山东省烟台市龙口市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学

（时间：120分钟，分值：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，且，则实数等于（    ）

A．3   B．    C．9    D．

2．如果，那么直线不通过（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（    ）

A．5条    B．6条    C．7条    D．8条

4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）

A．                       B．

C．或           D．或

5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，面，且，若，则（    ）

A．1    B．2    C．    D．

6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，是直角圆锥的两个轴截面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体分别为的中点，则（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的有（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．直线在轴的截距为1

C．过两点的直线方程为

D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为

10．设向量可构成空间一个基底，下列结论正确的有（    ）

A．若则

B．两两共面，但不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使

D．一定能构成空间的一个基底

11．设直线与，则（    ）

A．当时，               B．当时，

C．当时，间的距离为    D．坐标原点到直线的距离的最大值为

12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，．分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的有（    ）

A．

B．存在点，使面

C．存在点，使直线与所成的角为

D．点到平面与平面的距离和为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线的一个方向向量，且直线经过点和两点，则的值为_________．

14．已知点的坐标分别为，直线与线段的延长线相交，则实数的取值范围是________．

15．已知四棱锥的底面是正方形，平面且，则到直线的距离为______．

16．已知定点与定直线，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，则使面积最小的直线方程为________．

四、解答题：本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知的三个顶点是．

（1）求的面积；

（2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程．

18．（12分）如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点在上，且．

（1）证明：四点共面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）已知点，直线和

（1）过点作的垂线，求垂足的坐标；

（2）过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程．

20．（12分）等腰直角三角形的直角顶点和顶点都在直线上，顶点的坐标是，直线的倾斜角是钝角．

（1）求直线在轴上的截距之和；

（2）平行于的直线与边分别交于点，若的面积等于，求直线与两坐标轴围成的三角形的周长．

21．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面为棱的中点，．

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明：若不存在，请说明理由．

22．如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点分别在棱上．

（1）若是的中点，证明：；

（2）若平面，二而角的余弦值为，求四面体的体积．

高二数学答案

一、选择题：D B D D A C A B

二、选择题：AD  BCD  ACD  ABD

三、填空题：

13．    14．    15．    16．

四、解答题：本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】

解：（1）A，

故直线的方程为，即，

，，

点到直线的距离为

所以的面积为

（2）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，

①当直线与平行，所以，所以．

②当直线通过的中点，

所以，所以，即，

综上：直线的方程为或．

18．

【详解】（1）因为平面平面，

所以，

又，所以以为原点，

所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

由，得

所以．

设，则．

解得，所以，故四点共面．

（2）设平面的法向量为

由，即，取，则，

设直线与平面所成角为，则，

设直线与平面所成角为，则

故直线与平面所成角的正弦值为．

19．【小问1详解】

，即，则，直线为，

即，联立方程，解得，故．

【小问2详解】

不妨设，则，则，

解得，故直线过点和点，

故直线方程为，即．

20．解：（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为，

直线的方程为，即，

令，得，所以直线在轴上的截距为4．

设，由知点到直线的距离等于点到直线的距离，

即，解得或，

当时，即，不符合题意舍去，

当时，即，符合题意，

所以直线的方程为，

令，得，所以直线在轴上的截距为，

所以直线在轴上的截距之和为3．

（2）设直线的方程为，

由可得，则．

的面积为，而的面积为，

所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，

即，解得或．

因为直线与边分别交于点，所以，

即直线l的方程为，

所以所求三角形的周长为．

21．解：（1）取中点，连接，

分别为的中点，且

底面四边形是矩形，为棱的中点，

且且，故

四边形是平行四边形，．

又平面平面，

平面

（2）假设在棱上存在点满足题意，

在等边中，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面平面，平面，

以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如因所示的空间直角坐标系，则，

，

故．

设，

．

设平面的一个法向量为，

则，取得，则．

易知平面的一个法向量为，

故存在点，位于棱上靠近点的三等分点处满足题意．

22．解法1：由题设知，两两垂直。以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，

，其中

（1）若是的中点，则，于是，所以，即；

（2）由题设知，是平面内的两个不共线向量．

设是平面的一个法向然，则，即，取，得．又平面的一个法向量是，所以

，而二面角的余弦值为，因此．解得，或（舍去），此时

设，而，由此得点，

所以因为平面，且平面的一个法向量是，

所以，即，亦即，从而，于是，将四面体视为为底面的三菱锥，则其高，故四面体的体积

解法二（Ⅰ）如图c，取的中点，连结，因为是梯形的两腰，是的中点，所以，于是由知，，所以四点共面．

由题设知，，所以平面，因此①

因为，所以，因此，于是，再由①即知平面，又平面，故．

（Ⅱ）如图d，过点作交于点，则平面．

因为平面，所以平面，过点作于点，连结，则为二面角的平面角，所以，即，从而．③

连结，由平面，所以，又是正方形，所以为矩形，故．

设，则．④过点作交于点，则为矩形，所以，因此，于是，所以，再由③得，解得，因此．故四面体的体积．