江苏省连云港市2023-2024学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题（月考）

2023—2024学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）

数学试题2023.10

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集，集合，，则（    ）

A.    B.

C.   D.

2.已知，，若，则的最小值为（    ）

A.2   B.    C.4   D.

3.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（    ）

A.1   B.   C.   D.-1

4.“”是“直线：与：平行”的（    ）

A.充要条件     B.充分不必要条件

C.必要不充分条件    D.既不充分也不必要条件

5.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料费2年后我们能为初始量的79%。该品牌塑料袋大约需要经过（    ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）

A.20   B.16   C.12   D.7

6.在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的磨线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A.   B.2   C.   D.3

7.设等差数列的前项和为，已知，，，其中正整数，则该数列的首项为（    ）

A.-5   B.0   C.3   D.5

8.已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A.若，，则   B.若，，则

C.若，，则   D.若，，，则

10.已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A.

B.函数的图象关于点对称

C.函数在上单调递增

D.将函数的图像向左平移个单位后与原图象关于轴对称，则的最小值为

11.在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（    ）

A.当点的坐标为时，直线的方程为

B.设，则的最小值为4

C.

D.

12.已知，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.已知向量，，则____________.

14.已知，则____________.

15.已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________.

16.在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为____________.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

在正方体中，设，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线与曲线相交于，两点和，两点，求四边形的面积的最小值.

19.（本小题满分12分）

在中，，，所对的边分别为，，，已知.

（1）若，求的值；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围.

20.（本小题满分12分）

已知数列的前项积为，且.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：.

21.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.

（1）记直线，的斜率分别为，，求的值；

（2）设直线与交于点，求的值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，其中为实数.

（1）若，求实数的最小值；

（2）设函数，若函数存在极大值，且极大值小于0，求实数的取值范围.

2023-2024学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）

数学试题参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.5  14.  15.1  16.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

【解】（1）连接交于，连接，，.

在正方体中，，，四边形是平行四边形，

所以，.

正方形中，，故是的中点，

所以，且，

在中，，分别是，的中点，

所以，且，

所以，且，

故四边形是平行四边形，故，

又平面，平面，

所以平面.

（2）法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为2，故，，，，.

在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.

设是平面的法向量，，，

故即取，则

所以是平面的一个法向量.

故，

设二面角的大小为，

据图可知，，

所以二面角的余弦值为.

法二：取的中点，的中点，连接，，.

在正方体中，，，

又，分别是，的中点，

故，，四边形是平行四边形，所以，

又，，故，，

因为，平面，所以平面，

又平面，故.

在正方形中，，

在中，，分别是，的中点，

故，所以，

又，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

所以是二面角的平面角.

不妨设正方体的棱长为2，

在中，，，

故，

所以，

所以二面角的余弦值为.

18.（本小题满分12分）

【解】（1）设圆的半径为，圆的圆心，半径为1，

因为圆与圆内切，且与直线相切，

所以圆心到直线的距离为，且，

故圆心到点的距离与到直线的距离相等，

据抛物线的定义，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为.

（2）设直线的方程为，，，.

联立方程组整理得，故

所以

.

因为，直线的方程为，

同理可得.

所以

，

当且仅当，即时，取等号.

所以四边形面积的最小值为32.

19.（本小题满分12分）

【解】（1）在中，，据余弦定理可得，

又，故，即，

又，故，得.

（2）在△ABC中，据余弦定理可得，

又，故，即，

又，故.

据正弦定理，可得，

所以，

即，

所以，，

因为，所以，或，

即或（舍）.

所以.

因为是锐角三角形，所以得，

所以，故，，

所以的取值范围是.

20.（本小题满分12分）

【证明】（1）依题意，，

所以，当时，，整理得，，

所以，当时，为定值，

所以数列是等差数列.

（2）因为，令，得，，故，

结合（1）可知，是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，得.

所以，当时，，

显然符合上式，

所以.

所以，

故

.

因为，，

所以.

21.（本小题满分12分）

【解】（1）设直线l的方程为，，.

联立方程组整理得，

则即

所以

.

（2）由（1）可知，，故直线与关于直线对称，

设直线与椭圆的另一个交点为，则与关于轴对称，

设，则.

所以直线的方程为，直线的方程为，

故点满足方程组解得

因为点在椭圆C上，所以，

即，整理得，

所以点在双曲线上运动，且，恰好为该双曲线的焦点，

依题意，点在，之间，所以，得，点在双曲线的右支上运动，

所以.

22.（本小题满分12分）

【解】（1）依题意，，，即，.

令，，故，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以当时，.

所以，得，

所以实数的最小值为2.

（2）依题意，，，

故，.

①若，，在上单调递增.

因为，，且在上的图象不间断，

据零点存在性定理，存在，使得，

且当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以函数在上不存在极大值，故不符题意.

②若，令，得.

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

因为函数存在极大值，故，即，解得，

此时，，；

，（证明：令，

.所以，在上单调递增，

故，即，

又在上的图象不间断，

据零点存在性定理，存在，，使得，

且当时，，在和上单调

递减；当时，，在上单调递增，

所以函数在上得极大值为.

依题意，，即，得，

又，即，得，代入上式，

得，故，

又，即，所以，得，

所以.

据，得，其中.

令，，故，

所以在上单调递减，，即，

所以，

综上所述，实数a的取值范围是.