辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高一10月份考试

数学试卷

命题人：大连市第十二中学  翟世臣    校对人：大连市第十二中学  孙翠玲

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

3．命题，的否定是（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

4．已知集合，，则下列图象中，能表示从集合集合B的一个函数的为（    ）

A． B．

C． D．

5．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，则的值等于（    ）

A． B．4 C．2 D．

7．刀郎新专辑《山歌寥哉》发布后火遍全球，全球播放流量突破336亿，某海外音响唱片店，若按每片15美元的价格销售，每天能卖出30片，若售价每提高1美元，日销售量将减少2片，现决定提价销售，为使这批唱片每天获得400美元以上（不含400美元）的销售收入，则这批唱片的销售单价x（单位；美元）取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的项得0分，部分选对的得2分）

9．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ）

A． B． C． D．

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

11．下列说法错误的是（    ）

A．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件

B．设，则“且”是“”的充分非必要条件

C．函数的最小值为6

D．若已知方程，则

12．下列各选项给出的数学命题中，正确的是（    ）

A．函数与是相同函数

B．若是一次函数，满足，则

C．若的定义域是，则函数的定义域是

D．关于x的不等式的解集，则不等式的解集为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数，则函数的定义域________．

14．设a，，记，则函数的最大值________．

15．已知二次函数的值域为，则的最小值________．

16．关于x不等式，恰有3个整数解，则实数a的取值范围________．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算过程）

17．（10分）已知集合，，

（1）当时，求；；

（2）若是充分条件，求m的取值范围．

18．（12分）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点．

（1）求函数的稳定点；

（2）若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点；

（3）已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围．

19．（12分）已知函数

（1）设，求不等式的解集；

（2）设，，若在上的最大值为，求的最小值．

20．（12分）已知是一元二次函数，满足且

（1）求函数的解析式．

（2）函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．

求的取值范围．

21．（12分）某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a个单位（且）的治污试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则，某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．

（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？

（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m的最小值．

22．（12分）已知函数和，定义集合

（1）设，，若，求m的取值范围．

（2）设，，，若，求m的取值范围．

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高一10月份考试数学试卷

参考答案：

1．B  【解】．故选：B

2．A  【解】对于A中，由，则成立，反之：若，则不一定成立，

所以是的充分不必要条件，所以A符合题意；

对于B中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，

所以是的即不充分也不必要条件，所以B不符合题意；

对于C中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，

所以是的即不充分也不必要条件，所以C不符合题意；

对于D中，由，则不一定成立，反之：若，则成立，

所以是的即必要不充分条件，所以D不符合题意．故选：A

3．D  【解】命题“，，”的否定是，“，”．故选：D．

4．C  【解】选项A，图像对应的定义域不包含，不成立；

选项B，图像存在x有两个y与之对应，不表示函数图像，不成立；

选项C，图像对应的定义域为，且每个x都有唯一的y与之对应，

且值域为，满足题意；

选项D，当，有两个y与之对应，不表示函数图像，不成立；故选：C

5．A  【解】得所以故选：A

6．B  【解】因为

所以．故选：B

7．C  【解】设这批唱片的销售单价为x美元，由题意得，，

即，解得，又因为，所以，

这批唱片销售单价x的取值范围是．故选：C

本题提价销售应该大于15。否则没有答案，讲题和学生讲清楚，答案维持不变。

8．C  【解】因为“，使得”为假命题，

所以“，使得”为真命题，

即在内有解，即．

因为，当且仅当时等号成立，

所以，所以实数a的取值范围为．故选：C

9．ACD  【解】令，解得；令，解得；

由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是，

则它的定义域是可能是，，．故选：ACD．

10．BD  【解】A中，有，错误；

B中，时，，

因为，所以，，所以，所以，故B正确；

C中，，时，，，则，故C错误；

D中，由，可得，D正确；故选：BD

11．CD  【解】对于A选项，关于x的方程有一正一负根，

所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故A选项正确．

对B，充分性：由“且”，显然可以得出“”，

必要性：由成立，举反例可知不正确，如，故B选项正确

对于C，，

等号成立的条件是，

解得：，不成立，所以等号不成立，所以函数的最小值不是6，故C错误；

对于D，或故D错误；故选：CD

12．AC  【解】对于A，正确

对于B，解得或    B错误，

对于C，依题意，，解得，所以函数的定义域为．故C正确；

对于D，方程的根为和3，且，

由，得，

化简得，解得，所以D错误，故选：AC

13．【解】或写

14．【解】

15．【解】因为二次函数的值域为，

则可得，则，

可得，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为5

16．【解】不等式可化为，

③当时，原不等式等价于，其解集为，

∵其解集中恰有3个整数，∴，解得：；

⑤当时，原不等式等价于，其解集为，

∵其解集中恰有3个整数，，解得：，

综合以上，可得：．故答案为：．

17．（1），；（2）．

【详解】（1）当时，，而，所以，

又，所以．

（2）由是充分条件，则有成立，显然，

于是，解得所以m的取值范围为

18．（1），（2），，，（3）

【解】（1）由题意可知，得，故函数的稳定点为

（2）设点是稳定点，则有即，

由题意知方程有两个根，且这两个根互为相反数．故，且解得．

得，则稳定点为，

（3）对任意实数b，函数恒有两个相异的稳定点，

即恒有两个不相等实数根，，

即恒成立，

令，这是一个关于b的二次函数，

所以，故．

19．【解】（1）根据题意可得即，即，

当时，，即

当时，又的两根为和，所以

综上所述，当时，解集为；

当时，解集为；

（2）的对称轴为，

因为，，所以

当时，即时，，与矛盾，不合题意；

当时，即时，，而，符合题意；

所以可得，又，，因此；故

20．（1）设

由题意得，

∴，，

（1）当时

当时，所以

当时，所以

不妨设，

由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知

又由，，有图像可知，

所以，故

21．（1）7天    （2）

【解】（1）因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为

，

当时，，解得；

当时，，解得；

综上求得，

所以一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．

（2）设从第一次投放起，经过天后，

浓度为．

因为，∴，，所以即

令，

所以，因为，所以

当且仅当，即时，等号成立，

答：为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2

22．【解】（1）由题意得

当时，时，满足题意

当时，解得；

综上可得

（2）定义集合

（解法一）则，得所以

则，整理得等价于

对应方程的两个根为，

若使成立，不妨先求后取其补集

①当时，即若使

则满足解得     所以

若使，则可得

②当时，即，若使

则满足解得    所以

若使则可得

③当时，即

由不等式（1）解得      由不等式（2）解得且，

满足所以

综上可得所以

（解法二）不等式，解得    ①

不等式，解得    ②

方程的解，

1°）当时，即

①式不等式的解

②式不等式的解为且满足，故

2°）当时，即

不等式②的解或，而

若使成立，则只需满足，可得

3°）当时，即

不等式②的解或

（1）若时，解得，又因为，所以

（2）若时，解得，所以

（3）不等式的解为，又因为，所以

综上可得或或，即