人教版九年级上册21.2.1 配方法精品练习

第二十一章一元二次方程第02课配方法

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ）

A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定

2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　)

A．x2－5＝5 B．－3x2＝0

C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0

4．多项式的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　）

A． B． C． D．不能确定

6．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(   )

A．x= B．x＝±1 C．. D．

7．一元二次方程配方后可变形为（    ）

A． B． C． D．

8．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（  ）

A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69

9．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ）

A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2

10．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定

11．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（    ）

A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定

12．代数式的最小值是（    ）

A．10 B．9 C．19 D．11

13．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】

A．0 B．1 C．﹣1 D．i

14．关于代数式，有以下几种说法，

①当时，则的值为-4.

②若值为2，则.

③若，则存在最小值且最小值为0.

在上述说法中正确的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③

二、填空题

15．方程的根是              ．

16．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝   ．

17．一元二次方程（x+1）2＝4的解为     ．

18．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则      ．

三、解答题

19．解方程

20．用适当的正数填空：

（1）_____=(x-_____)2；

（2）x2-______x+16=(x-____)2；

（3）(x＋____)2；

（4）______=(x-____)2．

21．解方程： （用配方法）

22．解下列方程．

（1）

（2）

23．解方程：

24．

25．阅读材料:若，求m、n的值.

解:，

，

，

.

根据你的观察，探究下面的问题:

（1）已知，求的值.

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.

（3）若已知，求的值.

26．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；

（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；

（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．

参考答案：

1．B

【详解】x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，

任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，

所以（x-）2+的最小值是，

故多项式x2-5x+8的值是一个正数，

故选B．

2．A

【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．

【详解】移项得：，

配方得：，即

故选：A．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

3．C

【详解】解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为，根据平方根的性质，此时方程无解，

故选：C

4．C

【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．

【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51

=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15

=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15

=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15

∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，

∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．

故选：C．

【点睛】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键．

5．B

【分析】利用作差法比较即可．

【详解】根据题意，得

＝，

∵

∴

∴，

故选B．

【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．

6．C

【详解】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；

整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=；

开方得：x=±．

故选C．

7．C

【分析】先移项，再方程两边同加上16，即可得到答案．

【详解】，

，

，

，

故选C．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方法是解题的关键．

8．A

【分析】根据配方法步骤解题即可．

【详解】解：

移项得，

配方得，

即，

∴a=-4，b=21．

故选：A

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

9．B

【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，

而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，

所以-h-=-3，-h+=2，

方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，

所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．

故选：B．

【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．

10．A

【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．

点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．

11．C

【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.

【详解】解：∵

=

=

=

∴

故选：C．

【点睛】本题考查用不等式比较代数式的大小，用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．

12．A

【分析】把代数式根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．

【详解】解：

∵

∴代数式的最小值是10．

故选：A．

【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．

13．D

【详解】由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，

可发现4次一循环，一个循环内的和为0，

∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．

故选D．

14．C

【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．

【详解】解：①当时，

．

故①正确；

②若值为2，

则，

∴a2+2a+1=2a+4，

∴a2=3，

∴．

故②错误；

③若a＞-2，则a+2＞0，

∴=

=

=≥0．

∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．

故③正确．

综上，正确的有①③．

故选：C．

【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．

15．，

【分析】用直接开方法即可得出答案.

【详解】解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x

∴，

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开方法，属于一元二次方程的基础知识，比较简单.

16．−1

【分析】根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．

【详解】解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，

解得a＝±1，

∵a−1≠0，

∴a＝−1．

故答案为：−1．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．

17．x1=1，x2=-3

【分析】用直接开平方法求解即可.

【详解】解：（x+1）2＝4，

x+1＝±2，

解得：x1=1，x2=-3，

故答案为x1=1，x2=-3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.

18．-7

【分析】利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值．

【详解】x−4x−5=x−4x+4−4−5

=(x−2) −9，

所以m=2，k=−9，

所以m+k=2−9=−7.

故答案为-7

【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.

19．，

【分析】根据直接开平方法的步骤解方程即可得到结论；

【详解】

，

【点睛】本题考查一元二次方程解法中的直接开平方法，根据平方根定义进行开平方时，切记负数没有平方根．

20．（1）4；2；（2）8；4；（3）；（4）；

【分析】（1）根据完全平方公式：计算即可；

（2）根据完全平方公式：计算即可；

（3）根据完全平方公式：计算即可；

（4）根据完全平方公式：计算即可．

【详解】解：（1）

故答案为：4；2；

（2）x2-8x+16=(x-4)2

故答案为：8；4；

（3）(x＋)2

故答案为：；

（4）=(x-)2

故答案为：；．

【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．

21．，；

【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.

【详解】解：

∴，

【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程.

22．（1），；（2），

【分析】（1）首先用判别式判断方程实数根的个数，然后用公式法即可求解；

（2）应用配方法即可求解．

【详解】（1）∵，，

∴

∴方程有两个不相等的实数根．

∴

∴，．

（2）∵

∴

∴

∴；

即：，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法和配方法解一元二次方程．

23．

【详解】方程的，

所以方程有两个实数根，

由求根公式

解得，

【点睛】本题考查一元二次方程，要求考生会利用判别式判断一元二次方程根的情况，会用求根公式求一元二次方程的解．

24．

【分析】两边开方得到2（x﹣1）＝±（x+2），然后解两个一元一次方程即可．

【详解】两边开方得：2（x﹣1）＝±（x+2），∴2（x﹣1）＝x+2，2（x﹣1）＝-（x+2），∴x1=4，x2=0．

【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．对于a(x+b)2=c形式的一元二次方程，有解的时候，可以用直接开平方法求解．

25．（1）2（2）6（3）7

【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；

（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；

（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．

【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0

∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0

∴（x+y）2+（y+1）2=0

∴x+y=0y+1=0

解得：x=1，y=﹣1

∴x﹣y=2；

（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0

∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0

∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0

∴a﹣3=0，b﹣4=0

解得：a=3，b=4

∵三角形两边之和＞第三边

∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；

（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．

故答案为7．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．

26．（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3

【分析】（1）直接配方即可；

（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值；

（3）将两式相减，再配方即可作出判断．

【详解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，

故答案为：-2，1；

（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，

（x﹣2）2+（y+1）2＝0，

则x﹣2＝0，y+1＝0，

解得x＝2，y＝﹣1，

则x+y＝2﹣1＝1；

（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）

=x2﹣2x+2

=（x﹣1）2+1，

∵（x﹣1）2≥0，

∴（x﹣1）2+1＞0，

∴x2﹣1＞2x﹣3．

【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．