新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题5 圆锥曲线中的斜率问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题5 圆锥曲线中的斜率问题（含解析），共30页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

专题5 圆锥曲线中的斜率问题
一、考情分析
斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一) 利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点共线,通常是利用.
【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为,
不妨设,
因为三角形的面积为,所以,
所以,又,所以.
（2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为,
若直线与轴交于点,故可设直线的方程为,
设,,则,
联立,得,
且,
化简得且,
所以,,
因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在,
因为,,三点共线,所以,
即,即,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,
化简得,所以经过轴上的定点.
【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线.
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上,求m的值；
（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线与直线相交于点M,求证：A,D,M三点共线.
【解析】（1）由题意知,
直线的斜率存在,且斜率为,
设点A关于直线对称的点为,则,
所以线段的中点在直线上,又,,
有,解得或,
所以；
（2）已知,
当直线的斜率不存在时,：x=1,此时,
有,所以直线,当时,,所以,
所以,所以,
即A、D、M三点共线；
当直线的斜率存在时,设直线：,
则,得,
,
设,则,
直线BC的方程为,令,得,
所以直线AD、AM的斜率分别为,
,
上式的分子



,
所以,即A、D、M三点共线.
综上,A、D、M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,
2. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明.
已知椭圆：的左、右焦点分别为,,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线,交椭圆于A,两点,设两直线,的斜率分别为,,且,证明：直线过定点．
【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点,知,
因为是等腰直角三角形,所以,即,
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在,设其方程为,由题意知．
由,得,
由题意知,设,,
所以,,
因为,所以
,
所以,整理得,
故直线的方程为,即,
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在,设其方程为,,．
由题意得,解得,
此时直线的方程为,显然过点．
综上,直线过定点．
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点在双曲线上,直线l交C于 两点,直线 的斜率之和为.
(1)求l的斜率;
(2)若,求的面积.
【解析】（1）将点代入中,得,即,
解得 ,故双曲线方程为；
由题意知直线l的斜率存在,设,设,,
则联立直线与双曲线得：,
需满足,
故,,
,
化简得：,
故,
即 ,即,
由题意可知直线l不过A点,即,
故l的斜率
（2）设直线AP的倾斜角为,由,,
得,（负值舍去）,
由直线 的斜率之和为,可知,即,
则,得,即,
联立,及得,,
将,代入中,得,
故,,
而,,
由,得,
故
.
【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）抛物线的焦点为
设,则
因为,
所以,得.
所以抛物线的方程为;
（2）假设在轴上存在定点,使得轴平分.
设动直线的方程为,点,
联立,可得
恒成立,

设直线的斜率分别为,则


由定点,使得轴平分,则,
所以.把根与系数的关系代入可得,
得.
故存在满足题意.
综上所述,在轴上存在定点,使得轴平分.
(三) 根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.
2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若为定值,则直线AB过定点.
【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点和右焦点分别为、和,直线与椭圆交于不同的两点、,记直线、,的斜率分别为、、.
（1）求证：为定值；
（2）若,求的周长.
【解析】（1）证明：设,易知、,其中,则,
为定值.
（2）解：,即,
设、,而,
联立,
则,
且,,
.
所以,
,
,,
所以,,,
故直线恒过椭圆的左焦点,所以,的周长为.
【例7】（2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）点在双曲线上,离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点）,分别表示直线的斜率,满足,求证：直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点在双曲线上,离心率
可得； ,解出,,
所以,双曲线的方程是
（2）①当直线的斜率不存在时,则可设,
代入,得,
则,
即,解得或,
当时,,其中一个与点重合,不合题意；
当时,直线的方程为,它与双曲线不相交,故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入,
整理得,,设,
则,
由,
所以

所以,,
即,
整理得,
即,
所以或,
若,则,直线化为,过定点；
若,则,直线化为,它过点,舍去
综上,直线恒过定点
另解：
设直线的方程为①,
双曲线的方程可化为,
即②,
由①②可得,
整理可得,
两边同时除以,
整理得③,
,
则是方程③的两个不同的根,
所以,即④,
由①④可得 ,解得,
故直线恒过定点.
(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【例8】（2022届山东省学情高三上学期12月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为,.过与轴垂直的直线与椭圆交于点,点在轴上方,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于,两点,是否存在一定点使得为定值,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由己知得,所以,
所以,

所以椭圆C的方程为.
（2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在 x轴上,
设其坐标为(,0),
因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为,
,
则,将代入得：
,
所以,
又
由得：

则
当时,,
当直线斜率不存在时,存在一定点使得为定值0.
综上:存在定点使得为定值0.
【例9】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点,若线段的中点在抛物线上,求直线的斜率的取值范围.
【分析】（1）依题意,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标,将点Q坐标代入抛物线方程得到,将此式代入得到,解不等式即可.
【解析】（1）

易知点是抛物线的焦点,,
依题意,
所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,
设该椭圆的方程为,
则,
,
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在,
设直线1：,
由得：,
,
即①又,
故,将,代,
得：,
将②代入①,得：,
即,
即,即,
且,
即的取值范围为或.
四、跟踪检测
1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点在椭圆：（）上,且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点,是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
【解析】（1）点,在椭圆：（）上代入得：,
点到椭圆右顶点的距离为,则,
解得,,
故椭圆的方程为．
（2）由题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为（）,,,．
联立得．
．
∴,,
∵直线与直线斜率之积为．
∴,
∴．
化简得,
∴,
化简得,解得或．
当时,直线方程为,过定点．
代入判别式大于零中,解得（）．
当时,直线的方程为,过定点,不符合题意．
综上所述：直线过定点．
2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆的中心为坐标原点,对称轴为轴,轴,且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点,直线交椭圆于（不与点重合）两点,记直线的斜率分别为,若,证明：的周长为定值,并求出定值.
【解析】（1）由已知设椭圆方程为：,
代入,得,
故椭圆方程为.
（2）设直线,
由得,
,,
又,
故

,
由,得,
故或,
①当时,直线,过定点,与已知不符,舍去；
②当时,直线,过定点,即直线过左焦点,
此时,符合题意.
所以的周长为定值.
3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
【解析】（1）由题意知,离心率,所以,
设,两式相减得,所以；
所以直线为,即,所以,椭圆方程为；
（2）设直线为,由得,
则,,,
所以,解得,,
因为l不过D点,则,即
则,化简得,
解得,,
所以或.
4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知分别是椭圆的左､右顶点,分别是的上顶点和左焦点.点在上,满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点,设直线的斜率分别为,求证：为定值.
【解析】（1）因为,故可设,因为,故,即,解得.
又在椭圆上,故,解得,故.
又,故,故,.
故的方程为.
（2）因为椭圆方程为,故,当斜率为0时或重合,不满足题意,故可设：.
联立可得,设,则.
故


故定值为
5．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆经过点,其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上,右顶点为,且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【解析】（1）依题可得,,解得,
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）易知直线与的斜率同号,所以直线不垂直于轴,
故可设,
由可得,,
所以,
,而,即,
化简可得,
,

化简得,
所以或,
所以直线或,
因为直线不经过点,
所以直线经过定点.
设定点


,
因为,所以,
设,
所以,
当且仅当即时取等号,即面积的最大值为.
6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点,求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点,若曲线上存在定点,使为定值,求点的坐标及实数的值.
【解析】（1）由对称性可设,
则,
因为点在双曲线上,所以,即,且
所以,
当时,为直角,
当时,为钝角,
所以最小时,.
（2）设,由题意知动直线一定有斜率,设点的动直线为,
设
联立得,
所以,解得且,
,即,
即,
化简得,
,
化简得,
由于上式对无穷多个不同的实数都成立,
所以
将①代入②得,从而
如果时,那么,此时不在双曲线上,舍去,
因此,从而,代入,解得,
此时在双曲线上,
综上,,或者.
7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知、为椭圆C：的左右顶点,直线与C交于两点,直线和直线交于点.
(1)求点的轨迹方程.
(2)直线l与点的轨迹交于两点,直线的斜率与直线斜率之比为,求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
【解析】（1）由题意得,,
设,,,
则,,
即,,得,
又∵点在C上,即,得,
∴；
（2）∵,
设直线方程为,则方程为,
联立,得（且）,
设,得,,
同理设,得,,
,,
∴,即,
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆的左､右焦点为,,且左焦点坐标为,为椭圆上的一个动点,的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点,点,记直线的斜率为,直线的斜率为,证明：.
【解析】（1）因为左焦点坐标为,所以,
当点在上､下顶点时,最大,又的最大值为.
所以,
由得,
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率为0时,直线的方程为,
直线与椭圆没有交点,与条件矛盾,
故可设直线的方程为,
联立直线的方程与椭圆方程可得,,
化简可得,
所以,
由已知方程的判别式,
又直线过点,所以,
所以,所以,
设,
则,,
因为
所以,
所以
方法二：设直线的方程为,
由椭圆的方程,得.
联立直线的方程与椭圆方程,得,
即,
,
所以.
因为直线过定点,所以,代入,
得.
9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为,椭圆上的一点满足轴,且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为椭圆的左顶点,若点为椭圆上异于点的动点,设直线的斜率分别为,且,过原点作直线的垂线,垂足为点,问：是否存在定点,使得线段的长为定值？若存在,求出定点的坐标及线段的长；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由椭圆上的一点满足轴,且,可得,即,
又由椭圆的离心率为,可得,即,
因为,联立方程组,可得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆,可得,
设直线的方程为,则,
联立方程组,整理得,
则,
由,可得,
即,
可得,
整理得,所以,所以或（舍去）,
所以直线的方程为,即,
当时,,可得直线过定点,
因为,所以点在以为直径的圆上,
所以当点为线段的中点时,线段的长为定值,此时线段的长为,点.
10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆,圆,点,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段的垂直平分线为l．已知E的离心率为,点关于直线l的对称点都在圆C上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线与的斜率之和为？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．
【解析】（1）由已知,,则
设点关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段的中点,则C为线段的中点,从而线段为圆C的一条直径,所以,即,即．
于是,所以椭圆E的方程是．
（2）因为原点O为线段的中点,圆心C为线段的中点,直线l为线段的垂直平分线,
所以点O与C也关于直线l对称,
因为点,则线段的中点为,直线的斜率为2,又直线l为线段的垂直平分线,
所以直线l的方程为,即．
将代入,得,即．
设点,则．
所以

．
由已知,,则,得．
所以,即,即．
因为直线l与椭圆E相交,则,解得,即．
因为,所以不存在实数m,使直线与的斜率之和为．
11．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系中,已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆过点、,过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若,求点P的坐标；
（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、,是否存在常数,使得?若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆过点、,则有,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）设,.由（1）知,.
因为,则有,
即,
所以解得
即.
分别将、两点的坐标代入得
解得（舍）或
所以所求点的坐标为.
（3）设存在常数,使得.由题意可设直线的方程为,点,,则.
又因为,即,即,
所以
即（*）
又由得,,
且,.代入（*）得

即,
所以存在常数,使得.
12．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为,直线NB斜率为,求证：为定值．
【解析】（1）虚轴长为4,,即,
直线为双曲线的一条渐近线,
,,
故双曲线的标准方程为．
（2）由题意知,,,
由题可知,直线l斜率不能为零,故可设直线的方程为,
设,,,
联立,得,
,,
,
直线的斜率,直线的斜率,
,为定值．
13．（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研）已知椭圆C:的上下顶点分别为,过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点,直线与交于点.
(1)设的斜率分别为,求的值;
(2)求证：点在定直线上.
【解析】（1）设,,
,
,
所以.
（2）设,
得到,
,
,
直线,
直线,
联立得:,
法一：,
解得.
法二：由韦达定理得,
.
解得,
所以点在定直线上.
14．（2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考）已知,直线的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)直线与曲线交于两点,为坐标原点,若直线的斜率之积为, 证明: 的面积为定值.
【解析】（1）设,则直线的斜率,直线的斜率 ,由题意,
化简得 ；
（2）直线的斜率存在时,可设其方程为,
联立化简得,
设,
则,
,
所以

化简得
则,
又到的距离,
所以,为定值.
当直线的斜率不存在时,可设 ,
则,且,解得,此时,
综上,的面积为定值.

15．（2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）已知椭圆C：的右焦点为,离心率为为椭圆的任意内接三角形,点为的外心.

(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为,且斜率均存在.求证：.
【解析】（1）由椭圆的右焦点为,离心率为得. 所以.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设A,则.
设的外接圆方程为,
得,
两式相减得,
因为,所以,
同理：.
两式相减得：,于是：
所以
将代入得：
因为
所以
所以得证.