新高考数学二轮复习函数培优专题05 分段函数（含解析）

专题05  分段函数

专项突破一  分段函数函数值 (解析式)

1．若为奇函数，则（       ）

A．-8 B．-4 C．-2 D．0

【解析】因为为奇函数，所以，

又，可得.故选：A.

2．已知函数，则（       ）

A．0 B． C． D．1

【解析】由题意，函数，

可得=，因为，所以，故选：B

3．设是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则的值等于（       ）

A． B． C．0 D．

【解析】因为是定义域为R，最小正周期为的函数，，

所以，故选：B

4．已知函数且，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】∵，∴,

由，知.

于是.故选:A

5．已知函数，则______．

【解析】由解析式，，所以.

6．已知函数，则___________.

【解析】，，即，

．

7．已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则______．

【解析】上的奇函数，则有，而当x>0时，有，

于是有，，，

因，，则有，，

所以.

8．函数，，若，则________．

【解析】因为， ，所以.

当时，，解得：；

当时，，无解.

所以.所以

9．对于实数a和b，定义运算“*”：，设.

(1)求的解析式；

(2)关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.

【解析】(1)由可得，由可得，

所以根据题意得，即．

(2)作出函数的图象如图，

当时，开口向下，对称轴为，

所以当时，函数的最大值为，

因为方程恰有三个互不相等的实数根，所以函数的图象和直线有三个不同的交点，可得的取值范围是．

专项突破二  分段函数定义域和值域

1．已知函数，若∃∈R，使得成立，则实数m的取值范围为(       )

A． B． C． D．

【解析】x＜2时，f(x)＝，

x＞2时，f(x)＝＞1，

故，∴，解得.故选：B.

2．已知的最小值为2，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【解析】当时，，

又因为的最小值为2，，所以需要当时， 恒成立，

所以在恒成立，所以在恒成立，

即在恒成立，令 ，则，

原式转化为在恒成立，

是二次函数，开口向下，对称轴为直线，

所以在上 最大值为，所以，故选：D.

3．(多选)设函数则（       ）

A．的定义域为 B．的值域为

C．的单调递增区间为 D．的解集为

【解析】因为函数，

所以的定义域为，故A正确；

当时， ，当 时，，

所以的值域为，故B错误；

如图所示：

当时， 的单调递增区间为，

当 时，的单调递增区间为，但在上不单调，故C错误；

当时，，解得，

当时，，解得，D正确.

故选：AD．

4．(多选)已知函数，关于函数的结论正确的是（       ）

A．的定义域为R B．的值域为

C．若，则x的值是 D．的解集为

【解析】函数，定义分和两段，定义域是，故A错误；

时，值域为，时，，值域为，故的值域为，故B正确；

由值的分布情况可知，在上无解，故，即，得到，故C正确；

时令，解得，时，令，解得，故的解集为，故D错误.

故选：BC.

5．函数的值域为____________．

【解析】当时，，其值域为：

当时，，其值域为：

所以函数的值域为：

6．函数的值域为___________.

【解析】依题意，在上单调递减，则当时，，

在上单调递增，则当时，，所以函数的值域为.

7．定义运算已知函数，则的最大值为______.

【解析】由可得表示与的最小值，

又函数在单调递减，在上单调递增，故函数与函数至多有一个交点，

且当时，两函数相交，故，

故函数在上单调递增，在上单调递减，当时函数取最大值为

8．已知、b、都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是________

【解析】由其定义域为，因为，所以，

(1)当，由解析式可得，

当时，；

当时，，

即的值域为；

又函数的反函数的定义域是，

所以函数的值域为，因为、b、都是实数，可以大于；

因此值域可以为，不满足题意；

（2）当时，由解析式可得：

当时，；

当时，，

即的值域为；

同（1）可知：函数的值域必须为，因为、b、都是实数，可以大于，因此符合题意；

综上：的所有取值构成的集合是.

9．若函数的值域为，则的取值范围是____________．

【解析】对于 ，值域是 ，对于 ，值域是   ，

欲使得 ，必有 ， ；

10．已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.

【解析】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，

因为对，，故函数的图象如图所示：

由图可知，当时，函数取得最小值.

专项突破三  分段函数单调性

1．函数的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

【解析】当时，，开口向下，对称轴为，故其递增区间是；

当时，，开口向上，对称轴为，在时，单调递减，

综上：的单调递增区间是.故选：A.

2．已知函数，则函数是（     ）

A．偶函数，在上单调递增 B．偶函数，在上单调递减

C．奇函数，在上单调递增 D．奇函数，在上单调递减

【解析】 ，

当时，，则 ，

当时，，则，

所以有，则为奇函数.

当时，单调递增，由为奇函数，则在上单调递增，且

所以在上单调递增，

故选：C

3．若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【解析】如图，作出函数和的大致图象.

，得，解得，，

注意到点A是二次函数图象的最低点，

所以若，则当时，单调递减，不符合题意；

当时符合题意；

当时，则，在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；

当时，符合题意.

所以m的取值范围为：或.故选：D

4．设函数，若，则实数______，的单调增区间为______．

【解析】因为，则，则，解得.

所以，，

当时，，此时函数单调递减，

当时，由于函数、均为增函数，故函数也为增函数，

由于，则函数在连续，

所以，函数的单调递增区间为.故答案为：；.

5．已知函数，则_____________，函数的单调递减区间是_______．

【解析】因函数，则，所以；

当时，在上单调递增，在上单调递减，，

当时，在上单调递减，且，

所以函数的单调递减区间是.故答案为：5；

6．函数的单调减区间是______．

【解析】去绝对值，得函数

当 时，函数 的单调递减区间为

当 时，函数的单调递减区间为

综上，函数   的单调递减区间为，

7．函数的单调递减区间为__________．

【解析】当时，，则其在上递减，

当时，，则，

当时，，所以在上递减，

综上，的单调递减区间为，

8．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________．

【解析】由已知可得函数在R上为单调递增函数，

则需满足 ，解得，所以实数a的取值范围为，

专项突破四  分段函数求参

1．设，若，则x的值为（       ）

A．1 B．2 C．8 D．1或8

【解析】若时，可得，不满足；

若时，可得，满足前提.

综上，x的值为8.故选：C

2．设，若，则x的值为（       ）

A．3 B．1 C． D．1或3

【解析】时，令，解得，

时，令，解得，这与矛盾，

∴.故选：B

3．已知函数是上的减函数，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为函数是上的减函数，

所以，解得，选：C

4．已知函数，若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】当时，，

，.

当时，，

，.所以为偶函数.

又因为在为减函数，在为增函数.

所以.因为不等式在上有解，

所以，即在上有解，

又因为在为减函数，在为增函数，

所以.故选：C

5．若函数的值域为R，则a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】由时，，

因为函数的值域为R，所以当时，，

分两种情况讨论：

①当时， ，所以只需，解得，所以；

②当时，，所以只需，显然成立，所以.

综上，的取值范围是.故选：D.

6．已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【解析】因为的值域为，所以的值域为.

当时，.

当时，①若，即，，此时不满足条件.

②若，即，，此时的值域不可能为.

③若，即，，要使的值域为，则，即

解得：或，又因为，所以.故选：B.

7．已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】∵函数

∴当时，的范围是；当时，，，

由题意存在最小值，则，解得.故选：D．

8．已知函数若，则实数______．

【解析】若，则，解得不合题意；

若，则．解得，

综上：．

9．已知，函数若，则_______.

【解析】,

当时，，得，故；

当时，，故.

故答案为：或.

10．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___．

【解析】由题知．

11．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________．

【解析】因函数是上的单调递增函数，因此有，解得，

所以.

12．已知函数，且是的最小值，则实数a的取值范围是__________．

【解析】当时，若，即，有，在上递减，在上递增，则与是的最小值矛盾，

若，即，有在上递减，，，则，

当时，函数，当且仅当，

即时取“=”，因是的最小值，则有，解得，

所以a的取值范围为.

专项突破五  解分段函数不等式

1．已知函数，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】函数，则不等式等价于或者，

解得：，解得：或，于是得或，

所以不等式的解集是.故选：A

2．已知函数则不等式的解集为（       ）

A．（0，5） B． C． D．（-5，5）

【解析】因为时，，故在上为增函数，

时，，故在上为增函数，

又的图象在处不间断，故为上的增函数，

令，则为上的增函数，

而，故的解集为.故选：B.

3．已知函数若，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】作出函数的图象，由图象可知，在R上为增函数，

由可得，即，选：C．

4．设函数，则满足的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】时，单调递增，故，当时，

由对勾函数得：在单调递增，且，综上：单调递增，因为，所以，即，设，可知单调递增，且，故，故选：D

5．已知函数，则不等式的解集为（        ）

A． B．

C． D．

【解析】当时，，，且在上递增，

当时，，，且在上递增，

所以在上有，且函数是上的增函数，

于是原不等式可化为，

，，

得，得，故选：B

6．设函数则关于的不等式的解集为______.

【解析】因为

当时，，则，；

同理当时，，，

又，综上所述为奇函数，

则，即，当时，，

解得；当时，，解得，因为，所以.

故的解集为

7．设函数，若，则实数a的取值范围___________.

【解析】因为，

所以，则，

若，则，即，解得，所以实数a的取值范围为.

8．已知函数，则不等式的解集为______．

【解析】当时，的解集为，

当时，的解集为．

所以原不等式的解集为．

9．设函数，若，则t的取值范围是___________.

【解析】函数在上单调递增，且，当时取“=”，在上单调递增，，

因此，函数在上R单调递增，而，则有，解得，

所以t的取值范围是.

10．设函数则满足不等式的x的取值范围是 _____.

【解析】易知是增函数，是增函数，又，

所以在定义域内是增函数，

当时，，，所以，

当时，，，，所以成立，

综上，不等式的解集是．

11．已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是____

【解析】作出分段函数的图象如图，

要使不等式在上恒成立，则在上恒成立，

即在上恒成立，∴，解得：.故答案为：