山东省部分学校2023-2024学年高二上学期10月质量检测联合调考数学试题

高二质量检测联合调考

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第二章，选择性必修第一册第一章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．若，，三点共线，则（    ）

A．4 B． C．1 D．0

3．在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点在平面xOz内的射影，则（    ）

A． B． C． D．

4．甲、乙两名同学将参加2024年高考，近一年来的各种数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考130分以上的概率分别为和，甲、乙两人能否考130分以上相互独立，则预估这两人在2024年高考中恰有一人数学考130分以上的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ）

A．  B．

C． D．

7．如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点D到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，．若点M在矩形ABCD内，且平面DEF，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列选项中正确的是（    ）

A．某人上班路上要经过3个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么他在第3个路口才首次遇到红灯的概率为

B．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为

C．一个袋子中有3个红球，4个蓝球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为

D．丢两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为

10．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，且，则（    ）

A． B．

C．  D．直线与平面ABCD所成的角为

11．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7．现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号相同”，事件“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（    ）

A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件

C．  D．

12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（    ）

图1 图2

A．该几何体的表面积为

B．该几何体的体积为4

C．二面角的余弦值为

D．若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若向量，，且，则______．

14．在空间直角坐标系Oxyz中，，，则点B到直线AC的距离为______．

15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由3根线组成（“     ”表示1根阳线，“     ”表示1根阴线），从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为______．

第15题图

16．在正四棱台中，，，，，，若平面，则______．

第16题图

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

有两个人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的．

（1）求这两人在同一层离开电梯的概率；

（2）求这两人在不同层离开电梯的概率．

18．（12分）

如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．

（1）求的值；

（2）证明：C，E，F，G四点共面．

19．（12分）

如图，在正方体中，E，F，G分别是，BC，AD的中点．

（1）证明： ．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，．

（1）若，证明： 平面．

（2）若与平面所成的角为，求三棱柱的体积．

21．（12分）

甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．

（1）求第2次由甲投掷的概率；

（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．

22．（12分）

如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点H在线段AB上．

（1）若平面AEG，试确定点H的位置，并说明理由；

（2）求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围．

高二质量检测联合调考

数学参考答案

1．B  这10个事件中必然事件的个数为，不可能事件的个数为，所以具有随机性的事件的个数为．

2．A  因为，，所以，解得．故．

3．A  由题意得，所以．

4．C  所求概率为．

5．C  以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．

6．C  因为，所以，，共面，所以不是空间的另一个基底，A错误．

因为，所以，，共面，所以不是空间的另一个基底，B错误．

不存在m，n，使得，所以，，不共面，所以是空间的另一个基底，C正确．

因为，所以，，共面，所以不是空间的另一个基底，D错误．

7．D  以C为坐标原点，CD，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．

设平面的法向量为，

则令，得．

点D到平面的距离为．

8．D  如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，．

设平面DEF的法向量为，

则令，得．

设，则．

因为平面DEF，所以，则，解得，．

故．

9．AC  对于A，在第3个路口才首次遇到红灯的概率为，所以A正确；对于B，因为此密码没被破译的概率为，所以此密码被破译的概率为，故B不正确；对于C，两次取到的球颜色相同的概率为，所以C正确；对于D，丢两枚硬币的样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以恰好一正一反的概率为，故D不正确．

10．ACD  ，A正确．

，B错误．

，故，C正确．

连接AC（图略），即直线与平面ABCD所成的角，，，正确．

11．AC  事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；

事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；

事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个．

从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件．

因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；

因为，，，所以B错误；

因为事件的所有基本事件共有12个，所以，所以，故C正确；

因为事件的所有基本事件共有6个，所以，所以，故D错误．

12．BCD  因为，所以．该几何体的表面积为，A错误．

该几何体的体积为，B正确．

设EF的中点为O，连接OB，OH（图略），则∠BOH即二面角的平面角．

，，C正确．

建立如图所示的空间直角坐标系，设，，

，

当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确．

13．3  ，．因为，所以，解得．

14．  取，，则，，所以点B到直线AC的距离为．

15．  由题意可知，从八卦中任取两卦，则样本空间{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，离），（乾，艮），（乾，兑），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，离），（坤，艮），（坤，兑），（震，巽），（震，坎），（震，离），（震，艮），（震，兑），（巽，坎），（巽，离），（巽，艮），（巽，兑），（坎，离），（坎，艮），（坎，兑），（离，艮），（离，兑），（艮，兑）}，共包含28个样本点．八卦中，3根都是阳线的有一卦，2根阳线、1根阴线的有三卦，1根阳线、2根阴线的有三卦，3根都是阴线的有1卦，记事件“从八卦中任取两卦，这两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线”为A，则{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，离），（巽，兑），（离，兑）}，共包含6个样本点，故所求概率为．

16．  连接，设，．

因为平面，所以．

，，，

，因为，所以．

17．解：这两个人离开电梯的楼层分别可能为（2，2），（2，3），…，（2，8），（3，2），（3，3），…，（3，8），…，（8，2），（8，3），…，（8，8），共有49种情况．

（1）这两个人在同一层离开的情况有7种，所以这两人在同一层离开电梯的概率为．

（2）因为“这两人在同一层离开电梯”与“这两人在不同层离开电梯”是对立事件，所以这两人在不同层离开电梯的概率为．

18．解：以A为坐标原点，AD，，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（2，0，2），E（2，2，0），F（1，4，0），G（0，2，4）．

，．

（1）．

（2）证明：．

令，即解得

所以．故C，E，F，G四点共面．

19．解：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（2，0，0），E（0，0，1），B1（2，2，2），G（1，0，0），F（1，2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2）．

，，，．

（1）证明：因为，所以，即．

（2）因为，所以，即．

因为，所以，即为平面的一个法向量．

设直线与平面所成的角为θ，

则．

故直线与平面所成角的正弦值为．

注：第（1）问若不建系，证法如下：

连接（图略）．

在正方体中，，所以．

因为，所以．

在正方形中，E，G分别是边，AD的中点，可得，

所以，，所以．

因为，所以．

因为，所以．

20．（1）证明：如图，取的中点O，连接．以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，．

设平面的法向量为，则

令，得．

因为，所以，所以，故平面．

（2）解：设，由（1）中坐标系可得，，，，，，．

设平面的法向量为，则

令，得．

因为与平面所成的角为，，

所以，

解得或．

因为，

所以当时，；

当时，．

21．解：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．

记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，

则，有12个样本点．

．

故第2次由甲投掷的概率为，

（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：

第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，

第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，

第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．

故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．

22．解：（1）若平面AEG，则H为AB的中点，理由如下：

因为E，G分别为BC，CD的中点，所以．

因为平面AEG，所以平面AEG．

若平面AEG，只需即可．

因为F为AD的中点，所以H为AB的中点．

（2）过点D作平面ABC，垂足为O，连接OE，OA．

设，因为，，

所以，，

在△ABD中，，．

因为，所以，解得．

所以．

以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

过点H作，垂足为M，作，垂足为N．

设，则，，所以．

，，，．

设平面AEG的一个法向量为，

则

令，则．

设平面CDH的一个法向量为，

则

令，则．

．

当时，．

当时，．

令，则．

函数在上单调递增，

所以，，即．

故，平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围为．