2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知，，则与的关系(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.观察式子：，；，；，，由此猜想上述探究过程蕴含的思想方法是(    )

A. 特殊与一般 B. 整体 C. 转化 D. 分类讨论

8.下框是缘缘与芳芳两位同学解方程的过程：

下列判断正确的是(    )

A. 缘缘和芳芳都错 B. 缘缘错，芳芳对 C. 缘缘和芳芳都对 D. 缘缘对，芳芳错

9.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

10.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为，则点运动的时间是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.计算的值是______ ．

12.已知，则 ______ ．

13.若根式与为同类最简二次根式，则等于______ ．

14.若关于的一元二次方程有实数根则的取值范围是        ．

15.如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉个小正方形和个小长方形阴影部分即剪掉的部分，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子纸板的厚度忽略不计，且折成的长方体盒子的表面积是，则小正方形的边长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算：
；
；
；
．

17.本小题分
解方程：
；因式分解法
；公式法
；配方法
适当方法

18.本小题分
已知，，满足．
求，，的值；
以，，为边能否构成直角三角形？请说明理由．

19.本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根，
求的取值范围；
若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．

20.本小题分
平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是______ ；
若售价为每顶元，求每周的销售利润；
若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

21.本小题分
阅读与思考

任务：
填空：材料中的 ______ ， ______ ．
求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
若方程的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值．

22.本小题分

如图所示，四边形为矩形，，，若点从点出发沿以的速度向运动，从点出发沿以的速度向运动，如果、分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止设运动的时间为．
当为何值时，的面积为？
是否存在使为等腰三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

23.本小题分
阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如继续进行以下的探索：设其中，，，都是正整数，则有，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得______，______；
利用上述方法，填空：____________；
如果，且，，都是正整数，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
先化简分子，再约分即可得．
本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的常用方法．

2.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的性质分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．
将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与是同类二次根式，本题得以解决．
【解答】
解：，，，，
与是同类二次根式的是，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：，．
故选：．
本题可先将分母有理化，然后再判断、的关系．
本题主要考查了分母有理化的计算方法，在分母有理化的过程中，正确找出分母的有理化因式是解决问题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，，



．
故选：．
把原式化简为含、的形式，再整体代入计算．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，



．
故选：．
由题意知，，则，根据，计算求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．

7.【答案】 

【解析】解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，
故选：．
根据题意确定蕴含的思想方法．
本题考查的是二次根式的乘除法、数学思想，正确区分所学的数学思想是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：缘缘：根据等式的基本性质可知等式两边同时除以一个不为的数，等式仍成立，
的值不确定是否等于，
缘缘的解方程错误；
芳芳：提取公因式，得：，
芳芳的解方程错误．
故选：．
根据等式的基本性质和解一元二次方程的方法和步骤判断即可．
本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤并正确计算是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设动点，运动秒后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得，当时，，不合题意，舍去．
动点，运动秒时，能使的面积为．
故选：．
设出动点，运动秒，能使的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
先根据二次根式的性质化简，然后合并即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
原式．
故本题答案为：．
先化简的值，利用倒数表示，再把、值代入代数式求值．
本题考查了二次根式的化简求值以及分式求值的计算．

13.【答案】 

【解析】解：根式与为同类最简二次根式，
，
．
．
故答案为．
根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且．
故答案为：且．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

15.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，则小长方形的宽为，长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
小正方形的边长为．
故答案为：．
设小正方形的边长为，则小长方形的宽为，长为，利用折成的长方体盒子的表面积大正方形的面积小正方形的面积小长方形的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】解：原式

；
原式
；
原式




；
原式
． 

【解析】先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可；
先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后分母有理化，最后合并即可；
先根据绝对值和零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂的意义是解决问题的关键．

17.【答案】解：移项，得，
分解因式，得，
或，
，；
，，，
，
原方程无实数根；
移项，得，



，；

，
，
，
． 

【解析】先移项，再因式分解即可求解；
先由题意得，，，再根据得出方程无实数解；
先将常数项移到方程右边．再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边化成完全平方式，最后再开方即可求解；
先方程两边同时除以，再移项，得，则有，然后开平方即可求解．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．

18.【答案】解：，
，，，
，，；
以，，为边不能构成直角三角形．
理由如下：
，，，
较小的两边之和为：，
，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形． 

【解析】利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定，，的值即可；
根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解．
本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．

19.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
且；

方程的一个根是，
，
解得，
，即，
解得．
即另一个根为． 

【解析】因为关于的方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于的不等式组，解得的取值范围即可；
根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，求出的值，再解方程即可求得方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解的定义，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

20.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：；
根据题意得：



元．
答：每周的销售利润为元；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价元．
利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式；
利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，即可求出结论；
利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论．
本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

21.【答案】      

【解析】解：材料中的，．
故答案为：，．
，
一元二次方程的两根为，，
该方程的两根是互为有理化的一对无理根．
由题意可知，方程的另一根是，
，，
，．
根据根与系数的关系求得即可；
解方程求得方程的解即可判断；
根据互为有理化的一对无理根的概念即可求得方程的另一根，利用根与系数的关系即可求得，的值．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，无理根的概念，熟练掌握新概念以及根与系数的关系是解题的关键．

22.【答案】解：由题意可得：，，
四边形为矩形，，，
，，，
，
，
解得：或；
，
不符合题意，则，
当时，的面积为．
不存在使为等腰三角形．
由题意可得：，，，
，
为钝角三角形；且为等腰三角形，
，
，
，
，
方程无解，
不存在使为等腰三角形． 

【解析】由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程并检验即可；
由题意可得：，，，可得，由为钝角三角形；且为等腰三角形，可得，建立方程，再利用方程根的判别式可得答案．
本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，利用图形面积与等腰三角形的性质建立方程求解是解本题的关键．

23.【答案】       

【解析】解：，；
；
，
，而，都为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
综上所述，的值为或，
故答案为：；；
；．
仿照阅读理解解答；
根据完全平方公式计算即可；
分，或，两种情况，根据的结论计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．