山东普高大联考2023-2024学年高二上学期10月联合质量测评数学试题

试卷类型：A

山东普高大联考10月联合质量测评试题

高二数学

2023．10

本卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。

2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影为（    ）

A．1 B．3 C． D．

2．已知倾斜角为θ的直线l与直线的夹角为30°，则θ的值为（    ）

A．30°或150° B．120°或0° C．90°或30° D．60°或180°

3．已知点，，则以线段AB为直径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线所成夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知直线l与直线的斜率相等，且直线l与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24，则直线l的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（    ）

A． B． C．  D．

7．正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，则平面AMN与平面EFD的距离为（    ）

A．2 B． C． D．1

8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆的方程：，点B，C是圆上关于y轴对称的两点，点P是圆上任意一点，直线PB与y轴交于点M，直线PC与y轴交于点N，则的值为（    ）

A．4 B．2 C．6 D．3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法中不正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

10．下列命题正确的是（    ）

A．直线l的方向向量为，平面α的法向量是，则

B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则

C．平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则

D．平面α的一个法向量为，点在平面α内，则点也在平面α内

11．已知圆C：，下列说法正确的是（    ）

A．点在圆C内部

B．圆C与圆相离

C．过的直线与圆C相交，弦长为，则直线方程为或

D．若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立

12．如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是AB，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（    ）

A．平面ABH  B．平面

C．直线EF与所成的角为30° D．三棱锥的体积最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过原点作直线l，若点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______．

14．已知圆C的圆心位于第三象限且在直线上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是______．

15．已知，，，若，，共面，则λ=______．

16．在四棱锥中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，，则平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为______，异面直线PB与CD的距离为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知的顶点为，，．

（1）求过C且平行于直线AB的直线的方程；

（2）求边AB上的高CD所在直线的方程．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，AB长为2，AD长为1，侧棱PA的长为，且PA与AB，AD的夹角都等于45°，M是PC的中点．设，，．

（1）试用，，表示出向量；

（2）求BM的长．

19．（12分）已知圆C经过点，，并且直线l：平分圆C．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线m：与圆C交于M，N两点，是否存在直线m，使得（O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）如图，正方体中，M为的中点．

（1）若点N为的中点，求证：M，B，，N四点共面；

（2）求直线CD与平面所成角的正弦值．

21．（12分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，，，．

（1）求证：直线AC⊥平面；

（2）求二面角的余弦值．

22．（12分）在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P在面上运动，且满足．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）求点P在长方形内的轨迹长度；

（3）求线段AP长度的最大值．

高二数学答案

一、选择题

1．A    2．B    3．B    4．C    5．D    6．B    7．C    8．A

7．解析：如图，在正方体中，，．

∵，，

AN，MN⊂面AMN，EF，DE⊂面EFD，

∴面面EFD，

∴面AMN与面EFD的距离即为点D到面AMN的距离．

令点D到面AMN的距离为h．

利用等体积法，有．

，

，

则，∴．

∴面AMN与面EFD的距离为．

8．解析：设，，

∵点B，C关于y轴对称，

∴点C的坐标为．

∵点B，C，P均为圆上一点，

∴，，

直线PB的方程：，

直线PC的方程：，

令，则M点的纵坐标为，

N点的纵坐标为，

∴，

．

二、选择题

9．ABC    10．AD    11．CD    12．BCD

12．解析：A．在平面ABH上．

B．连接BD，AC，，，，

在正方体中，，面ABCD，

∴．

∵，AC，⊂面，

∴BD⊥面，

又⊂面，

∴．

又∵，面，

∴．

∵，，⊂面，

∴⊥面，

∴．

又，，，BD⊂面，

∴面．

C．取AD中点I，连接FI，EF，EI，，

在中，∵F，I分别为，DA的中点，

∴，

又，

∴，

∴EF与所成角为∠IFE，

在中，，，，

∴，

∴EF与所成的角为30°．

D．当G位于点时，三棱椎的体积最大，

此时三棱锥为正三棱锥，

∴，

故．

三、填空题

13．或

14．

15．11

16．，

16．解析：∵PA⊥面ABCD，

AB，AD⊂面ABCD，

∴，．

又∵，∴，

∴PA，AB，AD两两垂直．

∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，，

，，，，

设，分别为面PAB与面PCD的法向量，则

即取，

即取，

则，

设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，

则，

∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．

如图，取AD中点M，连接BM，PM，

∵，，

∴四边形BCDM为平行四边形，

∴，

∵BM⊂面PBM，面PBM，

∴面PBM，

∴PB与CD的距离为CD到面PBM的距离，

即点C到面PBM的距离．

设点C到面PBM的距离为h．

由得，，

解得，

∴异面直线PB与CD的距离为．

四、解答题

17．解：（1），所以直线AB的斜率为－1，

所以过C且平行于直线AB的直线的方程为，化简得．

（2）因为直线AB的斜率为－1，所以直线CD的斜率为1，所以直线CD的方程为，化简得．

18．解：（1）因为M是PC的中点，

所以

．

（2）根据题意可知，

，

，

∴

，

所以，所以BM的长为．

19．解：（1）根据题意可知线段AB的中点，直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线方程为，解得．

因为圆C经过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．

又因为直线l：平分圆C，所以圆心在直线l上．

由解得

所以圆心的坐标为，

又因为圆的半径，

所以圆C的方程为．

（2）存在直线m使得

设，，

将代入圆的方程，得，

由，得，

所以，，

所以，

化简得，

即，

解得，

经检验满足，

所以存在直线m当时，使得．

20．（1）证明：如图，连接NM，，因为M，N分别为，中点，

所以，

因为，

所以，

所以N，M，B，四点共面．

（2）解：如图，在正方体中，，，两两垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则得

当时，，，

∴．

设直线CD与平面所成角为θ，

则．

21．（1）证明：设AC，BD交于点O，连接，，，

因为，，，

所以，所以．

又因为O为正方形的对角线交点，即O是线段AC的中点，

所以．

又因为四边形ABCD为正方形，

所以．

又因为，

所以．

（2）解：∵底面ABCD是正方形，，

∴，．

又，，

∴为等边三角形．

∵O为BD中点，∴，

又，，∴，

∴，OB，OC两两垂直．

以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

∴，，，

所以

，

，

设平面的法向量，

则，即

令，则，，

∴．

取平面BCD的法向量，

设两平面所成夹角为α，

则，

所以二面角的余弦值为．

22．解：（1）

如图，当P在面内时，AD⊥面，CM⊥面，

∴．

又，

∴．

∴，∴，

∴，则，即．

在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，，

设，由，得，

整理得：．

∴点P的轨迹是以为圆心，半径为2的圆．

（2）

如图，，，，

∴，

则点P在长方形内的轨迹为圆心角是的弧，故点P在长方形内的轨迹长度为．

（3）

任意点P在底面投影落在TC上，

又，

显然，当P在E处时，与同时最大，

，

所以线段AP长度的最大值为．