吉林省四校联考2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

2023-2024学年度上学期第一次月考

高一数学试卷

本试卷满分150分，共2页考试试卷：120分钟考试结束后只上交答题卡

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知全集为U，，则其图象为（    ）

A． B． C． D．

2．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．下列四个命题中正确命题的个数是（    ）

①“”是“”的既不充分也不必要条件②“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件

③有实数根④若集合，则是的充分不必要条件

A．1 B．3 C．2 D．0

4．下列不等式一定成立的是（    ）

A．  B．（其中）

C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中）

5．若集合U有71个元素，S，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（    ）

A．14 B．30 C．32 D．42

6．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ）

A．  B．ab的最大值为

C．的最小值为4 D．的最小值为

7．定义：设A是非空实数集，若，使得，都有，则称a是A的最大（小）值．若B是一个不含零的非空实数集，且是B的最大值，则（    ）

A．当时，是集合的最小值

B．当时，是集合的最大值

C．当时，是集合的最小值

D．当时，是集合的最大值

8．一元二次等式的解集为R，则最小值为（    ）

A．1 B．0 C．2 D．3

二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选和不选不得分，共20分）

9．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．下列选项正确的有（    ）

A．已知全集，，，则实数p的值为3．

B．若，则

C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是

D．若，，且，则

11．关下列结论中正确的是（    ）

A．若，则p是q的充分条件

B．已知x，y是实数，则“xy为无理数”是“x，y均为无理数”的充分条件

C．“，”的否定是“，”

D．“，”的否定是“，”

12．（多选）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ）

A．由题图（1）和题图（2）面积相等得

B．由可得

C．由可得

D．由可得

三、填空题（每题5分，共20分）

13．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______．

14．若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值：______．

15．已知命题p：，y满足，且，不等式恒成立，命题q：，则p是q的______条件．

16．设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是______．

四、解答题

17．（本题满分10分）已知全集，集合，，求

（1）；（2）．

18．（本题满分12分）2018年9月，习近平总书记在东北三省考察并明确提出“新时代东北振兴，是全面振兴、全方位振兴”。吉林省有着丰富的资源，其中“世界人参看中国，中国人参看吉林”。吉林是中国人参的核心产区，有着1500多年的野山参采挖史和450多年的人参人工栽培史。而抚松县万良镇是全球最大的人参交易集散地，这里也被称为“中国人参之乡”。在落实党中央决策部署，持续解放思想、深化经济改革，以新气象新担当新作为推进东北全面振兴的过程中抚松县万良镇的居民走在了经济致富的前沿，现有一微型企业生产制作人参产品每月的成本t（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：（单位：元），x为每月生产产品的套数．

（1）该企业每月产量x套为何值时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为多少？

（2）若每月生产x套产品，每套售价为：（单位：元），假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于４万元？

19．（本题满分12分）设命题p：，q：．

（1）若，判断p是q的充分条件还是必要条件；

（2）若是的______，求m的取值集合．

从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

20．（本题满分12分）集合，，．

（1）若，，求实数a的值；

（2）若，求实数a的取值范围．

21．（本题满分12分）阅读材料：

（1）右侧图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明。

在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸

（2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质．

解答问题：

已知a，b，c是三角形的三边，求证：．

22．（本题满分12分）设函数．

（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围；

（2）命题p：，，使成立．若p为真命题，求实数a的取值范围．

2023-2024学年度上学期第一次月考

高一数学参考答案

1．A

【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意．

故选：A

2．C

【详解】对于A选项，若或，或显然无意义．故A选项错误；

对于B选项，若，则．故B选项错误；

对于C选项，因为，所以各项同时乘以a得．故C正确；

对于D选项，因为，所以，所以，

所以，即因为根据题意不知道a，b的符号，

所以无法满足同向可乘性的条件．故D错误．

故选：C．

3．C

【详解】对于①，时满足但不满足，∴“”不是“”的充分条件，

时满足，但不满足，∴不是“”的充分条件，

即“”不是“”的必要条件，

∴“”是“”的既不充分也不必要条件，∴①对；

对于②，正三角形可以推出该三角形为等腰三角形，

但等腰三角形不一定能推出该三角形为正三角形，

∴“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，∴②错，

对于③，若有实根，则，反之也成立，故③正确．

对于④，∵，∴，但时，∵，∴x不一定属于A，

∴时，是的充分条件，无法判断必要性∴④错误．

故选：C．

4．B

【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；

当时，，当时，等号成立；

所以或，故错误；

对于B，因为，所以，

所以，当，即时，等号成立，故正确；

对于C，因为，所以，令，，则有，，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以，

所以，故错误；对于D，因为，所以，

令，，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以，即，故错误．

故选：B．

5．A

【详解】设，M中有x个元素，则，，

所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，由于，，所以，故当时，有最小值14．

故选：A

6．C

【详解】由题意，不等式的解集为，

可得，且方程的两根为－1和，

所以，所以，，

所以，所以A正确；因为，，所以，可得，

当且仅当时取等号，所以ab的最大值为，所以B正确；

由，

当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误；

由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确．

故选：C．

7．D

【详解】当时，是集合B中最小的正数，但B中还有负数的存在，

所以既不是集合中最大，也不是最小；当时，集合B中的任意元素：，从而，所以，是集合最大值．

故选：D

8．A

解：解集为R，，，∴，

∴

当，时有最小值1

注明：补充条件此处无法得到最小且不在选项中，故执行原选项

9．BD

【详解】因为，，所以，故，

又，，所以，故A，C错，B，D正确，

故选：BD

10．AD

【详解】对于A，全集，由，得，

则1，2是方程的两实根，解得，A正确；

对于B，由，得，，，

因此，解得，，则，B错误；

对于C，依题意，当时，由，得，此时集合A中只有一个元素；

当时，集合A中最多只有一个元素，即一元二次方程最多一个实根，

于是，解得，所以实数a的范围是或，C错误；

对于D，因为，所以当时，，解得；

当时，，解得，综上，，D正确．

故选：AD

11．AC

【详解】对于A，若，则p是q的充分条件，故A正确，

对于B，举反例，，，故“xy为无理数”不是“x，y均为无理数”的充分条件，故B错误，

对于C，“，”的否定是“，”，故C正确，

对于D，“，”的否定是“，”，故D错误，

故选：AC

12．BCD

【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误．

对于B，因为，所以，所以，

设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以．

因为，所以，整理可得，故B正确．

对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，

因为，所以，整理得，故C正确．

对于D，因为，所以，整理得，故D正确．

故选：BCD

13．20

【详解】首先设是会打乒乓球的教师}，是会打羽毛球球的教师}，

是会打蓝球的教师}，

根据题意得，，，，，

再使用三元容斥原理得：

，

有，

而中把的区域计算了3次，

于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数．

因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为．

故答案为：20．

14．0（答案不唯一）

【详解】当时，集合的整数元素为1，2，3，4，5，6，7，8．

故答案为：0（答案不唯一）

15．充分不必要

【详解】不等式恒成立，即，

因为，且，得，，所以，

当且仅当即，等号成立，所以，解得，

可得命题p：，命题q：，因为，所以命题p是q的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要条件．

16．

【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为，故排在第23位的子集在含有３个元素的子集中，第26位的子集为，第25位的子集为，

第24位的子集为，第23位的子集为

故答案为：

17．（1）或；（2）或．

【详解】（1）或，或，

（2）  或．

18．（1）解：设平均每套所需的成本费用为y元，则有

．

当且仅当，即时，等号成立，此时．

所以该企业每月生产2000套产品时，可使得平均套所需的成本最少，每套最少成本为300元；

（2）解：设月利润为P（元），则有：

，

整理得：，解得（舍）或，

所以该企业每月至少生产800套产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元．

19．【详解】（1）记集合，．

当时，，

由于，∴p是q的充分条件．

（2）选①，若是的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，则．

∵，

①当时，，不成立；

②当时，，

由，得．

（2）选②，若是的必要不充分条件，等价于p是q的充分不必要条件，则．

①当时，，不可能；

②当时，，由，得．

综上，m的取值集合为．

20．（1）或；（2）．

【详解】（1）∵，，

因为，所以2和－3至少有一个在A中，

又因为，所以且，

将代入，整理得，得或．

当时，满足题意；

当时，也满足题意．

综上，或；

（2）∵且，分以下四种情况讨论：

（3）①当时，，解得或；

②当时，则，无解；

③当时，则，无解；

④当时，则，无解．

综上所述，实数a的取值范围是

21．证明见解析．

【详解】（1）我们假定，

要证成立，即证成立，整理得，即证，

，显然成立，不等式成立

因为a，b，c是三角形的三边，则，

由材料（1）知，，

同理，，由材料（2）得：

，，所以原不等式成立．

22．（1）；（2）．

【详解】解：（1）原式可化为对实数恒成立，

即对实数恒成立，

因为恒成立，

则只需满足对实数恒成立，

因为，故即可，所以

则，解得；

（2）由题意知：

在的最小值大于等于在上的最小值即可，

，当且仅当，即时，取等号，

所以在上的最小值为3，

若即，则，则，易得，

若即，则，则矛盾，

，即，则，易得．

综上可得：．