弦值的最小值.
【详解】矩形，连接，与相交于点，
因为，，P为AB的中点，
所以，则∽，所以，
则，故⊥，
将将沿DP翻折，则由⊥，⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
过点作⊥于点，则⊥，
又，平面，所以⊥平面，
过点作⊥于点，连接，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
故即为二面角的平面角，显然为锐角，
在矩形中，，故，，
设，则，，
故，
因为，所以，
则，
设，，则，
所以，即，
解得，即，
因为，所以，
当时，，
因为，所以，故，时，等号成立，
因为在上单调递减，
所以二面角的余弦值最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解.
题型8：异面直线的距离
【例8】．边长为1的正方体中，直线和之间的距离为 .
【答案】1
【分析】把直线和之间的距离转化为公垂线问题，即可求解．
【详解】如图所示，连接，
因为平面，平面，所以，
又，
则直线和之间的距离为，又，
即直线和之间的距离为1.
故答案为：.
巩固训练：
1．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ．
【答案】
【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解.
【详解】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，
则、分别为、的中点，
由已知可得，可得，
因为且，故四边形为平行四边形，则且，
又因为、分别为、的中点，所以，且，
故四边形为平行四边形，故且，
平面，平面，，即，
同理可得，故异面直线与的距离为.
故答案为：.
2．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ．
【答案】/
【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可.
【详解】作的中点，连接，，，
因为，，，所以，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，，，
所以，且，
所以平行四边形为边长为2的菱形，且，
所以和都是正三角形，
所以，，
又因为，、平面，
所以平面，
过作于点，
因为平面，所以，
则为异面直线与的公垂线段，
因为平面平面，
平面平面，，平面，
所以平面，平面，则，
又因为，所以为等腰直角三角形，
所以，即异面直线与的距离为，
故答案为：.
题型9：空间距离问题综合
【例9】．已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。
【详解】取的中点，连接，
∵平面，
∴为在平面内的投影，
又，∴，
由三垂线定理得，，
又，∴.
故答案为:
巩固训练：
1．在直三棱柱中，平面，且，为中点，当时，则点到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】利用等体积法求点到平面的距离即可.
【详解】如图所示，
，，
，为中点，
,
平面,,
,
,
设点到平面的距离为h，
,
,
,
故答案为：
2．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 .
【答案】
【分析】法一：过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h，由求解；法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1lD的平面角，设为θ，由求解.
【详解】法一：根据题意作图，如图①所示，
过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.
因为长方体对面平行，
所以截面BFD1E为平行四边形，则，
当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.
易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.
易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，.
故四边形BFD1E面积的最小值为.
法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②，
过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1lD的平面角，设为θ.
根据射影面积公式,得,
则当cos θ最大时，最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，因为，所以四边形BFD1E面积的最小值为.
故答案为：
3．已知四棱雉的底面是边长为4的正方形，面，点、分别是、的中点，为上一点，且，为正方形内一点，若面，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出与平面平行的平面，由平面以及平面可知，由垂直关系找到的位置，再计算的最小值．
【详解】解：如图所示：
取的中点，连接，与相交于点，连接，
则，
所以；
又平面，平面，
所以平面．
因为，分别是，的中点，
所以，平面，平面，所以平面，
，则平面平面，
因为面，为正方形内一点，所以，
又平面，平面，所以，
，在正方形中，，所以，
则.
故答案为：．
题型10：几何图形截面问题
【例10】．如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为 ．
【答案】
【分析】取，的中点分别为，连接，先证明四边形是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面平面，可得平行四边形即为所求的截面，再计算其面积即可.
【详解】取，的中点分别为，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
因为所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
因为，平面，
所以平面平面，
因此过点作与平面平行的截面，即是平行四边形，
连接，作于点，
由，，
可得，
所以，
所以平行四边形的面积为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找出过与平面平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形，先求四边形一半的面积，乘以即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.
巩固训练：
1．如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 .
【答案】
【分析】利用平面的基本性质作出截面，然后求解面积即可.
【详解】如图：
过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，
并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面，
所以平面，所以平面即为平面，因为，，
所以，所以四边形为菱形，且，，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线，考查学生的空间想象能力.
2．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．点是侧面内一点，过点作一个既平行于侧棱，又平行于底边的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用作平行线的办法先作出符合题意的截面，根据三棱锥侧棱两两垂直推导出截面是矩形，在用相似三角形的关系表示出矩形的面积进行求解.
【详解】
如图所示，在平面内，过点作分别交于．
在平面内过点作交于点，在平面内过点作交于点，
连接，由，，故，于是共面，
由，平面，平面，故//平面，
同理可说明//平面，则四边形是过点既平行于直线又平行于直线的截面．
由//平面，平面平面，平面，故，又，
则，结合可得，四边形是平行四边形．
因为，，，平面，所以平面，
又平面，所以．又，所以，所以平行四边形是矩形．
因为，所以，设相似比为，则，因为，
所以．因为，所以，则，
因为，所以，即，
故，
所以当时，取得最大值.
故答案为：
3．已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论截面的位置，利用异面直线的距离计算截面面积即可.
【详解】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小，
当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，
，设面的法向量为，
则，则，令，则，即，
所以BC到面的距离为；
当F在上（不含两端点）时，如图所示，
此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为；
当F在上（不含两端点）时，如图所示，
此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为；
故，此时，
易得特殊截面，，，
比较所得.
故选：C.
题型11：空间夹角问题综合
【例11】．在长方体中，已知点P为线段的中点，且，，，则直线与AP所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知直线与AP所成的角即为（或其补角），进而在中，运算求解即可.
【详解】因为∥，则直线与AP所成的角即为直线与AP所成的角，
如图，连接，可知直线与AP所成的角即为（或其补角），
则，
因为平面，平面，则，
在，可知，且为锐角，则，
所以直线与AP所成的角为.
故选：B.
巩固训练：
1. 如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由棱锥体积公式可求得，结合解三角形的知识可求得，由体积桥可求得点到平面的距离，进而得到所求角的正弦值，即可求得结果.
【详解】，，，；
平面，平面，，，
又，，
，，
，
，，
设点到平面的距离为，与平面的夹角为，
，解得：，
，又，，即直线与平面的夹角为.
故选：C.
2．如图，在正方体中，下列结论错误的为（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．直线平面
D．平面与平面所成的二面角为
【答案】D
【分析】对A，证明直线平面即可；对B，根据线面角的定义，根据直线与平面所成的角为即可；对C，根据线面垂直的判定证明即可；对D，根据二面角的定义可得平面与平面所成的二面角为即可.
【详解】对A，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故.
又，平面，故平面.
又平面，故.
故直线与直线所成的角为，故A正确；
对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故.
又，平面，故平面.
又平面，故.
同理，又，平面，故平面，故C正确；
对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.
故选：D
3．如图，在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正三棱柱的性质找出在平面内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
由正三棱柱性质易知平面，
过D作，则平面，
则即为与平面所成的角，
易得，
所以.
故选：A.
4．由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用二面角的定义和直角三角形的勾股定理、三角形的余弦定理，化简整理可得结论.
【详解】如图，，，
在上取一点，过在平面内作，交于，
过在平面内作，交于，连接，
则是二面角的平面角，即.
设，在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
，
在中，，
在中，，
即为
，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二面角的定义结合三角函数表示出相关线段的长，最后根据余弦定理有，再代入计算整理即可.
题型12：空间直线与平面解答题综合
【例12】．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于．
(1)求证：；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；
（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.
【详解】（1）根据圆柱性质，平面．
因为平面，所以．
因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，
所以，又平面，故平面．
因为平面DAE，所以．
又，且平面，故平面．
因为平面，所以．
（2）因为平面平面，所以过作，
由平面平面平面ABE，则平面，
即为与平面所成角，
设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，
的面积为．圆柱的底面积，
因为圆柱的底面积与的面积之比等于，所以，
解得，所以点为圆柱底面圆的圆心，
则，
即直线与平面所成角的正切值．
巩固训练：
1．如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．
(1)当点为中点时，求证：平面；
(2)求证：无论点在边的何处，都有．
【答案】(1)详见解析.
(2)详见解析.
【分析】（1）根据中位线平行于底边知，,利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证明出平面,即可证明出结论.
【详解】（1）点是的中点,当点为中点时，
可得，又平面平面
平面.
（2）点是的中点,
又底面，平面,,
又四边形是矩形，又
平面平面,
又平面
又平面,
无论点在边的何处，都有.
2．如图，在四棱锥中，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的大小
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）过点作，连接，由题意可证得平面，所以是直线和平面所成角，求解即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
在中，，平面，平面，
所以平面；
（2）因为是正三角形，是的中点，所以，
设的边长为，所以，
因为平面平面，平面平面，
因为四边形是正方形，所以，
所以平面，平面，所以，
所以，，
所以，所以，又因为，
，平面，所以平面，
过点作，连接，平面，所以，
平面，所以平面，
所以是直线和平面所成角，
在，，所以，
所以，所以.
所以，所以直线和平面所成角的大小.
3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；
（2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平面角求解即可.
【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，
所以，在中，，
因为平面，平面，
所以，平面，
因为，为棱中点．
所以，，
所以，四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以，平面，
因为平面，
所以，平面平面
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面
所以，是直线与平面所成的角，
因为，直线与平面所成的角为，
所以，，
所以，
因为平面，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，即为直角三角形，
所以，在中，由可得，
所以，，即，
因为，，
所以，是二面角的平面角，
所以，二面角的大小为.
4．如图，在三棱锥中，平面平面是的中点，.是边长为1的等边三角形，在射线上.
(1)证明：；
(2)若，且二面角的大小为，求二面角的大小；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明平面得到答案.
（2）确定为二面角的平面角，根据角度计算，再确定为二面角的平面角，计算得到答案.
（3）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，，计算得到最值.
【详解】（1），为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
故平面，又平面，所以
（2）过作，交于点，过作于点，连结，
由题意得，又平面，故平面，又平面，
所以，又，平面，
故平面，又平面，所以，
则为二面角的平面角，即，
又，所以，则，
故，所以，
因为，则，所以，
则，，，
过点作与，连接，
平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
平面，故，
故为二面角的平面角，，，
故，即二面角的大小为
（3）如图所示：过点作于，连接，
则，又平面，故平面，
为直线与平面所成角，
设，，为等腰直角三角形，故，
在中，，
所以，
则，
当时，最大为
5．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．
(1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；
(2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取的中点，连接交于，利用线面垂直的判定定理证明平面即可．进而根据面面平行可得平面，即可确定点F的轨迹为三角形，结合余弦定理即可求解长度.
（2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）在图（1）中，，四边形是正方形，
在图（2）中，，，，平面，
平面，
分别取的中点为,，连接,
则,平面,平面,
所以平面，
同理平面，由于平面，
故平面平面，
平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形，
由，，所以即为二面角A－BD－C的平面角，故，
由于，
因此，
故点F的轨迹长度为
（2）在线段取点使得
由于平面，平面，
，
，，
，
易得，，
从而有，则
则
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）
一、 点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化
图形语言
文字语言
符号语言
点A在直线a上
点B在直线a外
A∈a
Ba
点A在平面α内
点B在平面α外
A∈α
Bα
直线a在平面α内
直线b在平面α外
aα
bα
直线a与平面α相交于点A
a∩α=A
直线a与直线b相交于点A
a∩b=A
平面α与平面β交于直线a
α∩β=a
★2 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
㈡ 空间图形的位置关系
1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)
平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线
⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
图1-1 异面直线
即：
异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].
⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)
图1-2 直线与平面的位置关系
3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行)
1 线面平行
线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
判定定理：
性质定理：
判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
图1-3 线面角
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l ∩ α = A
直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
3 面面平行
面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
面面平行的判定定理：
图1-4 面面平行
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：
面面平行的性质定理
⑴ (面面平行线面平行)
⑵
⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
图1-5 判定2
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)
1 线面垂直
线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：
常用的判定或证明线面垂直的依据
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★ 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
图1-6 斜线定理
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
图1-7 三垂线定理
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
2 面面斜交和二面角
二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]
二面角平面角的作法：
⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用；
⑵ 三垂线法：常用方法；
图1-8 面面垂直
⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。
3 面面垂直
面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：
面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
⑵
⑶
⑷
二、 立体几何主要难点
1 三种角的对比
角的类型
范围
解题步骤
异面直线
所成角
0°～90°
1找：利用平移法找出异面直线所成角；
⑴ 固定一条直线，平移另一条直线，
⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。
2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；
3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。
直线与平面
所成角
0°～90°
1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；
2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；
3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；
2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；
3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
题型1：平面的基本性质
【例1】若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 .
【答案】，，
【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.
【详解】点在直线上，在平面内，则，，
故､､之间的关系可记作，，.
故答案为：，，
巩固训练：
1．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是 ．
【答案】1个或3个
【分析】根据平面的性质和公理即可求解.
【详解】三条直线两两相交，
若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，
若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面．
综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个．
故答案为：1个或3个.
2．正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分
【答案】
【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案.
【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.
故答案为：
题型2：直线与直线的位置关系
【例2】．在正方体中，M、N分别是棱、的中点，则以下结论：
①直线AM与直线相交；
②直线AM与直线BN平行；
③直线AM与直线异面；
④直线BN与直线异面．
正确的编号有
【答案】③④
【分析】根据直线与直线的位置关系对四个结论逐一分析，由此确定正确结论.
【详解】对于①，∵四点不共面，
∴根据异面直线的定义可得直线AM与是异面直线，故选项①错误；
对于②，取的中点E，连接AE、EN、，则有，
所以四边形是平行四边形，所以，
∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故选项②错误；
对于③，平面，平面，且，
根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故③正确；
对于④，平面，平面，且，
根据异面直线的定义可得，直线BN与直线异面，故④正确；
故选：③④
巩固训练：
1．已知，，，则与的位置关系是 .
【答案】异面
【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系.
【详解】如图所示，因为，，故与不相交，又与不平行，
故与的位置关系是异面.
故答案为：异面
2．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条
【答案】6
【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.
【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：
，共条，
故答案为：
题型3：直线与直线所成角
【例3】在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案.
【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线，
所以与所成角即为异面直线、所成角，
因为，且异面直线所成角的范围是，
所以异面直线、所成角的大小为,
故答案为：
巩固训练：
1．、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则 .
【答案】或
【分析】连接、，利用异面直线所成角的定义可得出的大小.
【详解】连接、，
因为、分别为、的中点，则，同理可知，，
所以，直线与所成角为或其补角，
又因为与所成角为，若为锐角，则；若为钝角，则.
综上所述，或.
故答案为：或.
2．已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 .
【答案】
【分析】根据条件先将直线得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案.
【详解】解：分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示，
设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为，
因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为，
所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即；
当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条，
所以，，解得.
所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，.
故答案为：
题型4：直线与平面的位置关系
【例4】．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：
①，则，
②，则，
③，则，
④，则，
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
【答案】①④
【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.
【详解】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确；
对于②，如果，则结论不成立，错误；
对于③，如图：
，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误；
对于④，，又，正确；
故答案为：①④.
巩固训练：
1. “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可得到结果.
【详解】因为直线平面，直线在平面上，则可得直线直线或直线与直线异面.
故答案为：假
2．经过正方体的两个顶点的所有直线中，异面并且相互垂直的直线有多少 对.
【答案】78
【分析】经过正方体的两个顶点的所有直线有棱、面对角线以及体对角线，结合垂直关系运算求解.
【详解】若其中一条直线为棱，比如，
因为平面，平面，
则异面并且相互垂直的直线的有，共4条棱、2条面对角线，
所以与棱垂直的直线共有对；
若其中一条直线为面对角线，比如，
因为平面，平面，则，
且平面，
所以平面，
则异面并且相互垂直的直线的有，共1条面对角线、2条体对角线，
所以与面对角线垂直的直线（棱除外）共有对；
且体对角线不相互垂直，所以符合题意共有对.
故答案为：78.
题型5：直线与平面所成角
【例5】．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
【答案】/
【分析】根据平面可知即为所求角，利用可求得结果.
【详解】连接，
平面，即为直线与平面所成角，
在中，，，
.
故答案为：.
巩固训练：
1．在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据平面，可得即为与底面ABCD所成角的平面角，由此可求得，从而可求得正棱柱的棱长，再根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，再解即可.
【详解】如图，在正四棱柱中，
因为平面，
所以即为与底面ABCD所成角的平面角，
则，解得，
所以，所以，
因为且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以即为异面直线与所成角的平面角，
在中，，
所以，
所以，
即异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
2．如图的四面体中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为 .
【答案】
【分析】由题意得，四面体为正四面体，进而可以证明平面，求出线面角.
【详解】
如图，连接，
由题意得，四面体为正四面体，
所以，，
因为与点，平面，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角的大小为.
故答案为：.
3．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是 .
【答案】
【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出.
解得，即可求出的取值范围
【详解】作于D.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以即为与平面所成的角，.
设，，则.
在直角三角形中，由正弦的定义：.
在直角三角形中，由等面积可得：，
所以，所以.
在直三棱柱中，.
因为平面，所以.
因为平面，平面，，
所以平面，故，从而，即.
于是，解得：.
又，解得：.
故答案为：.
题型6：平面与平面的位置关系
【例6】．下列四个命题：
①平行于同一平面的两个平面平行；
②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
③垂直于同一平面的两个平面平行；
④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面）
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①④
【分析】①④可通过平面平行的性质和线面垂直的性质可证得，②③可举出反例.
【详解】①根据平面平行的性质可得，平行于同一平面的两个平面平行，①正确；
②一个平面内的无数条直线若都为平行直线，则两平面不一定平行，②错误；
③垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，③错误；
④直线平面，直线平面，由线面垂直的性质可得．（是不同的平面），④正确.
故答案为：①④
巩固训练：
1．已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，满足以下条件：①，；②；③，，，，则与的位置关系是 ．（填“相交”，“平行”或“异面”）
【答案】平行
【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理得到结论.
【详解】由题意可知，直线与直线不平行，过上一点作与直线，如图所示，
则与确定一个平面，
由，，则，
由，，则，又，则，
由，得，
由，得，又，，，所以，
，，所以.
故答案为：平行.
2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是 .
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
【答案】②
【分析】举例说明判断①③④；利用相关性质推理判断②作答.
【详解】对于①，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，显然有，，，而，①错误；
对于②，因为，，当时，由，得，
当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为，
则有，而，，于是，因此，②正确；
对于③，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，满足，，，而，③错误；
对于④，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，满足，，，而，④错误，
所以正确命题的序号是②.
故答案为：②
题型7：二面角
【例7】．在正方体中，二面角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】连接和交于点，可证得平面，则，又，所以为二面角的平面角，在直角中，解三角形即可求出结果.
【详解】如图，连接和交于点，连接．
∵平面，平面，∴，
又平面，
∴平面，又平面，
∴，又，
∴为二面角的平面角，
在直角中，设，则，故．
故答案为：.
巩固训练：
1．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．
【答案】
【分析】由定义作出二面角的平面角，然后解三角形即可.
【详解】
过作，垂足为，过作，垂足为，连接.
平面平面，平面平面，又，平面，
根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故，
又，，平面，故平面，
由平面，故，于是二面角的平面角为，
根据题目数据，在中，，，
则，则.
故答案为：
2．已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是 .
【答案】
【分析】作出辅助线，证明线面垂直，找到即为二面角的平面角，设，表达出各边长，得到，求出，由函数单调性得到余弦值的最小值.
【详解】矩形，连接，与相交于点，
因为，，P为AB的中点，
所以，则∽，所以，
则，故⊥，
将将沿DP翻折，则由⊥，⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
过点作⊥于点，则⊥，
又，平面，所以⊥平面，
过点作⊥于点，连接，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
故即为二面角的平面角，显然为锐角，
在矩形中，，故，，
设，则，，
故，
因为，所以，
则，
设，，则，
所以，即，
解得，即，
因为，所以，
当时，，
因为，所以，故，时，等号成立，
因为在上单调递减，
所以二面角的余弦值最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解.
题型8：异面直线的距离
【例8】．边长为1的正方体中，直线和之间的距离为 .
【答案】1
【分析】把直线和之间的距离转化为公垂线问题，即可求解．
【详解】如图所示，连接，
因为平面，平面，所以，
又，
则直线和之间的距离为，又，
即直线和之间的距离为1.
故答案为：.
巩固训练：
1．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ．
【答案】
【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解.
【详解】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，
则、分别为、的中点，
由已知可得，可得，
因为且，故四边形为平行四边形，则且，
又因为、分别为、的中点，所以，且，
故四边形为平行四边形，故且，
平面，平面，，即，
同理可得，故异面直线与的距离为.
故答案为：.
2．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ．
【答案】/
【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可.
【详解】作的中点，连接，，，
因为，，，所以，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，，，
所以，且，
所以平行四边形为边长为2的菱形，且，
所以和都是正三角形，
所以，，
又因为，、平面，
所以平面，
过作于点，
因为平面，所以，
则为异面直线与的公垂线段，
因为平面平面，
平面平面，，平面，
所以平面，平面，则，
又因为，所以为等腰直角三角形，
所以，即异面直线与的距离为，
故答案为：.
题型9：空间距离问题综合
【例9】．已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。
【详解】取的中点，连接，
∵平面，
∴为在平面内的投影，
又，∴，
由三垂线定理得，，
又，∴.
故答案为:
巩固训练：
1．在直三棱柱中，平面，且，为中点，当时，则点到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】利用等体积法求点到平面的距离即可.
【详解】如图所示，
，，
，为中点，
,
平面,,
,
,
设点到平面的距离为h，
,
,
,
故答案为：
2．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 .
【答案】
【分析】法一：过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h，由求解；法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1lD的平面角，设为θ，由求解.
【详解】法一：根据题意作图，如图①所示，
过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.
因为长方体对面平行，
所以截面BFD1E为平行四边形，则，
当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.
易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.
易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，.
故四边形BFD1E面积的最小值为.
法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②，
过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1lD的平面角，设为θ.
根据射影面积公式,得,
则当cos θ最大时，最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，因为，所以四边形BFD1E面积的最小值为.
故答案为：
3．已知四棱雉的底面是边长为4的正方形，面，点、分别是、的中点，为上一点，且，为正方形内一点，若面，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出与平面平行的平面，由平面以及平面可知，由垂直关系找到的位置，再计算的最小值．
【详解】解：如图所示：
取的中点，连接，与相交于点，连接，
则，
所以；
又平面，平面，
所以平面．
因为，分别是，的中点，
所以，平面，平面，所以平面，
，则平面平面，
因为面，为正方形内一点，所以，
又平面，平面，所以，
，在正方形中，，所以，
则.
故答案为：．
题型10：几何图形截面问题
【例10】．如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为 ．
【答案】
【分析】取，的中点分别为，连接，先证明四边形是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面平面，可得平行四边形即为所求的截面，再计算其面积即可.
【详解】取，的中点分别为，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
因为所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
因为，平面，
所以平面平面，
因此过点作与平面平行的截面，即是平行四边形，
连接，作于点，
由，，
可得，
所以，
所以平行四边形的面积为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找出过与平面平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形，先求四边形一半的面积，乘以即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.
巩固训练：
1．如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 .
【答案】
【分析】利用平面的基本性质作出截面，然后求解面积即可.
【详解】如图：
过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，
并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面，
所以平面，所以平面即为平面，因为，，
所以，所以四边形为菱形，且，，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线，考查学生的空间想象能力.
2．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．点是侧面内一点，过点作一个既平行于侧棱，又平行于底边的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用作平行线的办法先作出符合题意的截面，根据三棱锥侧棱两两垂直推导出截面是矩形，在用相似三角形的关系表示出矩形的面积进行求解.
【详解】
如图所示，在平面内，过点作分别交于．
在平面内过点作交于点，在平面内过点作交于点，
连接，由，，故，于是共面，
由，平面，平面，故//平面，
同理可说明//平面，则四边形是过点既平行于直线又平行于直线的截面．
由//平面，平面平面，平面，故，又，
则，结合可得，四边形是平行四边形．
因为，，，平面，所以平面，
又平面，所以．又，所以，所以平行四边形是矩形．
因为，所以，设相似比为，则，因为，
所以．因为，所以，则，
因为，所以，即，
故，
所以当时，取得最大值.
故答案为：
3．已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论截面的位置，利用异面直线的距离计算截面面积即可.
【详解】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小，
当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，
，设面的法向量为，
则，则，令，则，即，
所以BC到面的距离为；
当F在上（不含两端点）时，如图所示，
此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为；
当F在上（不含两端点）时，如图所示，
此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为；
故，此时，
易得特殊截面，，，
比较所得.
故选：C.
题型11：空间夹角问题综合
【例11】．在长方体中，已知点P为线段的中点，且，，，则直线与AP所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知直线与AP所成的角即为（或其补角），进而在中，运算求解即可.
【详解】因为∥，则直线与AP所成的角即为直线与AP所成的角，
如图，连接，可知直线与AP所成的角即为（或其补角），
则，
因为平面，平面，则，
在，可知，且为锐角，则，
所以直线与AP所成的角为.
故选：B.
巩固训练：
1. 如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由棱锥体积公式可求得，结合解三角形的知识可求得，由体积桥可求得点到平面的距离，进而得到所求角的正弦值，即可求得结果.
【详解】，，，；
平面，平面，，，
又，，
，，
，
，，
设点到平面的距离为，与平面的夹角为，
，解得：，
，又，，即直线与平面的夹角为.
故选：C.
2．如图，在正方体中，下列结论错误的为（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．直线平面
D．平面与平面所成的二面角为
【答案】D
【分析】对A，证明直线平面即可；对B，根据线面角的定义，根据直线与平面所成的角为即可；对C，根据线面垂直的判定证明即可；对D，根据二面角的定义可得平面与平面所成的二面角为即可.
【详解】对A，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故.
又，平面，故平面.
又平面，故.
故直线与直线所成的角为，故A正确；
对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故.
又，平面，故平面.
又平面，故.
同理，又，平面，故平面，故C正确；
对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.
故选：D
3．如图，在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正三棱柱的性质找出在平面内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
由正三棱柱性质易知平面，
过D作，则平面，
则即为与平面所成的角，
易得，
所以.
故选：A.
4．由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用二面角的定义和直角三角形的勾股定理、三角形的余弦定理，化简整理可得结论.
【详解】如图，，，
在上取一点，过在平面内作，交于，
过在平面内作，交于，连接，
则是二面角的平面角，即.
设，在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
，
在中，，
在中，，
即为
，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二面角的定义结合三角函数表示出相关线段的长，最后根据余弦定理有，再代入计算整理即可.
题型12：空间直线与平面解答题综合
【例12】．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于．
(1)求证：；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；
（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.
【详解】（1）根据圆柱性质，平面．
因为平面，所以．
因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，
所以，又平面，故平面．
因为平面DAE，所以．
又，且平面，故平面．
因为平面，所以．
（2）因为平面平面，所以过作，
由平面平面平面ABE，则平面，
即为与平面所成角，
设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，
的面积为．圆柱的底面积，
因为圆柱的底面积与的面积之比等于，所以，
解得，所以点为圆柱底面圆的圆心，
则，
即直线与平面所成角的正切值．
巩固训练：
1．如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．
(1)当点为中点时，求证：平面；
(2)求证：无论点在边的何处，都有．
【答案】(1)详见解析.
(2)详见解析.
【分析】（1）根据中位线平行于底边知，,利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证明出平面,即可证明出结论.
【详解】（1）点是的中点,当点为中点时，
可得，又平面平面
平面.
（2）点是的中点,
又底面，平面,,
又四边形是矩形，又
平面平面,
又平面
又平面,
无论点在边的何处，都有.
2．如图，在四棱锥中，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的大小
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）过点作，连接，由题意可证得平面，所以是直线和平面所成角，求解即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
在中，，平面，平面，
所以平面；
（2）因为是正三角形，是的中点，所以，
设的边长为，所以，
因为平面平面，平面平面，
因为四边形是正方形，所以，
所以平面，平面，所以，
所以，，
所以，所以，又因为，
，平面，所以平面，
过点作，连接，平面，所以，
平面，所以平面，
所以是直线和平面所成角，
在，，所以，
所以，所以.
所以，所以直线和平面所成角的大小.
3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；
（2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平面角求解即可.
【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，
所以，在中，，
因为平面，平面，
所以，平面，
因为，为棱中点．
所以，，
所以，四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以，平面，
因为平面，
所以，平面平面
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面
所以，是直线与平面所成的角，
因为，直线与平面所成的角为，
所以，，
所以，
因为平面，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，即为直角三角形，
所以，在中，由可得，
所以，，即，
因为，，
所以，是二面角的平面角，
所以，二面角的大小为.
4．如图，在三棱锥中，平面平面是的中点，.是边长为1的等边三角形，在射线上.
(1)证明：；
(2)若，且二面角的大小为，求二面角的大小；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明平面得到答案.
（2）确定为二面角的平面角，根据角度计算，再确定为二面角的平面角，计算得到答案.
（3）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，，计算得到最值.
【详解】（1），为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
故平面，又平面，所以
（2）过作，交于点，过作于点，连结，
由题意得，又平面，故平面，又平面，
所以，又，平面，
故平面，又平面，所以，
则为二面角的平面角，即，
又，所以，则，
故，所以，
因为，则，所以，
则，，，
过点作与，连接，
平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
平面，故，
故为二面角的平面角，，，
故，即二面角的大小为
（3）如图所示：过点作于，连接，
则，又平面，故平面，
为直线与平面所成角，
设，，为等腰直角三角形，故，
在中，，
所以，
则，
当时，最大为
5．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．
(1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；
(2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取的中点，连接交于，利用线面垂直的判定定理证明平面即可．进而根据面面平行可得平面，即可确定点F的轨迹为三角形，结合余弦定理即可求解长度.
（2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）在图（1）中，，四边形是正方形，
在图（2）中，，，，平面，
平面，
分别取的中点为,，连接,
则,平面,平面,
所以平面，
同理平面，由于平面，
故平面平面，
平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形，
由，，所以即为二面角A－BD－C的平面角，故，
由于，
因此，
故点F的轨迹长度为
（2）在线段取点使得
由于平面，平面，
，
，，
，
易得，，
从而有，则
则
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
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