四川省雅安市天立学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（理科）试题

保密★启用前【考试时间：2022年10月8日下午14：20一16：20】

雅安天立学校高2021级2022—2023学年度上期

第一次教学质量测试

理科数学

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）

1．已知：直线，若，则的值为（    ）

A．1     B．     C．     D．

2．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ）

A．     B．     C．     D．

3．已知点和在直线的异侧，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．已知直线经过点，点，则直线的方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

5．若点在圆外，则实数的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

6．设点，直线过与线段相交，则的斜率取值（    ）

A．     B．     C．     D．以上都不对

7．已知，且，则的最小值为（    ）

A．     B．     C．2     D．

8．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（    ）

A．     B．     C．     D．

9．某公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（    ）

A．18000元     B．16000元     C．14000元     D．12000元

10．如图，在边长为的等边三角形中，圆与相切，圆与圆相切且与相切，…，圆与圆相切且与相切，依次得到圆，．当圆的半径小于时，的最小值为（    ）

A．5     B．6     C．7     D．8

11．己知实数满足，其中，则实数的最小值为（    ）

A．     B．     C．     D．

12．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）

A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；将答案书写在答题卡对应题号的横线上．）

13．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，则该直线的斜率为_________________．

14．圆和圆的公共弦所在的直线方程为_________________．

15．点在动直线的投影点为，若点，则的最大值是_________________．

16．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________．

三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每题各12分，共70分；将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）直线与直线的交点为，求点到直线的距离．

18．（12分）已知圆经过三点．

（1）求圆的一般方程；

（2）已知圆，判断圆和圆的位置关系，并说明理由．

19．（12分）设满足．

（1）求的最值；

（2）求的最值．

20．（12分）已知过点且斜率为的直线与圆交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）若，其中为坐标原点，求．

21．（12分）已知某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：

分别用表示搭载新产品的件数，总收益用表示．

（1）用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别搭载新产品各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．

22．（12分）已知，直线

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；

（2）在（1）的条件下，求弦中点轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？

（3）若定点分弦为，求方程．

2022-2023学年度上期高二第一次教学质量测试

数学（理科）部分参考解析

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1-5：BCDAC   6-10：ADBCA   11-12：DB

二、填空题（4个小题，每小题5分，共20分）

13．    14．    15．    16．

三、解答题（6个小题，共70分）

17．解：由，解得，所以，交点．

，即．

18．解：（1）设圆的一般方程为，

将代入方程，

可得，

解得，

故所求的圆的方程为：．

（2）圆，将其化为标准方程为，

记圆的圆心为，半径为．

可知该圆的圆心，半径．

同理将圆，将其化为标准方程为，

记圆的圆心为，半径为，

可知该圆的圆心，半径．

圆与圆两圆相交．

19．解：由题意可知的轨迹为一个圆心，半径为1的圆，

（1）令，则，即求直线与圆相切时的截距的最值，

当圆心到直线的距离等于半径时可取到最值，

，则或，

．

（2）由题等价于圆上一点到原点的距离的平方的最值，

20．解：（1）由题设，可知直线1的方程为．

与交于两点，，

解得．的取值范围为．

（2）设．将代入方程，

整理得．

．

．

由题设可得，解得的方程为．

故圆心在1上，所以．

21．解：（1）设搭载产品为件，产品为件，预计总收益．

则，作出可行域，如图．

（第一问的可行域正确得3分，第二问的直线平移正确得1分）

（2）作出直线并平移，由图象得，

当直线经过点时能取得最大值，

联立，解得．

（万元）．

答：搭载产品件，产品件，可使得总预计收益最大，为960万元．

22．解：（1）圆心，半径，则圆心到直线的距离，

对直线与圆总头两个不同的交点；

（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）

（2）设中点，因为恒过定点斜率存在时，，又，

，整理得：，

即：，表示圆心坐标是，半径是的圆；

斜率不存在时，也满足题意，

所以弦中点轨迹方程为：，

它表示圆心坐标是，半径是的圆．

（3）设解方程组

得，①

又，

即：②

联立①②解得，则，即

将点的坐标代入圆的方程得：，

直线方程为和