新高考数学二轮复习函数培优专题16 函数求参问题（含解析）

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专题16 函数求参问题
专项突破一 定义域、值域求参
1．已知函数的值域为，求a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，的值域为，符合题意；
当时，要使的值域为，则使 .
综上，.故答案选A
2．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.故选：B
3．已知函数，若的值域为，则实数a的取值范围是（       ）
A．2 B．(－∞，2] C．(－∞，2) D．(0,2]
【解析】当时，
若时，；
若时，的最大值，才能满足的值域为，解得；
当时，若时，；
若时，，不符合题意．故选：D．
4．已知的值域为，则实数（       ）
A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或
【解析】由，
由，可得，或，或，
它的定义域为，值域为，
若，则，则函数的值域为，不满足条件.
若，则根据函数的定义域为，
此时，函数的零点为，，
若，当时，不满足题意.
若，当时，不满足题意.
所以，求得；
若，则函数的定义域为，，此时函数的零点为，，
同理可得，所以.综上，或，故选：B.
5．(多选)若函数的值域为，则的可能取值为(       )
A． B．0 C． D．
【解析】①a＝0时，，值域为，满足题意；
②a≠0时，若的值域为，则；
综上，.故选：BCD.
6．(多选)定义，若函数，且 在区间上的值域为，则区间长度可以是（       ）
A． B． C． D．1
【解析】依题意知， 先作图和，由知，只取交点和下方部分，故函数的图像如下:

又结合图像计算可知，，
要使在区间上的值域为，
可得，，所以最大值为，最小值是，
即的取值范围为.AD正确，BC错误.故选: AD.
7．已知函数是定义在的奇函数，则实数的值为_____；若函数，如果对于，，使得，则实数的取值范围是_____________.
【解析】是定义在上的奇函数，；
当时，，则，满足为奇函数，
；当时，；
当时，；
又，的值域为；
为开口方向向下，对称轴为的二次函数，
当时，，
对于，，使得，则，解得：，
实数的取值范围为.
8．函数的定义域为，则实数的取值范围为___________.
【解析】由题意得：的解集为，即的解集为，故为增函数，所以
9．已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．
【解析】要使函数有意义，则（），解得，所以函数的定义域为，
所以，所以，解得，所以实数m的范围是.
10．函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．
【解析】由于，所以解得或.
所以的取值范围是.
11．若函数的定义域为，则实数的范围是________．
【解析】因为函数的定义域为，即恒成立，当时显然成立，当时，则，解得，综上可得，即
12．函数的定义域为，则实数的取值范围为______.
【解析】的定义域为是使在实数集上恒成立.
若时，恒成立，所以满足题意，
若时,要使恒成立,则有 ,解得.
综上,即实数a的取值范围是.
13．设函数，若的定义域为，则实数的取值范围_________．
【解析】因为，
又的定义域为，所以的解集为，因为，所以.
14．若函数在（）上的值域为，则__________．
【解析】由,,,
则函数在上为减函数,
又函数在上为减函数,且值域为
,且,解得：..
15．已知函数，若在区间上的值域为，则的一个可能的值为______．
【解析】作出函数的图象如下图所示：

由图可知，若函数在区间上的值域为，则，，
所以，.故答案为：（内的任意一个实数）.
16．设函数，若，则实数的取值范围是________.
【解析】作出函数的图像如图：

由，结合图像可得：，
当时，由显然满足；
当时，由，解得，所以；
综上.
17．函数的定义域上的值域为，则t的可取范围为______.
【解析】函数的对称轴为，当时，，
当时，为增函数，可得当时，，可得，解得：，
故要使的定义域上的值域为，t的可取范围为
18．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．
【解析】要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
19．已知函数的定义域为，值域为，则实数k的取值范围为_________．
【解析】因为定义域为，所以，则，
又，当且仅当，即时等号成立，
又函数值域是，所以，即，
综上：．
20．(1)已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
(2)已知函数，若函数的定义域为， 求实数的取值范围.
【解析】因为的定义域为，所以恒成立，
所以，即，所以实数的取值范围为.
(2)依题意知，对一切恒成立.
当时,,解得或;
当时，.当，则，满足题意,若，则，不合题意.,
所以实数的取值范围是.

专项突破二 函数性质求参
1．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知：任意的实数，都有成立
所以函数为上的增函数，所以，得到，即,故选：C
2．已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（       ）
A． B．8 C． D．24
【解析】由题意，定义在上的奇函数，可得，解得，
又由当时，所以，故选：A.
3．已知函数为偶函数，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，故选：.
4．设函数的图象关于直线对称，则的值为( )
A． B． C． D．
【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以点与点，
关于直线对称，，故选D.

5．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由求导得，由题意知对恒成立，即对恒成立，又当时，，所以，故选:D
解析2.（特殊值法）
先取得在区间上单调递减，所以适合题意，所以排除选项A、选项C
再取，则，则与均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，所以适合题意，所以排除选项B．故选:D
6．已知函数的图象关于点对称，则（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，函数，
根据函数的图象变换，可得函数关于中心对称，
又由函数的图象关于点对称，可得且，解得.故选：B.
7．已知函数，，且，则下列结论中，一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由图示可知时，的符号不确定，，故AB错；

,, 即，故，故D正确，
又，所以，即,
所以，即，所以，故C不正确.
故选：D
8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】函数定义域为，，
因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减，必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得，
由，有意义得：，解得，因此，，
所以实数的取值范围是.故选：C
9．已知函数的图象关于点对称，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.故选：C.
10．函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为_______.
【解析】二次函数的对称轴为，因函数在区间上具有单调性，
所以或
11．已知函数为奇函数，则______．
【解析】函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
12．若函数是定义在上的偶函数，则_____．
【解析】由题意得：，解得：，又因为为偶函数，所以，即，解得：，所以.
13．已知函数对于且，都有，则的取值范围为 ______．
【解析】由题意可知，在上为单调增函数，要使在上单调递增，则，即，要使在上单调递增，则，同时，解得：，
综上可知：.
14．已知在上为增函数，则的取值范围______.
【解析】，，令，且，
在上为增函数，在上为增函数，
，或，的取值范围或.
故答案为：
15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则=___________
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，且，所以，
又，所以，即.
16．已知函数是偶函数，则______.
【解析】因为 是奇函数，是偶函数，所以是奇函数，
即，
恒成立，所以，所以.
17．规定记号""表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则___________.
【解析】由题意可得：，，
则函数有四个零点，从大到小依次是，，，，
因为函数的图象关于直线对称，
所以与关于直线对称，与关于直线对称，
所以，解得
18．已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.
【解析】函数是由和复合而成，
当时单调递增，
若函数（，且）在区间上单调递增，
则在上单调递增，且在上恒成立，
的对称轴为 ,所以解得：，
当时单调递减，
若函数（，且）在区间上单调递增，
则在上单调递减，且在区间上恒成立，
的对称轴为 ,所以解得：，
综上所述：a的取值范围是
19．已知函数为上的偶函数，则实数___________.
【解析】.
因为函数为上的偶函数，
所以，即对任意恒成立，所以，
所以，即，所以，解得：a=1.
经检验，a=1时函数为上的偶函数，符合题意.
所以a=1.
20．已知函数，，其中
(1)若函数是偶函数，求实数a的值；
(2)若函数在上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)当a＝1时，若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数k的取值范围．
【解析】(1)∵ 的定义域是R，若是偶函数，则，有，
∴，即，有，∴；
(2)∵图象开口向上，对称轴，
若函数在上具有单调性，则在上单调递增或单调递减，即或，
∴实数a的取值范围为；
(3)当a＝1时，，
依题意得即，在上恒成立,∴恒成立,
令,则，∴=1
实数k的取值范围为.
21．已知是定义在R上的函数，且，当时，，
(1)求函数的解析式；
(2)当时，，当时，在R上单调递减，求m的取值范围；
(3)是否存在正实数，当时，且的值域为，若存在，求出，若不存在，说明理由．
【解析】(1)由题意，任取，则，故有，
因为是定义在R上的函数，且，即函数是定义在R上的奇函数，
时，，又时，，即，
所以．
(2)当时，，在单调递减，
又当时，，且在R上单调递减，
所以，解得，即m的取值范围为.
(3)当时，，
若存在这样的正数a,b，则当，故，
在内单调递减，
所以是方程的两个正根，，
，故存在正数满足题意.
22．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)因为函数是奇函数，所以，即，
所以，所以，可得，所以函数．
(2)由（1）知，所以在上单调递减，
由，得，
因为函数是奇函数，所以，所以，
整理得，设，，则，
当时，有最大值，最大值为，所以，解得，
即实数的取值范围是，．
23．已知函数，若是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若对任意，关于的不等式恒成立，求t的取值范围．
【解析】(1)∵是定义在R上的奇函数，∴，∴，解得a＝1，
当a＝1时，，∴a＝1．
(2)∵，由复合函数的单调性易知在单调递减，
又∵是定义在R上的奇函数，∴的图像关于原点对称，
∴在R上单调递减．
证法一：令，易知恒成立，则．
设，，且，则
，
∵，∴，又∵，，
∴，∴
∴，∴，即
又∵，∴在R上单调递减．
又∵在上单调递增，，∴在R上单调递减．
证法二：设，，且，

又∵，，∴
∴，即，∵，∴在上单调递减
又∵是定义在R上的奇函数，∴在R上单调递减．
(3)∵是定义在R上的奇函数且在R上单调递减．
∴对任意恒成立
即，∴对在意恒成立
令，则，

∴，∴t的取值范围为．
专项突破三 基本初等函数求参
1．已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】因为对任意的实数，且，都有成立，
所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．
因为，令，，
要使在上单调递减，
所以，在上单调递增．另一方面，函数为减函数，
所以，，解得，所以实数a的取值范围是．故选：D．
2．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，所以，解得，即,故选：B
3．设函数，若恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】（1）当时，，对称轴为，
①若，即时，，
由恒成立，得，
所以，恒成立，所以，
②若，即时，，
由恒成立，得，
所以，得（舍去），所以
（2）当时，，单调递增，
由恒成立，，解得，
综上所述，，实数的取值范围为，故选：C．
4．若函数的值域为，则 的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ,
当 时， ,要使 的值域为,
则 ， ,故选：C
5．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意且，所以，解得或，
综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A
6．已知函数在区间上不是单调函数，且，则的取值范围是__________.
【解析】函数的对称轴为，
因为函数在区间上不是单调函数，
所以，即，又，则，
所以或，所以.
7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，所以实数的取值范围是.
8．设，若是的最小值，则的取值范围为______．
【解析】当时，，
任设，则，
当时，，，所以，所以，
当时，，，所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，
又因为是的最小值，所以且，解得.
9．若关于的方程有负根，则实数的取值范围是__________.
【解析】要使得方程 有负根，根据指数函数的性质得 ，解得
10．已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【解析】设，由有两个零点，
即方程有两个正解，所以，解得，即，
11．函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是______.
【解析】对任意x1≠x2，都有成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，
则，解得.
12．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
【解析】①当时，，此时定义域为，不合题意；
②当时，令，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
③当时，令，其对称轴为；
⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，
，即，解得：；
⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________.
【解析】函数在上单调递增，
所以，解得，即
14．已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】二次函数的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4 15．幂函数在上单调递增，则m的值为______．
【解析】因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，符合题意，
当时，函数在上单调递减，不符合题意.
所以的值为
16．已知函数.
(1)若函数在是增函数，求的取值范围；
(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.
【解析】(1)因为函数，所以对称轴为，
因为在是增函数，所以，解得
(2)因为对于任意的，恒成立，
即在时恒成立，所以在时恒成立，
设，则对称轴为，即在时恒成立，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得（舍去），故.
17．已知函数，是偶函数．
(1)求的值；
(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由函数为偶函数知，所以，
即，，对任意恒成立，所以，
所以，．
(2)，令，
则，
①当即时，函数在是增函数，从而，解得，舍去．
②当即时，函数在，是减函数，是增函数，
从而，则；
③即时，函数在是减函数，从而，则，舍去．
综上：.
18．设函数（且）是奇函数．
(1)求常数的值；
(2)若，试判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数的值．
【解析】(1)∵（且）是奇函数．
∴，即，解得．
(2)∵（且），当时，在R上递增．
理由如下：设，则
，由于，则，即，
，即，则当时，在R上递增．
(3)∵，∴，即，解得或（舍去）．
∴
令，∵，∴，
∴
当时，，解得，不成立舍去．
当时，，解得m，满足条件，∴m．
19．已知函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，且
(1)求与的解析式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的最大值．
【解析】(1)由题意     ①，
所以  ，函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，
所以,所以   ②，
由①②解得，；
(2)对，不等式恒成立，
即，
令，，则，
不等式等价于在上恒成立，
所以，因为，所以，
当且仅当即时取等号，所以，
即m的最大值为

20．已知，函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】(1)当时，函数，
由不等式，可得，则，解得或，
即当时，不等式的解集为或.
(2)由函数在上单调递减，
因为函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，
可得，即，
即，所以，
设，因为，则，可得，
当时，，
当 时，可得，
因为在区间为单调递减函数，可得，
所以，
所以实数的取值范围是.