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初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课后复习题
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这是一份初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课后复习题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二十一章 第01课一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C．=0 D．
4．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4
5．若关于x的方程是一元二次方程，则( )
A． B． C． D．
6．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
7．把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是( )
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
8．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
9．若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
10．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
11．关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
12．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
13．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
14．若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
15．已知整式的值为6，则整式2x2-5x+6的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
16．已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．2
17．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
18．是方程的根，则式子的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
19．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
20．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
21．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
22．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是( )
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
23．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
24．若是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
26．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a)必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
27．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
28．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
29．下列说法正确的是（ ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
30．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二、填空题
31．一元二次方程满足的三个条件
①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有 个未知数；
③未知数的 为2；
32．对“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有 未知数；
②二次：未知数的 为2；
33．若关于x的方程有一个根是1，则 ．
34．一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成 的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左边为关于x的 ，等式右边 ；
35．判断根的方法：分别将未知数的值代入原方程，看左右两边 ， 则是，否则不是．
36．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ．
37．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
38．若a是方程的解，计算：= .
39．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为 ．
40．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是 .
41．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m的代数式表示）．
42．已知=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为 ．
43．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是 ．
三、解答题
44．已知方程.
（1）当取何值时是一元二次方程？
（2）当取何值时是一元一次方程？
45．已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
46．填空：
（1）一元二次方程的一般式是 __________．
（2）把一元二次方程化成一般式是__________．
（3）把一元二次方程化成一般式是__________．
（4）一元二次方程的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是__________．
（5）一元二次方程的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______．
（6）当__________ 时，关于的方程是一元二次方程．
47．下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
48．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．
49．已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
50．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.
51．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）一个长方形的长比宽多，面积是，求长方形的长x；
（2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x；
（3）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有x人．
52．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
53．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
54．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
55．试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.
【详解】A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．D
【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．
【详解】A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；
B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；
C. x2＋＝3是分式方程，故不正确；
D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：D
3．A
【分析】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，
B、分母中有未知数，不是整式方程，B不满足条件，不选B
C、判断二次项系数为a是否为0即可，不选C
D、看二次项系数是0，不是一元二次方程，不选D
【详解】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确，
B、分母中有未知数，不是整式方程，不选B，
C、二次项系数为a是否为0，不确定，不选C，
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故选择：A．
【点睛】本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．
4．D
【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
5．A
【分析】根据一元二次方程的定义求解，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方程(二次项系数不为0）．
【详解】由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案为A
【点睛】一元二次方程的概念是考点，关键点是二次项系数不为0.
6．B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．D
【分析】方程移项变形即可得到结果.
【详解】一元二次方程的一般形式为
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.
8．B
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
9．D
【分析】将n代入方程，提公因式化简即可.
【详解】解：∵n（）是关于x的方程的根，
∴，即n(n+m+2)=0,
∵，
∴n+m+2=0，即m+n=-2，
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.
10．A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
11．A
【分析】分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解.
【详解】解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
12．C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
13．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义把一个解代入，最后根据不等式形式求出代数式的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解．
14．A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
15．C
【分析】观察题中的两个代数式，可以发现，2x2-5x=2（x2-x），因此可整体求出式x2-x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【详解】解：∵x2-x=6
∴2x2-5x+6=2（x2-x）+6
=2×6+6=18，
故选：C．
16．A
【详解】分析：根据一元二次方程的解的定义得到即 原式变形， 整体代入即可．
详解：∵a是方程的一个根，
∴
∴
故选A.
点睛：考查了一元二次方程的解，采用了整体代入法，难度适中.
17．D
【分析】先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
【详解】原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想．
18．B
【分析】把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把式子m3+2m2+2014变形为m（m2+m）+m2+2014的形式，代入即可求出式子的值．
【详解】∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
19．C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
【详解】解：根据题意得：
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
20．C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】A选项：时，方程就不是二次方程，故A错误；
B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误；
C选项：整理得：，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D选项：整理得：，故D错误．
综上所述．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
21．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n=0，然后两边除以n即可得到m+n的值．
【详解】解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
22．C
【分析】将x=-1代入方程，就可求出a-b+c的值.
【详解】解：将x=-1代入方程得， a-b+c=0
故答案为C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
23．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得1﹣m+2＝0，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程中含有参数的解，只需要把x的值代入方程即可求出.
24．C
【分析】根据题意，将m代入方程中，得到，再将整理成，利用整体代入法解题即可．
【详解】是方程的根，
，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．A
【分析】把x=0代入原方程即可求出a的值，注意二次项系数不为0.
【详解】把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2,
又∵a＋20，∴a=2，选A.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解.
26．C
【分析】根据a-b+c=0，即可得到方程的根为x=-1.
【详解】∵x=-1时，代入方程得a×（-1）2+b×（-1）+c=0，即a-b+c=0
故方程有一个根是x=-1
故选C.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是熟知方程根的含义.
27．B
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】2x2＝1-3x化成一元二次方程一般形式是2x2+3x-1＝0，
它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1．
故选B．
【点睛】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
28．B
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|=2，且m+2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=2，且m+2≠0，
解得：m=2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”．
29．B
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误；
B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确；
C.该方程的常数项是－1，故此选项错误；
D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误；
故选B.
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
30．B
【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出a的值．
【详解】方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
31． 整式 一/1 最高次
【分析】根据一元二次方程的定义可得答案．
【详解】解：一元二次方程满足的三个条件：
①方程必须是整式方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次为2；
故答案为：整式；一；最高次．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程满足的三个条件可得答案．
32． 一个 最高次
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：①一元：方程只有一个未知数；
②二次：未知数的最高次为2；
故答案为：一个，最高次
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．
33．1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
34． 二次整式 等于0
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：等式左边为关于x的二次整式，等式右边等于0；
故答案为：，二次整式，等于0
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
35． 是否相等 相等
【分析】根据方程的解的定义的判定即可求解．
【详解】判断根的方法∶分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等，相等则是，否则不是．
故答案为：是否相等，相等
【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的根满足两个条件：（1）根就是未知数的值；（2）使方程两边相等．
36．﹣2
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入得到得 然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】∵2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解决本题的关键.
37．2
【详解】解：由题意得，，解得，
∴m=2，
故答案为2．
38．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义得a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整体思想进行计算即可．
【详解】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．
39．-2
【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【详解】解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
（a-2）（a+2）=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为-2．
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
40．x=-4,x=-1
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
41．120（1﹣m）2
【分析】现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）．
【详解】第一次降价后价格为120（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为120（1-m）（1-m）元，
即120（1-m）2元．
故答案为120（1-m）2．
【点睛】本题考查根据实际问题情景列代数式．
42．-2
【详解】已知=0 是关于 x 的一元二次方程，可得，1-k≥0，解得k=-2.
43．-2．
【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1=0，t2+t+m=0，把两方程相减得到（m-1）t=m-1，如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1=0，解得m的值即可．
【详解】设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t，
则t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得（m-1）t=m-1，
如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常数m的值为-2．
故答案为-2．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
44．（1）（2）或－1
【分析】（1）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得答案；
（2）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是一次的方程是一元一次方程，可得答案．
【详解】(1) 是一元二次方程，
m+1≠0,m2+1=2，
m=1，
当m=1时,方程是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，
①m+1≠0,m2+1=1，
m=0；
②m+1=0，解得m=−1；
当m=0或m=−1时,方程是一元一次方程.
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
45．9
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【详解】∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,
∴解得
故a=9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
46．（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；（2），（3）；（4）4，0，-3；（5）3，-5，-5；（6）≠3.
【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可.
【详解】解：（1）一元二次方程的一般式是：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；
（2）把一元二次方程化成一般式是：；
（3）把一元二次方程化成一般式是：．
（4）一元二次方程的二次项的系数是：4，一次项的系数是：0， 常数项是：-3；
（5）一元二次方程的二次项的系数是：3，一次项的系数是：-5，常数项是：-5．
（6）当m≠3时，关于的方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
47．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析.
【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义判断即可.
【详解】解：（1）未知数最高次数是1，故不是一元二次方程；
（2）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项是：-4；
（3）是分式方程，故不是一元二次方程；
（4）将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程；
（5）方程中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程；
（6）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
48．（1）1 （2）-1 （3）-2
【分析】由ax2+bx+c=0，可得：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0，当x=-2时，有4a-2b+c=0故问题可求．
【详解】解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
（1）当a+b+c=0时，x=1；
（2）当a-b-c=0时，x=-1；
（3）当4a-2b+c=0时，x=-2.
故答案是：（1）1 （2）-1 （3）-2
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
49．﹣1．
【分析】将x＝﹣1代入可得，再将所求代数式化简即可得．
【详解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一个根，
．
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的特征、用完全平方差公式化简求值；关键在于知道方程的根是满足方程的条件．
50．(1) ;(2) ;(3) .
【详解】分析：（1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可；（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可；（3）利用未知数表示出直角三角形的两直角边后利用勾股定理列出方程即可；
本题解析：
（1）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
（2）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
（3）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
51．（1），化为一般形式是；（2），化为一般形式是；（3），化为一般形式为．
【分析】（1）先表示出长方形的宽，再根据长方形的面积公式可列方程；
（2）先表示出两条直角边，再根据勾股定理可列方程；
（3）先表示出每个小朋友应该送出的礼物件数，再根据送出礼物总数可列方程．
【详解】解：（1）设长方形的长为，则宽为，
∴，
化为一般形式是；
（2）依题意得，
化为一般形式是；
（3）假设参加聚会的有x个小朋友，那么每个小朋友应该送出件礼物，则x个小朋友共送出件礼物，可列方程为，
化为一般形式为．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．
52．（1）1 （2），；，
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得
解得．
（2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程．
此时方程为，解得；
当即时，方程为一元一次方程，
此时方程为，解得．
【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面．
53．
【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．
【详解】解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，
解得：a＝2，b＝1，c＝−2，
∴．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．
54．（1）；（2）4
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，即可求解；
（2）利用方程的解得到，推出和，再整体代入原式即可求解．
【详解】（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
【点睛】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得和是解题的关键．
55．证明见解析.
【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20不等于0即可．
试题解析：∵a2−8a+20=(a−4)2+4⩾4，
∴无论a取何值，a2−8a+20⩾4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
第二十一章 第01课一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C．=0 D．
4．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4
5．若关于x的方程是一元二次方程，则( )
A． B． C． D．
6．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
7．把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是( )
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
8．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
9．若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
10．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
11．关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
12．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
13．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
14．若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
15．已知整式的值为6，则整式2x2-5x+6的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
16．已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．2
17．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
18．是方程的根，则式子的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
19．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
20．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
21．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
22．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是( )
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
23．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
24．若是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
26．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a)必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
27．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
28．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
29．下列说法正确的是（ ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
30．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二、填空题
31．一元二次方程满足的三个条件
①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有 个未知数；
③未知数的 为2；
32．对“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有 未知数；
②二次：未知数的 为2；
33．若关于x的方程有一个根是1，则 ．
34．一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成 的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左边为关于x的 ，等式右边 ；
35．判断根的方法：分别将未知数的值代入原方程，看左右两边 ， 则是，否则不是．
36．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ．
37．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
38．若a是方程的解，计算：= .
39．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为 ．
40．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是 .
41．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m的代数式表示）．
42．已知=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为 ．
43．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是 ．
三、解答题
44．已知方程.
（1）当取何值时是一元二次方程？
（2）当取何值时是一元一次方程？
45．已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
46．填空：
（1）一元二次方程的一般式是 __________．
（2）把一元二次方程化成一般式是__________．
（3）把一元二次方程化成一般式是__________．
（4）一元二次方程的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是__________．
（5）一元二次方程的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______．
（6）当__________ 时，关于的方程是一元二次方程．
47．下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
48．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．
49．已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
50．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.
51．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）一个长方形的长比宽多，面积是，求长方形的长x；
（2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x；
（3）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有x人．
52．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
53．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
54．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
55．试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.
【详解】A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．D
【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．
【详解】A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；
B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；
C. x2＋＝3是分式方程，故不正确；
D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：D
3．A
【分析】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，
B、分母中有未知数，不是整式方程，B不满足条件，不选B
C、判断二次项系数为a是否为0即可，不选C
D、看二次项系数是0，不是一元二次方程，不选D
【详解】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确，
B、分母中有未知数，不是整式方程，不选B，
C、二次项系数为a是否为0，不确定，不选C，
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故选择：A．
【点睛】本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．
4．D
【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
5．A
【分析】根据一元二次方程的定义求解，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方程(二次项系数不为0）．
【详解】由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案为A
【点睛】一元二次方程的概念是考点，关键点是二次项系数不为0.
6．B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．D
【分析】方程移项变形即可得到结果.
【详解】一元二次方程的一般形式为
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.
8．B
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
9．D
【分析】将n代入方程，提公因式化简即可.
【详解】解：∵n（）是关于x的方程的根，
∴，即n(n+m+2)=0,
∵，
∴n+m+2=0，即m+n=-2，
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.
10．A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
11．A
【分析】分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解.
【详解】解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
12．C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
13．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义把一个解代入，最后根据不等式形式求出代数式的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解．
14．A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
15．C
【分析】观察题中的两个代数式，可以发现，2x2-5x=2（x2-x），因此可整体求出式x2-x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【详解】解：∵x2-x=6
∴2x2-5x+6=2（x2-x）+6
=2×6+6=18，
故选：C．
16．A
【详解】分析：根据一元二次方程的解的定义得到即 原式变形， 整体代入即可．
详解：∵a是方程的一个根，
∴
∴
故选A.
点睛：考查了一元二次方程的解，采用了整体代入法，难度适中.
17．D
【分析】先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
【详解】原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想．
18．B
【分析】把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把式子m3+2m2+2014变形为m（m2+m）+m2+2014的形式，代入即可求出式子的值．
【详解】∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
19．C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
【详解】解：根据题意得：
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
20．C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】A选项：时，方程就不是二次方程，故A错误；
B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误；
C选项：整理得：，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D选项：整理得：，故D错误．
综上所述．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
21．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n=0，然后两边除以n即可得到m+n的值．
【详解】解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
22．C
【分析】将x=-1代入方程，就可求出a-b+c的值.
【详解】解：将x=-1代入方程得， a-b+c=0
故答案为C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
23．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得1﹣m+2＝0，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程中含有参数的解，只需要把x的值代入方程即可求出.
24．C
【分析】根据题意，将m代入方程中，得到，再将整理成，利用整体代入法解题即可．
【详解】是方程的根，
，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．A
【分析】把x=0代入原方程即可求出a的值，注意二次项系数不为0.
【详解】把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2,
又∵a＋20，∴a=2，选A.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解.
26．C
【分析】根据a-b+c=0，即可得到方程的根为x=-1.
【详解】∵x=-1时，代入方程得a×（-1）2+b×（-1）+c=0，即a-b+c=0
故方程有一个根是x=-1
故选C.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是熟知方程根的含义.
27．B
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】2x2＝1-3x化成一元二次方程一般形式是2x2+3x-1＝0，
它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1．
故选B．
【点睛】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
28．B
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|=2，且m+2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=2，且m+2≠0，
解得：m=2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”．
29．B
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误；
B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确；
C.该方程的常数项是－1，故此选项错误；
D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误；
故选B.
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
30．B
【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出a的值．
【详解】方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
31． 整式 一/1 最高次
【分析】根据一元二次方程的定义可得答案．
【详解】解：一元二次方程满足的三个条件：
①方程必须是整式方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次为2；
故答案为：整式；一；最高次．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程满足的三个条件可得答案．
32． 一个 最高次
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：①一元：方程只有一个未知数；
②二次：未知数的最高次为2；
故答案为：一个，最高次
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．
33．1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
34． 二次整式 等于0
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：等式左边为关于x的二次整式，等式右边等于0；
故答案为：，二次整式，等于0
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
35． 是否相等 相等
【分析】根据方程的解的定义的判定即可求解．
【详解】判断根的方法∶分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等，相等则是，否则不是．
故答案为：是否相等，相等
【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的根满足两个条件：（1）根就是未知数的值；（2）使方程两边相等．
36．﹣2
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入得到得 然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】∵2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解决本题的关键.
37．2
【详解】解：由题意得，，解得，
∴m=2，
故答案为2．
38．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义得a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整体思想进行计算即可．
【详解】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．
39．-2
【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【详解】解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
（a-2）（a+2）=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为-2．
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
40．x=-4,x=-1
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
41．120（1﹣m）2
【分析】现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）．
【详解】第一次降价后价格为120（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为120（1-m）（1-m）元，
即120（1-m）2元．
故答案为120（1-m）2．
【点睛】本题考查根据实际问题情景列代数式．
42．-2
【详解】已知=0 是关于 x 的一元二次方程，可得，1-k≥0，解得k=-2.
43．-2．
【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1=0，t2+t+m=0，把两方程相减得到（m-1）t=m-1，如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1=0，解得m的值即可．
【详解】设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t，
则t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得（m-1）t=m-1，
如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常数m的值为-2．
故答案为-2．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
44．（1）（2）或－1
【分析】（1）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得答案；
（2）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是一次的方程是一元一次方程，可得答案．
【详解】(1) 是一元二次方程，
m+1≠0,m2+1=2，
m=1，
当m=1时,方程是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，
①m+1≠0,m2+1=1，
m=0；
②m+1=0，解得m=−1；
当m=0或m=−1时,方程是一元一次方程.
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
45．9
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【详解】∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,
∴解得
故a=9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
46．（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；（2），（3）；（4）4，0，-3；（5）3，-5，-5；（6）≠3.
【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可.
【详解】解：（1）一元二次方程的一般式是：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；
（2）把一元二次方程化成一般式是：；
（3）把一元二次方程化成一般式是：．
（4）一元二次方程的二次项的系数是：4，一次项的系数是：0， 常数项是：-3；
（5）一元二次方程的二次项的系数是：3，一次项的系数是：-5，常数项是：-5．
（6）当m≠3时，关于的方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
47．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析.
【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义判断即可.
【详解】解：（1）未知数最高次数是1，故不是一元二次方程；
（2）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项是：-4；
（3）是分式方程，故不是一元二次方程；
（4）将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程；
（5）方程中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程；
（6）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
48．（1）1 （2）-1 （3）-2
【分析】由ax2+bx+c=0，可得：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0，当x=-2时，有4a-2b+c=0故问题可求．
【详解】解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
（1）当a+b+c=0时，x=1；
（2）当a-b-c=0时，x=-1；
（3）当4a-2b+c=0时，x=-2.
故答案是：（1）1 （2）-1 （3）-2
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
49．﹣1．
【分析】将x＝﹣1代入可得，再将所求代数式化简即可得．
【详解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一个根，
．
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的特征、用完全平方差公式化简求值；关键在于知道方程的根是满足方程的条件．
50．(1) ;(2) ;(3) .
【详解】分析：（1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可；（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可；（3）利用未知数表示出直角三角形的两直角边后利用勾股定理列出方程即可；
本题解析：
（1）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
（2）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
（3）依题意得，，
化为一元二次方程的一般形式得，.
51．（1），化为一般形式是；（2），化为一般形式是；（3），化为一般形式为．
【分析】（1）先表示出长方形的宽，再根据长方形的面积公式可列方程；
（2）先表示出两条直角边，再根据勾股定理可列方程；
（3）先表示出每个小朋友应该送出的礼物件数，再根据送出礼物总数可列方程．
【详解】解：（1）设长方形的长为，则宽为，
∴，
化为一般形式是；
（2）依题意得，
化为一般形式是；
（3）假设参加聚会的有x个小朋友，那么每个小朋友应该送出件礼物，则x个小朋友共送出件礼物，可列方程为，
化为一般形式为．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．
52．（1）1 （2），；，
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得
解得．
（2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程．
此时方程为，解得；
当即时，方程为一元一次方程，
此时方程为，解得．
【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面．
53．
【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．
【详解】解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，
解得：a＝2，b＝1，c＝−2，
∴．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．
54．（1）；（2）4
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，即可求解；
（2）利用方程的解得到，推出和，再整体代入原式即可求解．
【详解】（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
【点睛】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得和是解题的关键．
55．证明见解析.
【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20不等于0即可．
试题解析：∵a2−8a+20=(a−4)2+4⩾4，
∴无论a取何值，a2−8a+20⩾4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
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