广东省珠海市实验中学2024届高三上学期8月适应性考试数学试题

广东省珠海市实验中学2024届高三上学期8月适应性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数z＝（其中i为虚数单位），则z的共轭复数为 （     ）

A．－＋i B．－－i C．＋i D．－i

3．已知，其中，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知为正实数且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

5．已知，设，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

6．2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（    ）

A．72 B．324 C．648 D．1296

7．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（    ）.

A． B． C． D．

8．定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（    ）

A． B．

C． D．

10．若函数的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的图像关于直线对称

B．函数的图像关于点对称

C．将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像

D．函数在区间上的最大值与最小值的差等于

11．如图，三棱锥中，平面，，，，到平面的距离为，则（    ）

A．

B．三棱锥的外接球的表面积为

C．直线与直线所成角的余弦值为

D．与平面所成角的正弦值为

12．已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（    ）

A． B． C．1 D．

三、填空题

13．在正项等比数列中，，则          .

14．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是           .

15．在五一假期当天，假设某商业中心有一个新冠病毒感染者未被发现且未佩戴口罩，当天有10万人进入过该商业中心．若其中有20%的人与感染者有近距离接触，并且其中有15%的人未佩戴口罩．则五一当天进入该商业中心被感染的人数约为      ．（近距离接触时，若你和感染者都未佩戴口罩，则感染率为90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，则感染率为30%）

四、双空题

16．若函数，，则的最小值为      ；若，且，则的最小值为      ．

五、解答题

17．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是顶角.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

19．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.

(1)求；

(2)设，求的前n项和.

20．某企业发明了一种新产品，其质量指标值为，其质量指标等级如下表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；

(2)若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求的件数X的分布列及数学期望；

(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：万元）的关系如下表（）：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大.

21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

22．已知函数， .

(1)当b=1时，讨论函数的单调性；

(2)若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】解一元二次不等式求集合A，由函数定义域求集合B，最后应用集合交运算求结果.

【详解】由，

，

所以 .

故选：C

2．D

【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的共轭复数的定义求解.

【详解】解：因为，

所以，

故选：D

3．A

【分析】利用二倍角的余弦公式及同角之间的关系可求解．

【详解】由，得

即，解得： 或（舍去）

又，所以

故选：A

4．D

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：D

5．C

【分析】根据组合数的性质得到，再利用赋值法求值即可.

【详解】因为，所以由组合数的性质得，

所以，

令，得，

即.

故选：C

6．D

【分析】先排核潜艇，再分配3艘驱逐舰和3艘护卫舰，用舰艇任意的分配数减去同侧都是同种舰艇的分配数，再根据分步乘法原理即可求得答案.

【详解】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有种，

3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有种，

同侧的是同种舰艇的分配方案有种，

故符合题意要求的舰艇分配方案的方法数为 ,

故选：D

7．B

【分析】由点到直线的距离公式可得b，已知结合双曲线的几何性质列方程组直接求解.

【详解】点的到渐近线，即的距离，又由题知，解得，所以.

故选：B

8．D

【分析】求出每个选项中函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项.

【详解】对于A选项，，则，由，

即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；

对于B选项，，则，由，

可得，其中，令，则，，

所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；

对于C选项，，则，其中，

因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；

对于D选项，，则，

由，可得，

因为，，

所以，，

所以，方程无实解，D选项不满足条件.

故选：D.

9．ABD

【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.

【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，

对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为

，

故选项A符合题意；

对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为

，故选项B符合题意；

对C：由对称性可得，选项C不符合题意；

对D：由对称性可得，

所以图中阴影部分可表示为，

故选项D符合题意.

故选：ABD.

10．AC

【分析】根据函数图像，求出函数表达式，

对于A选项，代入，函数值不是最值，故A错误；

对于B选项，代入，验证函数值等于，故B正确；

对于C选项，求出平移后的函数表达式，可发现C错误；

对于D选项，求出函数在区间的最值，可知D正确.

【详解】由图像可知A=2，且最小正周期，因此，

所以，

将代入可得，又，所以，

因此，

由于，故A错误；

因为，故B正确；

将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故C错误；

当时，，所以，即最大值与最小值的差等于，故D正确.

故选：AC.

11．ABD

【分析】根据题意得，设，进而根据等体积法得；再根据题意求得三棱锥的外接球的半径为，进而得B选项正确；再根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解讨论CD选项.

【详解】因为，，，

所以，即，

又因为平面，

所以，设，

根据等体积法，即，

解得，所以，故A选项正确；

所以三棱锥的外接球的半径与以为邻边的长方体的外接球的半径相等，

所以三棱锥的外接球的半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为，故B选项正确；

过点作的平行线，则平面，

所以以点为坐标原点，所在边分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

所以，

所以直线与直线所成角的余弦值为，故C选项错误；

因为，，

设平面的法向量为，

则，即，令，所以，由于

故设与平面所成角为，

则.

所以与平面所成角的正弦值为，故D选项正确；

故选：ABD

【点睛】本题考查空间几何的外接球的表面积，等体积法求值，异面直线所成角，线面所成角，考查运算求解能力，空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据等体积法得，进而建立空间直角坐标系求解即可.

12．AD

【分析】由条件可得在上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a的范围，由此确定正确选项.

【详解】设，则，

所以在上单调递增，所以，

所以，∴，

∴．

又在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以对恒成立，即恒成立．

令，当时，，

当时，，故，

∴，解得或，

所以a的值可以为，，

故选：AD.

13．

【分析】设等比数列首项为，公比为，由可得，结合为正项等比数列，经整理可得答案.

【详解】设等比数列首项为，公比为，

则

，

因为正项等比数列，则.

即.

故答案为：10

14．

【解析】设点的坐标是，求出，再利用配方法可得答案.

【详解】设点的坐标是，即，

因为向量，，

所以，

，

，

当时，有最小值，此时点的坐标是，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.

15．

【分析】分别计算戴口罩和未戴口罩被感染的人数求和即可

【详解】由题意，当天有人与感染者有近距离接触，其中未戴口罩的有人，戴口罩的有人.故估计五一当天进入该商业中心被感染的人数约为

故答案为：

16．         

【分析】求函数的导数，根据导数判断其单调性，可求得答案；

由可得 ，变形为，结合函数的单调性可得到，从而表示出，构造函数，利用导数求得最小值.

【详解】由题意可得，则，

当 时，，函数递减，

当 时，，函数递增，

故 时函数的极小值点，也是最小值点，

故的最小值为；

由，且可得 ，则 ，

即有，

由于，

当 时，， 单调递增，

故由，可得 ，

故，令 ，

则，

当 时，，递减，

当 时，，递增，

故，即得最小值为，

故答案为：；

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题，综合性较强，解答时候要注意对等式的合理变形，如将变形为，从而 可以为后面构造函数，利用导数解决问题创造条件.

17．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；

（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．

【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．

（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，

故．

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据是等腰直角三角形得，再由平面平面，

，可得，进而平面，可证平面平面.

（2）建立空间直角坐标系后，利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】（1）因为平面平面，，

又平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

因为是等腰直角三角形，是顶角，

所以,又，平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

（2）  

取的中点，连接，，

因为是等腰直角三角形，是顶角，

所以，

又平面平面，平面，

所以平面，

在四边形中，，，又，

所以，

故如图以为中心，分别以，，为方向建立空间直角坐标系，

则，，，

则，，，

分别设平面和平面的法向量为，，

则，，

即，

令得，，故

令得，，故

设二面角的一个平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.

19．(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式、求和公式以及等比中项列式，求出等差数列的首项和公差，可求出；根据等比数列的定义可求出；

（2）求出后，根据等比数列的求和公式以及裂项求和法可求出.

【详解】（1）设等差数列的公差为，，

则，得，得，

因为，所以，解得，

所以，

所以，，所以等比数列的公比，

所以.

（2） ，

所以

.

20．(1)

(2)分布列见解析，；

(3)能盈利，当时每件产品的平均利润达到最大，最大值为；

【分析】（1）设事件的合格率为，则根据概率分布直方图求出一件产品为合格或合格以上等级的概率，由此能求出事件发生的概率；

（2）由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的7件产品中，，的有4件，，的有2件，，的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值，的件数的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；

（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元的关系，从而求出每件产品的利润，，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）解：设抽出的产品中至少有1件不是废品为事件的，其概率为，则由频率分布直方图可得，抽出1件产品为废品的概率为，

则，

（2）解：由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，

，的频率为，

，的频率为，

，的频率为，

利用分层抽样抽取的7件产中，，的有4件，，的有2件，，的有1件，

从这7件产品中，任取3件，质量指标值，的件数的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

的分布列为：

．

（3）解：由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元的关系与表所示，

每件产品的利润：

，，令，即，解得，因为，所以，即该产品能盈利；

又，所以当时；

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.

【详解】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，

因为是等腰直角三角形，所以，即，

所以椭圆的标准方程为：．

（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．

由，得，

由题意知，设，，

所以，，

因为，所以

，

所以，整理得，

故直线的方程为，即，

所以直线过定点．

若直线的斜率不存在，设其方程为，，．

由题意得，解得，

此时直线的方程为，显然过点．

综上，直线过定点．

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用，的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.

22．(1)答案见解析

(2)（－∞，1]

【分析】（1）先求定义域与导数，再分讨论与两种情况讨论即可求解；

（2）由题意先求出的值，f(x)≤g(x)即，

等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.

令，所以，再用导数法求出的最小值即可

【详解】（1）当b=1时，，定义域为（0，+∞），.

当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.

当时，，

令，得；令，得，

所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递减，

当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

（2）因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，

所以，且，由于，

所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，

所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.

令，所以，

.令，，

则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.

由于G(1)=e>0，，所以使得，

即，（※）

所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，

即F(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以，

由（※）式可知，，，

令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，

所以

所以，实数m的取值范围为（－∞，1].

【点睛】本题考查了函数的单调性、切线问题和最值问题，考查导数的应用以及转化思想与分类讨论思想.