2023-2024学年河南省南阳市镇平县九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市镇平县九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D. 且

2.下列根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.下列表示的是四位同学的运算过程，其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根

6.一元二次方程配方后可化为(    )

A.  B.  C.  D.

7.一元二次方程的两根分别为和，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

9.等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是
(    )

A.  B.  C. 或 D.

10.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.与最简二次根式是同类二次根式，则          ．

12.一元二次方程的一般形式是______ ．

13.下列是小明同学用配方法解方程：的过程：

最开始出现错误的是第______步．

14.若是一元二次方程的一个根，则取值为______ ．

15.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料，若设为，要使矩形花园的面积为可列方程______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：
；
；
；
．

17.本小题分
计算：
；
．

18.本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.本小题分
已知代数式
用配方法说明无论取何值，代数式的值总是负数．
当为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？

20.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程恒有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是，求另一个根及的值．

21.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．

22.本小题分
如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的长方形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，小道以外的区域用于种植有关植物，要使种植总面积为平方米，则小道的宽为多少米？

23.本小题分
年月日，第七个“中国航天日”，主题是“航天点亮梦想”某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十三号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型每降低元，平均每天可多售出个．
若每个模型降价元时，平均每天可售出多少个模型？此时每天销售获利多少元？
在每个盈利不少于元的前提下，要使该模型每天销售获利为元，同每个模型应降价多少元？
该模型每天的销售获利能达到元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：．，不是最简二次根式；
B.，不是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，是最简二次根式．
故选：．
直接根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．

3.【答案】 

【解析】解：．，故本选项不符合题意；
B.

，故本选项不符合题意；
C.


，故本选项符合题意；
D.


，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式混合运算的法则计算各式，然后判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选A．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根分别为和，
．
故选：．
，是一元二次方程的两根时，，由此即可求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义掌握一元二次方程二次项系数不为是解题的关键根据题意得，，解之即可得到实数的取值范围．
【解答】
解：原方程为一元二次方程，且有实数根，

实数的取值范围为且．
故选A．

9.【答案】 

【解析】【分析】
由于等腰三角形的一边长为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：当为腰时，其他两条边中必有一个为，把代入原方程可求出的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；当为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由可求出的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
【解答】
解：分两种情况：
当其他两条边中有一个为时，将代入原方程，
得，
解得．
将代入原方程，
得，
解得或．
，，不能够组成三角形，不符合题意舍去；
当为底时，则其他两条边相等，即，
此时，
解得．
将代入原方程，
得，
解得．
，，能够组成三角形，符合题意．
故的值为．
故选B．

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设平均每次降价的百分率是，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．

11.【答案】 

【解析】【分析】
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一般形式是，
故答案为：．
一元二次方程的一般形式是．
考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

13.【答案】 

【解析】解：，第步，
，第步，
，第步，
，第步，
，．
所以原解答过程从第步开始出现错误，
故答案为：．
将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得，
当时不符合题意，应舍去，
则；
故答案为：．
把代入已知方程后，列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
整理得：，
故答案为：．
根据“花园的面积为”列方程求解．
本题考查了有实际抽象出一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．

16.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，． 

【解析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】直接利用二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案；
直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、实数的运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：原式

．
当时，原式． 

【解析】本题主要考查了分式的混合运算化简求值问题，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
把分式进行化简，再把的值代入即可求出结果．

19.【答案】解：


，
，
，
无论取何值，代数式的值总是负数；
，
当时，代数式有最大值，最大值是． 

【解析】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法的步骤，关键是对要求的式子进行配方，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案；
根据的结果即可直接得出代数式的最大值．

20.【答案】证明：
，
在实数范围内，无论取何值，，即，
关于的方程恒有两个不相等的实数根；
解：把代入方程得，
解得．
方程化为，
设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即另一个根为，的值为． 

【解析】先计算根的判别式的值，再证明即可；
先把代入一元二次方程可求得的值，则方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

21.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据题意得，，
而，
所以，解得，
而，
所以的范围为． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，再利用得到，然后解不等式和利用中的结论可确定满足条件的的取值范围．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．

22.【答案】解：设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，
由题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，
答：小道的宽为米． 

【解析】设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：件，
元．
答：均每天可售出件模型，此时每天销售获利元．
设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
．
答：每件模型应降价元．
该模型每天的销售获利不能达到元，理由如下：
设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
即该模型每天的销售获利不能达到元． 

【解析】利用日销售量每件模型降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种模型获得的利润每件盈利日销售量，即可求出每天销售该种模型获得的利润；
设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种模型获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
该模型每天的销售获利不能达到元，设每件模型应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种模型获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即该模型每天的销售获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．