2023-2024学年浙江省台州市椒江区北大附中飞龙湖学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年浙江省台州市椒江区北大附中飞龙湖学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列函数关系中，是的二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是(    )

A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值

3.下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是(    )

A. 点在函数图象上 B. 开口方向向上
C. 对称轴是直线 D. 与直线有两个交点

4.关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象的对称轴在轴的右侧
B. 图象与轴的交点坐标为
C. 图象与轴的交点坐标为和
D. 的最小值为

5.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知二次函数，当时，则的取值范围为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为和，若建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为(    )

 

A.  B.
C.  D.

9.若函数为常数的图象与轴只有一个交点，那么满足(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10.已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.抛物线与轴的交点坐标是______ ．

12.抛物线的对称轴是直线，则的值为______ ．

13.年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离单位：米关于滑行时间单位：秒的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为______ 秒

14.抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是______．

15.如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：；；；当时，；，其中正确的有______ 填写正确的序号

16.我们用符号表示不大于的最大整数．
例如：，那么：
当时，的取值范围是______；
当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知抛物线的解析式为
求抛物线的顶点坐标；
求出抛物线与轴的交点坐标；
当取何值时？

18.本小题分
已知二次函数的图象经过一次函数的图象与轴、轴的交点，并且经过点，求这个二次函数的关系式．

19.本小题分

已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．
求、两点的坐标；
根据图象直接写出当时的取值范围．

20.本小题分
已知二次函数．
求证：不论为何实数，此函数的图象与轴总有两个交点；
若这个函数图象的对称轴为直线，求这个二次函数的最小值．

21.本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点．
 

求的值和图象的顶点坐标；

点在该二次函数图象上．

当时，求的值；

若点到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围．

22.本小题分
已知二次函数．
当，时，
求该函数图象的顶点坐标；
当时，求的取值范围；
当时，的最大值为；当时，的最大值为，求二次函数的表达式．

23.本小题分
某商户购进一批童装，天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量件与销售时间天之间的关系式是，销售单价元件与销售时间天之间的函数关系如图所示．
第天的日销售量为______件；
时，求日销售额的最大值；
在销售过程中，若日销售量不低于件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

24.本小题分
已知抛物线经过点和两点，且抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
若点是抛物线的顶点，求抛物线解析式及、、坐标；
在的条件下，若点是、之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若，且，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当时，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
利用二次函数定义进行分析即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为，即可求解．
【解答】
解：二次函数中，
该函数图象开口向上，有最小值，当时函数取得最小值，
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：、把代入，
得，
A错误；
B、化简二次函数：，
，
二次函数的图象开口方向向下，
B错误；
C、二次函数对称轴是直线
，
C错误；
D、，
，
，
，
二次函数的图象与直线有两个交点，
D正确；
故选：．
A、把代入，求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：，根据的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项A错误；
当时，，即该函数与轴交于点，故选项B错误；
当时，或，即图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
当时，该函数取得最小值，故选项D正确．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：当时，；当时，；当时，，
所以．
故选：．
分别计算自变量为、、所对应的函数值，从而可判断，，的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，，
，图象开口向上，且，
或，
故选：．
根据题意求出当时对应的的值，再根据开口方向和即可求出的取值范围．
本题主要考查的是二次函数的性质，解题关键是求出时对应的值．

7.【答案】 

【解析】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
故选：．
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象可得，抛物线与轴的交点坐标为和，
对称轴为，
桥墩的高度为，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把代入上式得，
，
，
该抛物线的表达式为，
即，
故选：．
根据抛物线与轴的两个交点坐标可得抛物线的对称轴为直线，再根据顶点坐标设解析式为，把代入求出，即可得到解析式．
本题考查了二次函数的实际应用，根据函数图象反映的信息求出解析式是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：函数为二次函数，，
，
，
函数为一次函数，
，
的值为或；
故选：．
由题意分两种情况：函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得，从而解出值；函数为一次函数，此时，从而求解．
此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【解答】
解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
当时，若，则，故选项A错误；
当时，若，则，故选项B错误；
若，则，故选项C正确；
若，则，故选项D错误，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：在抛物线中，令，
即，
则抛物线与轴的交点坐标是，
故答案为：．
令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令，求出的值，此题难度不大．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据对称轴方程，列出关于的方程即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，
飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
该飞机着陆后滑行最长时间为秒．
故答案为：．
把二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，得，
，
当时，的取值范围是，
当时，，即，
关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，
的取值范围是，
故答案为：．
根据抛物线的对称轴为直线，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当时，的取值范围，然后令，即可转化为方程，从而可以得到的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，，对称轴在轴的右侧，、异号，因此，与轴的交点在正半轴，，
所以，故错误；
对称轴在之间，于是有，又，所以，故正确；
当时，，故错误；
当时，，所以，故正确；
当时，，当时，，所以，即，故正确；
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：．
根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴、轴的交点坐标以及过特殊点时系数、、满足的关系等知识进行综合判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数、、满足的关系是正确判断的前提．

16.【答案】  或 

【解析】解：当时，的取值范围是．
故答案为：．

由题意：当时，函数的图象始终在函数的图象下方，
当时，则有时，函数分别为：，，
由题意得：，
，
当时，则有，，而，，此时的图象在的图象上方或图象上．
当时，则有，，，
当时，有最大值，最大值要小于或等于，
由题意得：，
解得，
综上所述，当或时，函数的图象始终在函数的图象下方，
故答案为：或．
根据表示不大于的最大整数，解决问题即可．
由题意，构建不等式即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．

17.【答案】解：

，
抛物线顶点坐标为；
当时，即，
或，
抛物线与轴的交点坐标为；
抛物线的开口方向向下，且抛物线与轴的交点坐标为，
当时，． 

【解析】求抛物线的顶点坐标既可以利用公式，也可以利用配方法求解；
求抛物线与轴的交点坐标就是求函数值等于时对应的的值即可解决问题；
就是抛物线在轴上方的部分，所以利用抛物线的开口方向和与轴的交点坐标即可求解．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，同时也利用数形结合的思想．

18.【答案】解：由的图象与轴、轴的交点，并且经过点，
令，得；
令，得
二次函数图象经过，，三点，
把，，分别代入，
得，
解得
所求二次函数关系式为． 

【解析】由题意先设出二次函数的解析式：，一次函数的图象与轴、轴的交点在二次函数图象上，分别令一次函数，求出其与轴、轴的交点，再根据点也在二次函数图象上，把三点代入二次函数的解析式，用待定系数法求出二次函数的解析式．
此题主要考查一次函数和二次函数的基本性质，一次函数与轴、轴的交点坐标，用待定系数法求出二次函数的解析式．

19.【答案】解：二次函数的图象与轴交于、两点，
当时，即，
解得：，，
，；
二次函数的图象与轴交于点，
当时，，
，
直线经过、两点，
根据图象可得当时的取值范围或． 

【解析】令，解一元二次方程即可求解；
令，求得的坐标，进而结合函数图象，即可求解．
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据交点坐标求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

20.【答案】解：方程中，
，
抛物线与轴有两个交点．
抛物线对称轴为直线，
，
，
把代入．
二次函数最小值为． 

【解析】根据判别式，抛物线与轴有两个交点求解．
由图象对称轴直线方程求出的值，再将代入函数求解．
本题考查二次函数的图象的性质及最值，解题关键是掌握抛物线与轴交点与判别式的关系，及求二次函数最值的方法．

21.【答案】解：由题意，把代入中，
得，解得．
所以．
所以图像的顶点坐标为．

因为点在二次函数的图像上，
所以把代入中，解得，
所以当时，的值为．

的取值范围是．

【解析】此题主要考查二次函数的图像与性质
把代入二次函数求得，利用配方法把解析式写成顶点式，写出顶点坐标
把代入解析式求得，
由题意，得，解得或．
当时，当时，．
又函数图像的顶点坐标为．
所以的取值范围是．

22.【答案】解：，时，
，
顶点坐标为．
中含有顶点，
当时，有最大值，
，
当时，有最小值为：，
当时，．
时，的最大值为；时，的最大值为，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，的最大值为，
，
又，
，
，
．
二次函数的表达式为． 

【解析】先把解析式进行配方，再求顶点；
根据函数的增减性求解；
根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．

23.【答案】解：；
由销售单价元件与销售时间天之间的函数图象得：
当时，，
当时，设，把，代入：
，解得：
，
，
当时，
日销售额为：，
，
日销售额随的增大而增大，
当时，日销售额最大，最大值为元；
当时，
日销售额为：，
，
当时，日销售额随的增大而增大，
当时，日销售额最大，最大值为元，
综上，当时，日销售额的最大值元；
由题意得：
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
当时，日销售量不低于件，
为整数，
的整数值有个，
“火热销售期”共有天． 

【解析】解：日销售量件与销售时间天之间的关系式是，
第天的销售量为件，
故答案为：；
见答案．
利用日销售量件与销售时间天之间的关系式，将代入对应的函数关系式中即可；
利用分类讨论的方法，分当时，当时两种情形解答：利用日销售额日销售量销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可；
利用分类讨论的方法，分当时，当时两种情形解答：利用已知条件列出不等式，求出满足条件的的范围，再取整数解即可．
本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函数的极值，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．

24.【答案】解：点是抛物线的顶点，
设抛物线解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，解得或，
，，
当时，，
；
设，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
，
，
，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点为，
，
四边形面积的最大值为；
将和代入，
，
解得，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
或． 

【解析】设抛物线的顶点式为，将点代入即可求的值，从而确定函数的解析式；
设，先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，则，从而得到，当时，的面积有最大值，此时，求出直线与轴的交点为，再求，即可求四边形面积的最大值为；
将和代入，可得函数解析式为，当时，，当时，，从而得到或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．