【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1第一章 集合 压轴题专练 试卷

第一章 集合（压轴题专练）

题型一　集合的基本关系

【例1】　已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.

(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；

(2)若x∈Z，求A的非空真子集个数.

【解析】　(1)∵B⊆A，∴分两种情况：①B≠∅，

如图所示：

∴即

∴2≤m＜3.

②B＝∅.由m＋1>2m－1得m<2.

综上m＜3，即实数m的取值范围为(－∞，3).

(2)∵x∈Z，∴A＝{－1，0，1，2，3，4}.

则A的非空真子集个数为26－2＝62.

思维升华

集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.由集合之间的关系求参数问题，常需分情况讨论，要注意空集情况.

巩固训练

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.1   B.2    C.3     D.4

【答案】　D

【解析】由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.

2．设A＝{(x，y)||x＋1|＋(y－2)2＝0}，B＝{－1，2}，则必有(　　)

A.BA     B.AB

C.A＝B     D.A∩B＝∅

【答案】　D

【解析】A＝{(x，y)||x＋1|＋(y－2)2＝0}＝{(－1，2)}，是点集，而B＝{－1，2}是数集，∴A∩B＝∅.

题型二　集合的运算

【例2】　已知集合U＝{x|－5≤x≤4}，M＝{x|－2≤x<3}，∁UN＝{x|－3<x≤1}.

求：(1)集合N；

(2)集合N∩(∁UM)；

(3)集合M∩N，M∪N.

【解析】　借助数轴可得

(1)

∴N＝{x|－5≤x≤－3，或1<x≤4}.

(2)∵M＝{x|－2≤x<3}，

∴∁UM＝{x|－5≤x<－2，或3≤x≤4}.

N∩(∁UM)＝{x|－5≤x≤－3，或3≤x≤4}.

(3)M∩N＝{x|1<x<3}，

M∪N＝{x|－5≤x≤－3，或－2≤x≤4}.

思维升华

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误.不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏.

巩固训练

1．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}.

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求实数a的取值范围.

【解析】　(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，

所以A∪B＝{x|2≤x<10}.

因为A＝{x|2≤x<7}，

所以∁RA＝{x|x<2或x≥7}，

则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}.

(2)因为A＝{x|2≤x<7}，

C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，

所以a>2，所以实数a的取值范围是{a|a>2}.

题型三　集合中的新定义问题

【例3】(2)若对任意的x∈A，有∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝{－1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为____________.

【解析】具有伙伴关系的元素组有－1，1，2和共三组，

它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，

所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，，{－1，1}，，，，

共7个．

思维升华

(1)紧扣“新”定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚．

(2)把握“新”性质，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

(3)遵守“新”法则，准确把握新定义的运算法则．

巩固训练

1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝(　　)

A．{0，1} B．{1，2}

C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}

【答案】(1)D　(2)7

【解析】(1)A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|2<x<5}，

所以A－B＝{0，1，2，5}，故选D．

2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝____________.

【答案】{0}∪[2，＋∞)

【解析】A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0<x<2}，

则A⊗B＝{0}∪[2，＋∞).

题型四　集合表示方法的综合应用

【例4】　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.

【解析】　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；

②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.

综上所述，k＝0或k＝1，

故实数k的值组成的集合为{0，1}.

思维升华

(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.

(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.

巩固训练

1．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.

【解析】∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，

由根与系数关系得∴

∴B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1，5}.

2．已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.

【答案】　{0，1}

【解析】　∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；

当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.∴B＝{0，1}.

题型五　补集与集合关系的综合应用

【例5】　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围.

【解析】　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅.∵A∁RB，

∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论.

①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.

②若A≠∅，则有或∴a≤1.

综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.

思维升华　

如果所给集合是无限集，一般用数轴分析法求出其补集，要注意端点的取舍；结合两集合的子集、真子集关系，要注意分空集与非空集合两种情况讨论.

巩固训练

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A⊆∁UB，求实数a的取值范围.

【解析】　若B＝∅，则a＋1>2a－1，即a<2时，此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB.

若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2时，

此时∁UB＝{x|x<a＋1或x>2a－1}，

又A⊆∁UB，所以a＋1>5或2a－1<－2，所以a>4或a<－(舍去).

所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.

题型六　集合概念中的数学思想

【例6】已知集合A＝{x|(x－m)(x＋2)<0}，B＝{x|x＋m<0}．

(1)当m＝1时，求A∩B；

(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

【答案】(1)A∩B＝(－2，－1)　(2)m∈(－∞，0]

【解析】(1)当m＝1时，

A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，所以 A∩B＝(－2，－1)；

(2)若A∩B＝A，则A⊆B.

①当m＝－2时，A＝∅，A⊆B，符合题意；

②当m>－2时，A＝{x|－2<x<m}，B＝{x|x<－m}．

若A⊆B，则－m≥m，解得m≤0，所以m∈(－2，0]；

③当m<－2时，A＝{x|m<x<－2}，B＝{x|x<－m}．

若A⊆B，则－m≥－2，解得m≤2，所以m∈(－∞，－2)；

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0].

巩固训练

1．设集合M＝{x|<3}，2M，则实数a的取值范围是________.

【答案】∪

【解析】若2∈M，则<3，解得≤a<，其补集是∪

2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________.

【答案】－3≤m≤

【解析】不妨先考虑当A∩B＝∅的情形：

当B＝∅时，2m－1>m＋1解得m>2.此时A∩B＝∅.

当B≠∅时，m≤2.

由A∩B＝∅可得m＋1<－2，或2m－1>2，解得m<－3，或m>.故此时m<－3，或<m≤2.

综上可得当A∩B＝∅时，m<－3，或m>；从而当A∩B≠∅时，m的取值范围是－3≤m≤.