新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（含解析），共30页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题
一、考情分析
圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.
二、解题秘籍
(一) 解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法
1.解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
2．存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．
【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点,是否存在轴上的定点,使得以线段为直径的圆恒过点？若存在,求实数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）两条渐近线的夹角为,渐近线的斜率或,即或；
当时,由得：,,双曲线的方程为：；
当时,方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：,
假设存在定点满足题意,则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时,设,,,
由得：,,
,,
,
,
整理可得：,
由得：；
当时,恒成立；
②当直线斜率不存在时,,则,,
当时,,,成立；
综上所述：存在,使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时,,则,,
,,,
,解得：；
②当直线斜率不为时,设,,,
由得：,,
,,
；
当,即时,成立；
综上所述：存在,使得以线段为直径的圆恒过点.
【例2】（2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考）已知双曲线的右焦点为,从①虚轴长为；②离心率为2；③双曲线的两条渐近线夹角为中选取两个作为条件,求解下面的问题.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点,为坐标原点,记面积分别为,若,求直线的方程.
（注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.）
【解析】（1）若选①②,可知解得
∴C的方程为.
若选①③,因为,∴∴
∴C的方程为.
若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为,可知则
此时无法确定a,b,c
（2）,由题意知,直线l斜率不为0,∴设直线.
由得,
设,,则可知且恒成立,
,,∴或.
,∴.
由,得,∴,
∴,满足或.
∴直线l的方程为或.
(二)是否存在型探索性问题
求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.
【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、,且也是抛物线：的焦点,为椭圆与抛物线在第一象限的交点,且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于,两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有？说明理由．
【解析】（1）也是抛物线：的焦点,,
,且抛物线的准线方程为,
设点,
,,,
,,
,解得,,
椭圆方程为；
（2）假设存在满足设,,
联立,消整理得,
由韦达定理有,,其中恒成立,
由显然,的斜率存在,故,即,
由,两点在直线上,故,,
代入整理有,
将代入即有：,要使得与的取值无关,当且仅当““时成立,
综上所述存在,使得当变化时,总有．
(三) 探索直线是否过定点
求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程,然后根据已知条件确定的关系式,再判断直线是否过定点.
【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的上、下顶点,且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点,若直线与直线的斜率之和为,判断直线是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.
【解析】（1）由离心率为,可得
因为为椭圆的上、下顶点,且,所以 即 ,
又
解得：
所以椭圆的标准方程为
（2）直线经过定点,证明如下：
①当直线的斜率存在时,设,(),
由,得,
则 得：
设
则,,
则

所以,经检验,可满足,
所以直线的方程为,即
所以直线经过定点．
②当直线的斜率不存在时,设,,,
则
解得,此时直线也经过定点
综上直线经过定点．
(四) 探索结果是否为定值
此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.
【例5】（2022届云南省三校高三联考）在平面直角坐标系中,椭圆过点,．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点是单位圆上的任意一点,设,,是椭圆上异于顶点的三点且满足．探讨是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．
【解析】（1）因为点,在椭圆上,所以,解得,,
所以椭圆方程为．
（2）令,,则,
所以,
即．
又,,,所以,
即,
所以,
即,又,,所以,
所以,
故为定值．
【例6】（2022届天津市耀华中学高三上学期月考）已知为坐标原点,双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形．
（1）求,的方程；
（2）是否存在直线,使得与交于,两点,与只有一个公共点,且？证明你的结论；
（3）椭圆的右顶点为,过椭圆右焦点的直线与交于、两点,关于轴的对称点为,直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．
【解析】（1）根据题意：,,
以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形,边长为
故,,故,代入计算得到,,,
故,.
（2）假设存在直线方程满足条件,
当直线斜率不存在时,或,代入计算得到,验证不成立；
当直线斜率存在时,设直线方程为,则,
即,,
化简得到.
设,,,故,
故,,故,
即,即,
即,化简得到,
方程组无解,假设不成立.
故不存在直线满足条件.
（3）焦点坐标为,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为,
,,则,
,化简得到,,
直线方程为：,
取得到
,
,故是定值为.
(六) 探索直线与圆锥曲线的位置关系
探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.
【例7】已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、,是坐标原点,则的充要条件是.
（1）试根据上述定理,写出直线与圆相交于,,坐标原点为,且的充要条件,并求的值；
（2）若椭圆与直线相交两点、,而且,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.
【解析】（1）由定理可知的充要条件为：,
即,.
（2）椭圆与直线相交两点、,
,即.
圆的半径为,
又圆心到直线的距离为,
,
直线与圆相切.
(七) 探索类比问题
此类问题多是椭圆与双曲线的类比
【例8】设分别为椭圆的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点到两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明．
【解析】（1）点在椭圆C上,且到两点的距离之和等于4,则,,解得,椭圆C的方程为；
（2）,则有,设,线段的中点为,则有,
又K是椭圆上的动点,则有,即,即.
故线段的中点的轨迹方程为
（3）类似特性的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P位置无关的定值．
证明：设,,则,,,
又,则
(八) 不良结构问题
近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.
【例9】在①,②,③轴时,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A,B两点,求的面积．
【解析】（1）解：选择条件①,
由抛物线的定义可得,
因为,所以,解得,
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②,
因为,所以,,
因为点在抛物线C上,
所以,即,解得,
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时,,所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）解：设,,由（1）知．
由,得,
则,,
所以,
故．
因为点F到直线l的距离,
所以的面积为．
三、跟踪检测
1．（2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）已知动圆经过点,且与直线相切,记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知是曲线上一点,是曲线上异于点的两个动点,设直线､的倾斜角分别为,且,请问：直线是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.
【解析】（1）设动圆圆心,
∵动圆经过点,且与直线相切,
∴点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,
故其方程为,
∴动圆圆心的轨迹方程是；
（2）由（1）可得,
当直线､中其中一条的斜率不存在,不妨设,,
易得,直线的直线为,与联立可得,
故直线的方程为；
当直线､的斜率都存在时,故设直线､的斜率,
设
所以,同理可得,
因为,所以,所以,即,所以,
所以,即,
由题意可设方程为,联立,消整理得,
所以,,,
所以即,所以,
令得,,此时有定点,
综上所述,直线经过定点
2．（2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中）已知圆O：x2＋y2＝16,点A（6,0）,点B为圆O上的动点,线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设T（2,0）,过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值；
（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．
【解析】（1）设,,
因为点在圆上,所以①,因为为中点,所以,整理得,代入①式中得,整理得,
所以曲线的方程为.
（2）（i）因为直线不与轴重合,所以设直线的方程为,即,则直线为,设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为,,
则,,所以,,所以,
当时,；
当时,,当且仅当时等号成立,
综上所述,四边形面积的最大值为7.
（ii）设,,
联立,得,则,,,
因为曲线与轴交于,两点,所以,,
则直线的方程为,
直线的方程为,
联立两直线方程得,
,所以,
所以在定直线上.
3．（2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中）己知双曲线,过点作直线l和曲线C交于A,B两点.
(1)求双曲线C的焦点和它的渐近线；
(2)若,点A在第一象限,轴,垂足为H,连结,求直线斜率的取值范围；
(3)过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E,F两点.问是否存在实数t,使得和同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t的取值集合；如果不存在,请说明理由.
【解析】（1）解：由曲线,
可得曲线的焦点为,渐近线方程；
（2）解：设,
因为双曲线的渐近线为,且点在第一象限,所以,
从而,
所以,
即直线斜率的取值范围为；
（3）解：由,得,
当一条直线斜率存在另一条直线斜率为0时,
不妨取直线,直线,
此时,
令,则,解得,
所以,
因为,
所以,解得,
当两条直线斜率都存在时,
不妨设且,
联立,消得,
设,
则,
则,
将替换成,可得,
由,可得,
解得,即,
此时恒成立,
综上所述,,
因此满足条件的集合为．

4．（2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考）设点为圆上的动点,过点作轴垂线,垂足为点,动点满足（点、不重合）
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的动直线与轨迹交于、两点,定点为,直线的斜率为,直线的斜率为,试判断是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由．
【解析】（1）设点P为,动点M为,则Q点为,
,
,
求得：又,
即点M的轨迹方程为：,
（2）设直线AB方程为：,
由得,
  或,
设A点,B点,则,
求得： ,


的值为定值,定值为．
5．（2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测）已知椭圆的离心率为,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连接.当为椭圆的右焦点时,的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的延长线与椭圆的交点,试问：是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.
【解析】（1）椭圆离心率,,则,
当为椭圆右焦点时,；
,解得：,,
椭圆的方程为：.
（2）

由题意可设直线,,,
则,,,直线；
由得：,
,则,
,；
,又,
,则,
为定值.
6．（2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考）已知抛物线：的焦点为,点在抛物线上,且．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)直线：与抛物线交于,两点,点,若（为坐标原点）,直线是否恒过点？若是,求出定点的坐标；若不是,请说明理由．
【解析】（1）因为点在抛物线上,且,
所以有,因此抛物线的标准方程为；
（2）设,,
直线方程与抛物线方程联立,得,
因为,．
因为,所以,
所以．
则,即．
当时,,即；
当时,,符合题意,即．
综上,直线过定点．
7．（2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考）在平面直角坐标系中,为坐标原点,动点到,的两点的距离之和为．
(1)试判断动点的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程．
(2)已知直线与圆交于、两点,与曲线交于、两点,其中、在第一象限,为原点到直线的距离,是否存在实数,使得取得最大值,若存在,求出和最大值；若不存在,说明理由．
【解析】（1）解：由题意知,,
所以动点的轨迹是以,为焦点的椭圆,
且,,
又因为,
所以,
所以的轨迹方程为．
（2）解：当时,解得,
又圆的半径,
所以在椭圆外,在椭圆内,点在内,在外,
在直线上的四点满足：,,
由,消去整理得,
因为直线经过椭圆内的右焦点,
所以该方程的判别式恒成立,
设,,
所以,,
,
又因为的直径,
所以,
化为,
因为为点到直线的距离,
,
当且仅当,即时等号成立,
所以时取得最大值．
8．（2022届广东省潮州市高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问：在x轴上是否存在定点E,使得为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由离心率为,得,及,
又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为,
且与直线相切,
所以,
所以,,
所以椭圆C的标准方程为；
（2）假设存在,设,
联立,消整理得,
,
设,
则,
由,
则




,
要使上式为定值,即与无关,
则应,即,
此时为定值,
所以在x轴上存在定点,使得为定值.
9．（2022届河北省深州市高三上学期期末）已知抛物线,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点．
（1）设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：；
（2）在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）证明：设,,,
故可设直线l的方程为,
由得,
则,,
由题意可知,,,
则,．
因为,
,
所以,故．
（2）假设存在点满足题意,设直线AT,BT的斜率分别为k1,k2．
,,
则
．
因为,且为常数,
所以,即,
故存在点满足题意．
10.已知椭圆的离心率为,圆与椭圆相交于,两点.
（1）求的最小值；
（2）若,分别是椭圆的上、下焦点,经过点的直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,则与的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由,得.
所以椭圆E的标准方程为,则圆心A的坐标为(0,2).
设,由对称性得,且,
则
由题意知－2 所以当y0＝时,取得最小值,最小值为.
（2）由题意知F1(0,),F2(0,－),直线l的斜率一定存在.
设l：y＝kx＋,M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y并整理得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0,
Δ＝(2k)2＋4(4＋k2)＝16k2＋16>0,
则x1＋x2＝－,x1x2＝－.
所以△OF2N与△OF2M的面积之和
S＝×|x2－x1|＝×＝×
＝×＝2×.
令t＝1＋k2,则t≥1,
所以S＝2×＝2×≤2×＝2×＝1,
当且仅当t＝,即t＝3,k＝±时等号成立.
所以当k＝±时,△OF2N与△OF2M的面积之和取得最大值,且最大值为1,
此时直线l的方程为或.
11.（2022届北京一六一中学高三12月测试）已知椭圆上一点与椭圆C的两个焦点构成的三角形周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作x轴的垂线,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线上）,点A关于的对称点为,直线与C交于另一点B．设O为原点,判断直线与直线的位置关系,并说明理由．
【解析】（1）∵,∴,
又∵焦点三角形的周长为,
故,解得
故椭圆的方程为：.
（2）（1）由题意的：,解得,
椭圆的方程为
（2）直线与直线平行,证明如下：
由题意,直线的斜率存在且不为零
关于对称,则直线与斜率互为相反数
设直线,
设,
由,消去得
∴
∴
同理

,


又

故直线与直线平行
12．（2023届海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考）已知双曲线：的右焦点为,渐近线方程为,过的直线与的两条渐近线分别交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率为1,求线段的中点坐标；
(3)点、在上,且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①在上；②；③.
【解析】（1）由题意可得,即 ,
解得 ,
因此C的方程为 ；
（2）由直线的斜率为1,得直线的方程为,
联立 ,得： ,不妨设,
联立 ,得： ,不妨设,
故线段的中点的横坐标为,纵坐标为,
故线段的中点的坐标为；
（3）
由题意设直线 的方程为 ,将直线的方程代入得 ,
,因为,,
,,
设点M的坐标为,则,
整理得,
,,
解得,
又因为,
,
,；
若选择①②作条件：
设直线的方程为,并设A的坐标为 ,B的坐标为,
则,解得
同理求得,
,
此时点M的坐标满足,
解得,
故M为 的中点,即,即③成立 ；
若选择①③作条件：
当直线 的斜率不存在时,点M即为点 ,此时不在直线 ,矛盾,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为 ,并设A的坐标为 ,B的坐标为,
则,解得,
同理解得,
此时,,
由于点M同时在直线 上,故 解得 ,
因此 ,即②成立．
若选择②③作条件：
设直线的方程为 ,并设A的坐标为 ,B的坐标为,
则,解得,
同理可得,
设的中点为,则,
由于,故M在的垂直平分线上,即点M在直线上,
将该直线与联立,解得,
即点M恰为中点,即点M在直线上, ①成立；
13．已知椭圆C：的离心率为,点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4,t）,其中,切点分别是A、B,试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是,证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
(3)试探究的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由．
【解析】（1）∵椭圆C：的离心率为,点在椭圆C上．
∴,①
,②,
由①②得：,,∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设切点坐标,,则切线方程分别为,．
又两条切线交于点M（4,t）,即,,即点A、B的坐标都适合方程,令,可得
故对任意实数t,点（1,0）都适合这个方程,故直线AB恒过椭圆的右焦点．
（3）将直线AB的方程,代入椭圆方程,得
,即,
∴,,
不妨设,,,
同理,
∴,
∴的值恒为常数．
14．（2023届四川省成都市高三上学期月考）如图所示, 已知两点的坐标分别为,直线 的交点为,且它们的斜率之积．

(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点, 若过点的动直线与的交点为, 直线与 直线和直线分别交于两点,当时,请比较与大小并说明理由．
【解析】（1）设点P的坐标为,
由题设得,
故所求的点P的轨迹的方程为．
（2）设,由题设知,直线的斜率存在,
不妨设直线的方程为,将代入,可得,则,同理．
由,可得,所以,即,
且,
由消去y并整理得,
则且,
可得

又因为,所以
所以当时．
15．（2023届广东省佛山市南海区三水区高三上学期8月摸底）在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线的焦点为F,抛物线上不同两点M,N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为．
(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和交抛物线于A,B,C,D,且A,C两点在直线的下方,求证：直线的倾斜角互补并求直线的交点坐标．
【解析】（1）若同时满足①②：由,可得过焦点,
当时,而,
所以①②不同时成立．
若同时满足①③由①,可得过焦点,
因为直线的方程为,不可能过焦点,所以①③不同时成立．
只能同时满足条件②③,因为②；
且直线的方程为,所以,解得．
所以抛物线的标准方程为.
（2）设,
设过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和的方程分别为,即为,
由方程组,
得
所以,
由方程组,同理,
所以,
设直线的方程为,
由方程组,
得
所以,
由方程组,同理,
所以得．
所以直线的倾斜角也互补
由,
得,,,
显然,则,,同理
直线同过点,所以直线相交于定点.