新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程（含解析），共26页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程
一、考情分析
求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第（1）问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.
二、解题秘籍
(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．
2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
【例1】（2023届山西省长治市高三上学期质量检测）已知点在椭圆：（）上,且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点,是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
【解析】（1）点,在椭圆：（）上代入得：,
点到椭圆右顶点的距离为,则,
解得,,
故椭圆的方程为．
（2）由题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为（）,,,．
联立得．
．
∴,,
∵直线与直线斜率之积为．
∴,
∴．
化简得,
∴,
化简得,解得或．
当时,直线方程为,过定点．
代入判别式大于零中,解得（）．
当时,直线的方程为,过定点,不符合题意．
综上所述：直线过定点．
【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于的等式.
【例2】（2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测）已知双曲线的离心率为,点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数？若存在,求出点的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为,
所以,化简得.
将点的坐标代入,可得,
解得,
所以的方程为.
（2）设,直线的方程为,联立方程组消去得（1-,
由题可知且,即且,
所以.
设存在符合条件的定点,则,
所以.
所以,
化简得.
因为为常数,所以,解得.
此时该常数的值为,
所以,在轴上存在点,使得为常数,该常数为.
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.
【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点在抛物线C上,过点的直线l与抛物线C交于,两点,点H与点A关于x轴对称,直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：.
【解析】（1）由点在抛物线上可得,,解得.
由抛物线的定义可得,整理得,解得或(舍去).
故抛物线C的方程为.
（2）由在抛物线C上可得,解得,所以,
直线OE的方程为,
因为点和点关于轴对称,所以,均不为0.
由题意知直线l的斜率存在且大于0,
设直线l的方程为,
联立消去y,得.
则,得,所以,.
由直线OE的方程为,得.
易知直线OB的方程为,故.
要证,即证,
即证,即证,
即证,则,此等式显然成立,
所以.
【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p的等式.
(二)直接法求曲线轨迹方程
1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．
2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x,y的取值范围．
【例4】设动点在直线和上的射影分别为点和,已知,其中为坐标原点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过直线上的一点作轨迹的两条切线和(,为切点),求证：直线经过定点.
【分析】（1）利用直接法求轨迹方程,设,把坐标化,即可得到动点的轨迹的方程；
（2）利用导数的几何意义,求得切线斜率,设,可得切线、的方程,联立可得切点的坐标为,又点在直线上,代入可得,再代入到直线的方程即可得解.
【解析】（1）设,则,
所以,
由条件可得,
整理可得点的轨方程为；
（2）由（1）知,,求导可得,
设,
则切线的方程为,
即①,
同理可得切线的方程为②,
联立①②,解得点的坐标为,
因为点在直线上,
所以,即,
又直线的斜率,
所以直线的方程为：,
即,又,
代入可得,
所以直线过定点.
【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.
(三)定义法求曲线轨迹方程
1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．
2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．
3. 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：
(1)若a>c,则集合P为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P为线段；
(3)若a 4. 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在．
5. 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【例5】（2023届河北省示范性高中高三上学期调研）已知圆A：,直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点,过点B作直线的平行线交直线于点E.
(1)证明为定值,并求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹方程为,直线l与曲线交于M、N两点,线段的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数入,使得,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）,得,
当时,如图1所示,

因为D,C都在圆A上
所以,即
又因为,所以,
所以,∴,
所以
当时,如图2所示,

同理可得,
因此,所以点E的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,
故,,即,,所以,
∴为定值2,且点E的轨迹方程为.
（2）由题知,直线l的斜率不为0,设l：,
联立消去x得,,
于是,
设,,则有,,
故,
所以线段的中点为,
从而线段的中垂线的方程为
令得,,∴
又
故,于是
即存在使得.
【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.
【例6】已知一定点,及一定直线l：,以动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设P在直线l上,直线PA,PB分别与曲线C相切于A,B,N为线段AB的中点．求证：,且直线AB恒过定点．
【解析】（1）动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切,
动圆圆心到定点F（0,1）与定直线y=-1的距离相等,
∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F（0,1）为焦点,y=-1为准线,
,∴动圆圆心轨迹方程为x2=4y．
（2）依题意可设,
又
故切线的斜率为,
故切线
同理可得到切线
又,∴且,
故方程有两根 ∴,

又为线段的中点,
又由得到：即
同理可得到,
故直线AB方程为：,故直线过定点.
【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.
(四)相关点法求曲线轨迹方程
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【例7】（2023届广东省揭阳市高三上学期调研）已知､是椭圆：的左､右焦点,点是椭圆上的动点．
(1)求的重心的轨迹方程；
(2)设点是的内切圆圆心,求证：．

【解析】（1）连接,由三角形重心性质知在的三等分点处（靠近原点）
设,则有
又,所以,即
的重心的轨迹方程为；
（2）根据对称性,不妨设点在第一象限内,易知圆的半径为等于,
利用等面积法有：
结合椭圆定义：
有,解得
由､两点的坐标可知直线的方程为
根据圆心到直线的距离等于半径,有
∴,∴
∴,又
化简得,即
∴,即
由已知得,,则
所以,即．
(五)交轨法求曲线轨迹方程
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【例8】（2022届重庆市第八中学高三上学期月考）已知抛物线,过点的直线交抛物线于两点,以为切点分别作抛物线的两条切线交于点.
（1）若线段的中点的纵坐标为,求直线的方程；
（2）求动点的轨迹.
【分析】（1）联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k即可；
（2）写出圆的切线方程,根据P是交点可得是方程的两根,由（1）中代入化简即可求出.
【解析】（1）依题意有：直线的斜率必存在,故可设直线的方程为
由可得：.
设,则有
于是：,解得,
故直线的方程为
（2）设,对于抛物线,
于是：点处切线方程为,
点在该切线上,故,即.
同理：点坐标也满足
于是：是方程的两根,
所以
又由（1）可知：,
于是,消k得,于是的轨迹方程为,点的轨迹是一条直线.
【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法
三、跟踪检测
1．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月阶段测试）已知椭圆：（）的离心率为．圆（为坐标原点）在椭圆的内部,半径为．,分别为椭圆和圆上的动点,且,两点的最小距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2),是椭圆上不同的两点,且直线与以为直径的圆的一个交点在圆上．求证：以为直径的圆过定点．
【解析】（1）设椭圆的长半轴为,短半轴为,半焦距为,
由圆的性质,
当点在椭圆上运动时,当处于上下顶点时最小,故,即
依题意得,
解得,
所以的方程为.
（2）因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上,
所以直线与圆相切.
（i）当直线垂直于轴时,不妨设,,
此时,所以,故以为直径的圆过点.
（ii）当直线不垂直于轴时,设直线的方程为,,.
因为与圆相切,所以到直线的距离,
即.
由得,
所以,
,
,
,
,
所以,故以为直径的圆过点.
综上,以为直径的圆过点.
2．（2023届山西省忻州市高三上学期联考）已知双曲线的离心率是,点是双曲线的一个焦点,且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上,过点作两条直线,直线与双曲线交于两点,直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补,证明：.
【解析】（1）根据双曲线的对称性,不妨设,其渐近线方程为,
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以,
因为双曲线的离心率是,
所以,,解得
所以,双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在,设,
直线.
联立整理得,
所以,.
故.
设直线的斜率为,同理可得.
因为直线与直线的倾斜角互补,
所以,所以,
则,即,
所以.
3．（2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考）如图,平面直角坐标系中,点为轴上的一个动点,动点满足,又点满足.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过曲线上的点（）的直线与,轴的交点分别为和,且,过原点的直线与平行,且与曲线交于、两点,求面积的最大值.
【解析】（1）法一：由题意,设,,
由得,且,
由得,则,得,
代入整理得,故动点的轨迹的方程为.
法二：设,,,
设,则由得,
消去得,故动点的轨迹的方程为.
（2）如图,设（）,又直线的斜率存在且,
设直线为：,
可得：,,
由,则,故,,
联立,可得：,即,
又,故直线的方程为,联立,得：,
即、的横坐标为,
,
点到直线的距离,
,
当且仅当,即时等号成立,
面积的最大值为2.
.
4．（2023届湖南省永州市高三上学期适应性考试）点在双曲线上,离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点）,分别表示直线的斜率,满足,求证：直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点在双曲线上,离心率
可得； ,解出,,
所以,双曲线的方程是
（2）①当直线的斜率不存在时,则可设,
代入,得,
则,
即,解得或,
当时,,其中一个与点重合,不合题意；
当时,直线的方程为,它与双曲线不相交,故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入,
整理得,,设,
则,
由,
所以

所以,,
即,
整理得,
即,
所以或,
若,则,直线化为,过定点；
若,则,直线化为,它过点,舍去
综上,直线恒过定点
5．（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系中, 设点, 点与两点的距离之和为为一动点, 点满足向量关系式：．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设与轴交于点(在的左侧), 点为上一动点 (且不与重合)． 设直线轴与直线分别交于点,取,连接,证明：为的角平分线．
【解析】（1）设点,,
则由点与两点的距离之和为,
可得点G的轨迹是以为焦点且长轴长为的椭圆,
其轨迹方程为,
由,可得,代入点G的轨迹方程,
可得：,
所以点的轨迹方程；
（2）设点,则,即,
,令,得,
,
则点到直线的距离为：
,
要证ER为的角平分线,只需证,
又,
,
所以,当且仅当,即时,
又在上,则,即,
代入上式可得恒成立,
为的角平分线．
6．（2023届云南省大理市辖区高三统一检测）已知为椭圆C的左、右焦点,点为其上一点,且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,点P关于坐标原点O的对称点R,试问的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为,
则解之得：
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示,设直线,

则消去x整理得,
设的面积为S,

又,
则,
令,则,
又设,则,
∴在上为增函数,,∴,
所以,存在当时,即直线l的方程为的面积有最大值,其最大值为3
7．（2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点,点在上,点满足,求直线斜率的最大值．
【解析】（1）抛物线的焦点,准线方程为,
由题意,该抛物线焦点到准线的距离为,
所以该抛物线的方程为；
（2）设,则,
所以,
由在抛物线上可得,即,
据此整理可得点的轨迹方程为,
所以直线的斜率,
当时,；
当时,,
当时,因为,
此时,当且仅当,即时,等号成立；
当时,；
综上,直线的斜率的最大值为.
8．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,,．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线,分别交C于A,B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．
【解析】（1）由,可得,
代入．
解得或（舍）,
所以抛物线的方程为：．
（2）由题意可得,直线的斜率不为0,
设直线的方程为,设,
由,得,从而,
则．
所以,
,
∵,
∴,
故,
整理得．即,
从而或,
即或．
若,则,过定点,与Q点重合,不符合；
若,则,过定点．
综上,直线过异于Q点的定点．
9．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期9月联考）已知椭圆的离心率为,椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为,直线交椭圆于两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为,求的最大值.
【解析】（1）由题意,解得,所以椭圆C的方程为．
（2）①依题意,设,
若直线的斜率为0则P,Q关于y轴对称,必有,不合题意．
所以直线斜率必不为0,设其方程为,
与椭圆C联立,整理得：,
所以,且
因为是椭圆上一点,即,
所以,则,即
因为
,
所以,此时,
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：,
所以
,
而,当时的最大值为．
10．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系中,点是以原点为圆心,半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心,半径为的圆与线段交于点,作轴于点,作于点.
（1）令,若,,,求点的坐标；
（2）若点的轨迹为曲线,求曲线的方程；
（3）设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点,与轴的正负半轴分别交于点,,若点､分别满足,,证明直线和的交点在曲线上.
【解析】（1）设,则由题知,因此；
（2）设及,则由题知,则点Q的轨迹C为椭圆,方程为：；
（3）设,由知,,,,,
,即,
,即,
联列上述直线方程,解得
,因此交点K在椭圆C上.
11.（2022届广东省六校高三上学期联考）在平面直角坐标系中,已知圆：,,动圆经过点且与圆相外切,记动圆的圆点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）试问,在轴上是否存在点,使得过点的动直线交于,两点时,恒有？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设动圆的半径长为,则,,
.因此,圆心的轨迹为以、为焦点,实轴长为的双曲线的右支,
设的方程为（）,
则根据双曲线定义,,
,
因此的方程为（）.
（说明：没写的范围扣1分）
（2）不存在满足条件的点,理由如下：
假设存在满足条件的点,设点的坐标为,直线的斜率为,
则直线的方程为,
由消去并整理,得,
设、,则,,（*）
由,得,即,
将,代入上式并化简,
得.
将（*）式代入上式,有,
解得.
而当直线交于,两点时,必须有且.
当时,,,
由无解,
则当时,不符合条件.
因此,不存在满足条件的点.
12.（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点,若线段的中点在抛物线上,求直线的斜率的取值范围.
【解析】（1）

易知点是抛物线的焦点,,
依题意,
所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,
设该椭圆的方程为,
则,
,
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在,
设直线1：,
由得：,
,
即①又,
故,将,代,
得,
将②代入①,得：,
即,
即,即,
且,
即的取值范围为或.