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新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题07 圆锥曲线中的定值问题（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题07 圆锥曲线中的定值问题（含解析），共31页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
专题7 圆锥曲线中的定值问题
一、考情分析
求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.
二、解题秘籍
(一) 定值问题解题思路与策略
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好.
因此定值问题的解题思路是：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
【例2】（2023届河南省濮阳市高三上学期测试）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.
（2）设，则.①
设过点与椭圆相切的直线方程为，
联立得，
则，
整理得.②
由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.
又因为，所以，所以为定值．
(二) 与线段长度有关的定值问题
与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值
【例3】（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【解析】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即,
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
(三)与面积有关的定值问题
与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.
【例4】（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
(四) 与斜率有关的定值问题
与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.
【例5】（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故
故定值为
(五) 与向量有关的定值问题
与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.
【例6】（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，
所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，
由题可知且，即且，
所以.
设存在符合条件的定点，则，
所以.
所以，
化简得.
因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知为椭圆C：内一定点,Q为直线l：上一动点,直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间）,O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时,求直线OQ的斜率；
（2）当AOB的面积为时,求点Q的横坐标；
（3）设,,试问是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为,且,
所以直线PQ的方程为：,
由,得,
所以直线OQ的斜率是；
（2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
所以,
解得,即,
所以直线PQ的方程为或,
由,得；
由,得；
（3）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
因为,,
所以,
所以,
.
(六) 与代数式有关的定值问题
与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值
【例8】在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
【解析】（1）椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，当零点分别是椭圆的有顶点和上顶点时，则，因为线段的中点为，射线分别角椭圆及直线与两点，所以，由三点共线，可得，解得，因为，所以，可得，又由，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：把代入椭圆，可得，可得，则，所以，即,所以直线的方程为，由，可得，因为是的等比中项，所以，可得，又由，解得，所以，此时满足，所以为常数.
(六) 与定值有关的结论
1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；
2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.
3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值；
4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值；
5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值.
6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则.
7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值）
8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则.
9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：.
【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点．
（1）若点的坐标为,求的焦点坐标；
（2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值；
（3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值．
【解析】（1）∵椭圆：,点的坐标为,
∴,,
∴的焦点坐标为；
（2）设,又,
由题知,即,
∴,
又,
∴当时,取得最大值为25；当时,取得最小值为；
∴的最大值为5,最小值为.
（3）
当时,椭圆：,
设,当直线PQ斜率存在时设其方程为,则
由,得,
∴,
由可知,即,
∴,即,
∴,可得,满足,
∴到直线PQ的距离为为定值；
当直线PQ斜率不存在时,,可得直线方程为,到直线PQ的距离为.
综上,到直线PQ的距离是定值．
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）由椭圆：的离心率为，短轴长为2，
可知 ，则 ，
故的方程为；
（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
设，
联立，可得，
，
则，
所以，
又，所以，
解得，
从而 ，
故，即为定值.
2．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
3．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得
（2）设，可知直线l斜率存在；设l：，
联立方程得：，所以，
所以，
又：
，
令，解之得：，即，此时
4．（2023届重庆市2023届高三上学期质量检测）已知抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，.
(1)求p的值；
(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.
【解析】（1）由，得，
则，
令，则，
即点的横坐标为，所以其纵坐标也为，
故，所以；
（2）由（1）得，
设直线的方程为，，
由得，
即，
即，
由（1）知，
联立，消得，
则，
所以，所以，
，
设到直线和直线的距离分别为，
则由得，，
所以点F到直线BD与到直线l的距离之比是定值，为定值3.
5．（2023届江苏省百校联考高三上学期考试）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.
(1)当时，求；
(2)在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设直线的方程为，，，
联立，得，
又因为，所以，
解得，，
所以，
即.
（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.
设直线的方程为，
联立，得，
则，，所以.
所以.
要使为定值，则，
解得或（舍去），此时.
故在轴上存在异于的定点，使得为定值.
6．（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，又，则，
故椭圆的方程为：；
（2）设､､､，
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，
得，
∴，，
∴，
设直线的方程，与抛物线G的方程联立，
得，
∴，，
∴，
∴，
要使为常数，则，解得，
故存在，使得为定值．
7．（2023届江苏省南京市高三上学期数学大练）已知点B是圆C:上的任意一点，点F（，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点Р的轨迹E的方程;
(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明: △FMN的周长为定值.
【解析】（1）因为点P在BF垂直平分线上，所以有，
所以：，即PF+PC为定值4，
所以轨迹E为椭圆，且，所以，
所以轨迹E的方程为：.
（2）由题知：，
设
则，，
所以QA1方程为：，QA2方程为：，
联立方程：，可以得出M：
同理可以计算出点N坐标：，
当存在，即，即时，
所以直线MN的方程为：
即：，所以直线过定点，
即过椭圆的右焦点，所以△FMN的周长为4a=8.
当不存在，即，即时，
可以计算出，周长也等于8.
所以△FMN的周长为定值8.
8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以，
当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
9．（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
【解析】（1）由已知，又，，所以，
椭圆标准方程为；
（2）设，，则，，
直线的方程为，令得，即，
,
,，直线的方程是，
直线的方程为，令得，即，
由，因为，故解得，即，
所以
10．（2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考）已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为， 证明: 的面积为定值.
【解析】（1）设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，
化简得 ；
（2）直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立化简得，
设，
则，
，
所以
化简得
则，
又到的距离，
所以，为定值.
当直线的斜率不存在时，可设 ，
则，且，解得，此时，
综上，的面积为定值.
11．（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．
(1)求的最大值；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆方程知：，，，则，，
由椭圆定义知：，，
（当且仅当三点共线，即与图中点重合时取等号），
又，的最大值为.
（2）由题意知：直线斜率存在，设，，，则，
由得：，
，；
，即，则；
同理可得：，
，
是定值.
12．（2023届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
13．（2023届云南省下关第一中学高三上学期考试）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）由已知得，解得，所以．
（2）由已知，不妨设，则，，
所以，，所以，
代入椭圆的方程得：，
设，则，即，
所以，即，
所以，即，
即，也即为定值．
14．如图,点M是圆上任意点,点,线段的垂直平分线交半径于点P,当点M在圆A上运动时,
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）轴,交轨迹于点（点在轴的右侧）,直线与交于（不过点）两点,且直线与直线关于直线对称,则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值．
【解析】（1）如图,由方程,得,半径,
∵在的垂直平分线上,∴,
所以,
∴的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,
由,则,,,
∴点的轨迹的方程为．
（2）解：∵直线与轨迹交于,两点,设,如图
消,得,
整理,得,
,
因为与关于对称,轴,
所以,,,,
,即,
∵,,
∴整理：,
,
即,
即,
若,点满足,即,,三点共线,不合题意,
∴,即,
∴直线中为定值．
15．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为的圆与线段OM交于点N,作轴于点D,作于点Q.
（1）令,若,,,求点Q的坐标；
（2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；
（3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点,,若点E､F分别满足,,设直线和的交点为K,设直线：及点,（其中）,证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值.
【解析】（1）设,则由题知
,因此
（2）
（2）设及,则由题知
,则点Q的轨迹C为椭圆,方程为：.
（3）设,由题知,,,,,
：,即,
：,即,
联列上述直线方程,解得.
令点到直线的距离为,则.
因此有.
专题7 圆锥曲线中的定值问题
一、考情分析
求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.
二、解题秘籍
(一) 定值问题解题思路与策略
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好.
因此定值问题的解题思路是：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
【例2】（2023届河南省濮阳市高三上学期测试）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.
（2）设，则.①
设过点与椭圆相切的直线方程为，
联立得，
则，
整理得.②
由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.
又因为，所以，所以为定值．
(二) 与线段长度有关的定值问题
与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值
【例3】（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【解析】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即,
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
(三)与面积有关的定值问题
与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.
【例4】（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
(四) 与斜率有关的定值问题
与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.
【例5】（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故
故定值为
(五) 与向量有关的定值问题
与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.
【例6】（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，
所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，
由题可知且，即且，
所以.
设存在符合条件的定点，则，
所以.
所以，
化简得.
因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知为椭圆C：内一定点,Q为直线l：上一动点,直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间）,O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时,求直线OQ的斜率；
（2）当AOB的面积为时,求点Q的横坐标；
（3）设,,试问是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为,且,
所以直线PQ的方程为：,
由,得,
所以直线OQ的斜率是；
（2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
所以,
解得,即,
所以直线PQ的方程为或,
由,得；
由,得；
（3）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
因为,,
所以,
所以,
.
(六) 与代数式有关的定值问题
与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值
【例8】在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
【解析】（1）椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，当零点分别是椭圆的有顶点和上顶点时，则，因为线段的中点为，射线分别角椭圆及直线与两点，所以，由三点共线，可得，解得，因为，所以，可得，又由，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：把代入椭圆，可得，可得，则，所以，即,所以直线的方程为，由，可得，因为是的等比中项，所以，可得，又由，解得，所以，此时满足，所以为常数.
(六) 与定值有关的结论
1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；
2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.
3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值；
4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值；
5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值.
6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则.
7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值）
8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则.
9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：.
【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点．
（1）若点的坐标为,求的焦点坐标；
（2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值；
（3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值．
【解析】（1）∵椭圆：,点的坐标为,
∴,,
∴的焦点坐标为；
（2）设,又,
由题知,即,
∴,
又,
∴当时,取得最大值为25；当时,取得最小值为；
∴的最大值为5,最小值为.
（3）
当时,椭圆：,
设,当直线PQ斜率存在时设其方程为,则
由,得,
∴,
由可知,即,
∴,即,
∴,可得,满足,
∴到直线PQ的距离为为定值；
当直线PQ斜率不存在时,,可得直线方程为,到直线PQ的距离为.
综上,到直线PQ的距离是定值．
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）由椭圆：的离心率为，短轴长为2，
可知 ，则 ，
故的方程为；
（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
设，
联立，可得，
，
则，
所以，
又，所以，
解得，
从而 ，
故，即为定值.
2．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
3．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得
（2）设，可知直线l斜率存在；设l：，
联立方程得：，所以，
所以，
又：
，
令，解之得：，即，此时
4．（2023届重庆市2023届高三上学期质量检测）已知抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，.
(1)求p的值；
(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.
【解析】（1）由，得，
则，
令，则，
即点的横坐标为，所以其纵坐标也为，
故，所以；
（2）由（1）得，
设直线的方程为，，
由得，
即，
即，
由（1）知，
联立，消得，
则，
所以，所以，
，
设到直线和直线的距离分别为，
则由得，，
所以点F到直线BD与到直线l的距离之比是定值，为定值3.
5．（2023届江苏省百校联考高三上学期考试）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.
(1)当时，求；
(2)在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设直线的方程为，，，
联立，得，
又因为，所以，
解得，，
所以，
即.
（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.
设直线的方程为，
联立，得，
则，，所以.
所以.
要使为定值，则，
解得或（舍去），此时.
故在轴上存在异于的定点，使得为定值.
6．（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，又，则，
故椭圆的方程为：；
（2）设､､､，
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，
得，
∴，，
∴，
设直线的方程，与抛物线G的方程联立，
得，
∴，，
∴，
∴，
要使为常数，则，解得，
故存在，使得为定值．
7．（2023届江苏省南京市高三上学期数学大练）已知点B是圆C:上的任意一点，点F（，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点Р的轨迹E的方程;
(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明: △FMN的周长为定值.
【解析】（1）因为点P在BF垂直平分线上，所以有，
所以：，即PF+PC为定值4，
所以轨迹E为椭圆，且，所以，
所以轨迹E的方程为：.
（2）由题知：，
设
则，，
所以QA1方程为：，QA2方程为：，
联立方程：，可以得出M：
同理可以计算出点N坐标：，
当存在，即，即时，
所以直线MN的方程为：
即：，所以直线过定点，
即过椭圆的右焦点，所以△FMN的周长为4a=8.
当不存在，即，即时，
可以计算出，周长也等于8.
所以△FMN的周长为定值8.
8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.
【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以，
当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.
所以，
由得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，
故可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程可得，，
化简可得，
所以，
由已知方程的判别式，
又直线过点，所以，
所以，所以，
设，
则，，
因为
所以，
所以
方法二：设直线的方程为，
由椭圆的方程，得.
联立直线的方程与椭圆方程，得，
即，
，
所以.
因为直线过定点，所以，代入，
得.
9．（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
【解析】（1）由已知，又，，所以，
椭圆标准方程为；
（2）设，，则，，
直线的方程为，令得，即，
,
,，直线的方程是，
直线的方程为，令得，即，
由，因为，故解得，即，
所以
10．（2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考）已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为， 证明: 的面积为定值.
【解析】（1）设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，
化简得 ；
（2）直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立化简得，
设，
则，
，
所以
化简得
则，
又到的距离，
所以，为定值.
当直线的斜率不存在时，可设 ，
则，且，解得，此时，
综上，的面积为定值.
11．（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．
(1)求的最大值；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆方程知：，，，则，，
由椭圆定义知：，，
（当且仅当三点共线，即与图中点重合时取等号），
又，的最大值为.
（2）由题意知：直线斜率存在，设，，，则，
由得：，
，；
，即，则；
同理可得：，
，
是定值.
12．（2023届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
13．（2023届云南省下关第一中学高三上学期考试）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）由已知得，解得，所以．
（2）由已知，不妨设，则，，
所以，，所以，
代入椭圆的方程得：，
设，则，即，
所以，即，
所以，即，
即，也即为定值．
14．如图,点M是圆上任意点,点,线段的垂直平分线交半径于点P,当点M在圆A上运动时,
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）轴,交轨迹于点（点在轴的右侧）,直线与交于（不过点）两点,且直线与直线关于直线对称,则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值．
【解析】（1）如图,由方程,得,半径,
∵在的垂直平分线上,∴,
所以,
∴的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,
由,则,,,
∴点的轨迹的方程为．
（2）解：∵直线与轨迹交于,两点,设,如图
消,得,
整理,得,
,
因为与关于对称,轴,
所以,,,,
,即,
∵,,
∴整理：,
,
即,
即,
若,点满足,即,,三点共线,不合题意,
∴,即,
∴直线中为定值．
15．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为的圆与线段OM交于点N,作轴于点D,作于点Q.
（1）令,若,,,求点Q的坐标；
（2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；
（3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点,,若点E､F分别满足,,设直线和的交点为K,设直线：及点,（其中）,证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值.
【解析】（1）设,则由题知
,因此
（2）
（2）设及,则由题知
,则点Q的轨迹C为椭圆,方程为：.
（3）设,由题知,,,,,
：,即,
：,即,
联列上述直线方程,解得.
令点到直线的距离为,则.
因此有.
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