辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体

2023—2024学年度上学期高二年级10月月考试题

数学

命题人：康平县高级中学  何庆超  评审题人：沈阳市第八十三中学  于洋

考试时间：120分钟  试卷总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知向量，且，则（    ）

A．4 B．6 C． D．

2．若，则直线与平面的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内

3．已知平面直角坐标系中点且直线的法向量是则实数的值是（    ）

A． B． C．3 D．1

4．直线经过两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知直线的方程为，当原点直线到的距离最大时，的值为（    ）

A． B． C．1 D．5

6．直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体，下图是棱长均为1的柏拉图多面体分别是的中点，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

B．若对空间中任意一点，有，则四点共面

C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

D．是共线的充要条件

10．下列说法错误的是的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为

C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或

D．过两点的直线方程为

11．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（    ）

A． B．

C．三棱锥的体积为 D．与所成为的角为

12．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在侧面上运动，且直线平行于平面，下列说法正确的（    ）

A．的轨迹长度为

B．直线与直线所成角记为，则的最小值为

C．平面与平面所成的锐二面角记为，则

D．平面将正方体分成的两部分体积之比为

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若直线与直线互相平行，则实数的值为_______．

14．过点且和的距离相等的直线方程是_______．

15．长为4的线段的两端点在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，求异面直线与所成的角为_______．

16．如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知直线．

（1）若与垂直，求实数的值；

（2）若直线在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，求实数的值．

18．在棱长为2的正四面体中，

（1）设用表示；

（2）若，且，求

19．已知直线，点，点，点在直线上移动，

（1）求的最小值：

（2）求的最大值，以及最大值时点的坐标

20．如图，在正四棱锥中，为底面中心，为的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；

（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

21．在中，已知，且边上的中线在轴上的截距为2．

（1）求直线的一般式方程；

（2）若点在轴上方，的面积为，且过点的直线在轴、轴上的截距相等，求直线的方程．

22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面．

（1）求点到平面的距离；

（2）为线段上一点，若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．

23-2024学年度(上）沈阳市郊联体10月份考试

高二数学答案

一、单项选择题：

1.C        2.D       3.C      4.D

5.A        6.B       7.A      8.B

二、多选题：

9.BC       10.BCD    11.AC   12.ABC

三、填空题

13.              14.2x+y-1=0；y-1=0    （或y=-2x+1；y=1）

15.            16.

四、解答题

17.（1）

且直线与垂直

所以（1分）

解得（3分）

（2）因为直线在连个坐标轴截距的绝对值相等，

所以当直线在两个坐标轴截距为0时，，解得（5分）

当直线在两个坐标轴截距相等且不为0时，，解得（7分）

当直线在两个坐标轴截距相反且不为0时，，解得（9分）

综上所述（10分）

18.因为，所以是棱的中点，

所以，

则，

故

因为，所以，

在棱长为的正四面体中，

所以，

解得．

（1）法一：因为直线点P(m,n)上，所以m-2n+4=0.

法二：

所以原式最小值为

（2）设关于直线的对称点为

解得

所以

并且取最小值时

所以最大值为6，此时P（4,4）

20.（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.

在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

，，，

设平面EAC的法同量，则,即，取，得，

∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.

（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距高.（8分）

（ii），则，

∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.

21：根据题意得到点又直线过点．

根据两点式得直线的方程为，即．

因为的面积为，点是线段的中点，所以的面积为．

设点的坐标为，点到直线的距离为，

因为，

所以，解得，

因为直线的方程为，即，

所以点到直线的距离，

解得舍去，所以点坐标为．

当直线过原点时，直线的方程为，即．

当直线不过原点时，设直线的方程为，

将点坐标代入得，

解得，

此时直线的方程为．

综上所述，直线的方程为或．

22（此题学生用空间向量法和几何法求距离，二面角都可以，判卷老师课酌情给分）

（1）取AD中点O，连接OB，OP.

∵为等边三角形，∴，OA=1，.

又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，

平面PAD，∴平面ABC.

又∵平面ABCD，∴.

∵，∴，∴.

又∵，平面POB，

平面POB，，∴平面POB.

又∵平面POB，∴.

∴，

设点A到平面PBC的距离为h，

则即，∴；

（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.

设，则，.

得，则.

又平面ABC，则取平面ABCD的法向量.

设AE与平面ABCD所成的角为，则

，解得.

则，.

设平面ADE的法向量，则.

令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.

故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.