新高考数学二轮复习函数培优专题21 指对幂函数（含解析）

专题21 指对幂函数（2020-2022年真题练）

一、单选题

1．（2022·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（       ）

A． B．

C． D．

【解析】，故A错误，C正确；

，不是常数，故BD错误；

故选：C．

2．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（       ）

A． B． C． D．

【解析】对选项，则有：，对选项，则有：，

对选项，定义域为：，对选项，则有：，故答案选：

3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（       ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

4．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）

A．25 B．5 C． D．

【解析】因为，，即，所以．

故选：C.

5．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】由可得，而，

所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．故选：A.

6．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以，故选：C.

7．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题意可得：，解得：，

所以函数的定义域为，故选：B.

8．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【解析】由，当时，，

则.故选：C.

9．（2021·天津·高考真题）若，则（       ）

A． B． C．1 D．

【解析】，，

.故选：C.

10．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【解析】，，，，

，，.故选：D.

11．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（       ）

A．B．C． D．

【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.故选：B.

12．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（       ）

A． B． C． D．

【解析】，即.故选：C.

13．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

14．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）

A． B． C． D．

【解析】,

所以;下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,故选：B.

15．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B

16．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）

A．   B．   C． D．

【解析】当时，，所以在上递减，

是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B

17．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】由得或，所以的定义域为

因为在上单调递增，所以在上单调递增

所以，故选：D

18．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，，，

所以.故选：D.

19．（2020·全国·高考真题（文））设，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.

20．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】由得：，令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.

21．（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，，

所以.故选：A.

22．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【解析】，所以，则，

所以，，解得.故选：C.

23．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（       ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

24．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.故选：A.

二、填空题

25．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________

【解析】由可得，故，因此，.

26．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是______.

【解析】，即，解得：.

故答案为：

27．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是____________．

【解析】由题意得，，故答案为：

28．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【解析】，因为为奇函数，所以

三、双空题

29．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．

【解析】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．

故答案为：；．

四、解答题

30．（2021·湖南·高考真题）已知函数

（1）画出函数的图象；

（2）若，求的取值范围.

【解析】（1）函数的图象如图所示：

（2），

当时， ，可得：，

当，，可得：，

所以的解集为：，

所以的取值范围为.