2023-2024学年湖北省黄冈市红安县思源实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省黄冈市红安县思源实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列为一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

3.方程根的情况是(    )

A. 一定有两不等实数根 B. 一定有两实数根
C. 一定有两相等实数根 D. 一定无实数根

4.将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，那么得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

6.二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.已知二次函数的与的部分对应值如下表：

则下列判断中正确的是(    )

A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 当时，
D. 方程的正根在与之间

8.某市年底已有绿化面积公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到年底增加到公顷．设绿化面积平均每年的增长率为，由题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.已知关于的方程的一个根是，则______．

10.方程是关于的一元二次方程，则_____．

11.已知一元二次方程的两根之和是，两根之积为，则这个方程为______ ．

12.已知三角形两边长分别为和，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是______ ．

13.已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是______．

14.若二次函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则______．

15.当 ______ ，二次函数的值总是负值．

16.如图为二次函数的图象，在下列说法中：
；
方程的根是，；
；
当时，随的增大而增大；
；
正确的说法有______填序号

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解下列一元二次方程：
．
．
．
．

18.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程恒有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

19.本小题分
若抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与轴一个交点坐标为．
求该抛物线的解析式；
求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标．

20.本小题分

二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点．
求此二次函数的解析式；
将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标．

21.本小题分
恒利商厦九月份的销售额为万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．

22.本小题分
某童装店每天卖童装件，每件盈利元，为减少库存量，准备在十一期间做活动．若每件童装降价元，则可多售出件，此服装店打算在活动期间盈利元，则每件童装应降价多少元？

23.本小题分
抛物线与直线交于点．
求，的值；
求抛物线与直线的两个交点，的坐标点在点右侧；
求的面积．

24.本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点和点  ，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，若点为第二象限抛物线上一动点，连接、，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、含有一个未知数，未知数的次数是，是一元二次方程，故本选项正确；
B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
C、当时，是一元一次方程，故本选项错误；
D、含有个未知数，未知数的次数是，是二元二次方程，故本选项错误．
故选A．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
故选：．
根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了用合适方法解一元二次方程．

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
故选A．
先计算判别式得到，再根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

4.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴有交点，
方程有实数根，
即，，由于是二次函数，故，
则的取值范围是且．
故选：．
分析：利用有实数根，根据判别式可求出取值范围．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式的有关知识，根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程为实数在的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答．
【解答】
解：对称轴为直线，
解得，
所以二次函数解析式为，
，
时，，
时，，
的解相当于与直线的交点的横坐标，即抛物线与直线在的范围内有交点，
当时，在的范围内有解．
故选C．

7.【答案】 

【解析】解：、时，；时，；
抛物线开口向下，故本选项错误；
B、时，，
抛物线与轴交于正半轴，故本选项错误；
C、根据对称性，当时与时的函数值相同，
，故本选项错误．
D、由表可知，抛物线与轴的一个交点在与之间，
根据对称性另一个交点为与之间，
故选：．
根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：设绿化面积平均每年的增长率为，
．
故选：．
知道年的绿化面积经过两年变化到，绿化面积成为，设绿化面积平均每年的增长率为，由题意可列出方程．
本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
根据关于的方程的一个根是，从而把根代入方程可以求得的值，本题得以解决．
【解答】
解：关于的方程的一个根是，
，
解得：，
故答案为．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：方程是关于的一元二次方程，

解得：，
故答案为．

11.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根之和是，两根之积为，则这个方程可为．
故答案为．
利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

12.【答案】 

【解析】解：，
解方程得：或，
当三角形的三边为，，时，不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在；
当三角形的三边为，，时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长为，
故答案为：．
先解方程求出方程的解，根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，最后求出即可．
本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法．

13.【答案】且 

【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，决定抛物线与轴的交点个数；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
根据抛物线与轴的交点问题得到且，然后解不等式即可．
【解答】
解：二次函数的图象与轴有两个交点，
且，
解得且．
故答案为且．

14.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象向左平移个单位长度得到，
即，
故答案为．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：取一切实数时，函数值恒为负，
抛物线开口向下，且与轴无交点，
，，
，
故答案为：．
根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与轴无交点即可．
此题考查抛物线与轴有无交点的问题，解题关键是熟知：当取一切实数时，函数值恒为正的条件：抛物线开口向上，且与轴无交点；当取一切实数时，函数值恒为负的条件：抛物线开口向下，且与轴无交点．

16.【答案】 

【解析】解：开口向上，
，
与轴交点在负半轴，
故，
即，
故正确；
抛物线与轴的交点横坐标分别是，，
方程的根是，，
故正确；
当时，，
，
故错误；
抛物线与轴的交点横坐标分别是，，
对称轴是，
时，随着的增大而增大，
故正确；
对称轴为直线，
，
，
故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
故正确；
故正确的有．
故答案为：．
根据图象开口向上得到；由与轴交点在负半轴得到，即；
由抛物线与轴的交点横坐标分别是，，可以得到方程的根是，；
当时，，可以得到；
由于对称轴是，所以得到时，随着的增大而增大；
根据对称轴方程即可得到；
抛物线与轴有两个交点，可以得到．
此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如，时对应的值．

17.【答案】解：，
，
开方，得，
解得：，；
，
，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，；
，
，
，
解得：；
，
，
，
或，
解得：，． 

【解析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
方程两边都乘，再根据完全平方公式进行变形，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

18.【答案】证明：，
在实数范围内，无论取何值，，即，
关于的方程恒有两个不相等的实数根；

解：根据题意，得
，
解得，，
则方程的另一根为：；
当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为；
当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为． 

【解析】根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论；
根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为：；当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答时，采用了“分类讨论”的数学思想．

19.【答案】解：设抛物线解析式．
把代入，得
，
解得．
故该抛物线解析式为：；

由知，该抛物线的解析式为，即；
将代入，得：；
解得，；
这条抛物线上纵坐标为的点的坐标为 

【解析】设抛物线解析式为顶点式，把点代入，即利用待定系数法求出抛物线的解析式；
根据抛物线解析式可求出抛物线上纵坐标为的点的坐标．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，难度不大，属于中档题．

20.【答案】解：根据题意得，，
分别代入、得，
，
，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
方程组的解是，
此二次函数的解析式为；

，
二次函数的解析式为，
顶点坐标为，
对称轴为，
设另一点坐标为，
则，
解得，
点的坐标是． 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要．
把点、、的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程的解法求出、、的值，即可得到二次函数的解析式；
利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据对称轴解析式与点的坐标求出与轴的另一交点坐标．

21.【答案】解：设这两个月的平均增长率是，
十一月份的销售额达到，
十二月份的销售额达到，
，
即，
所以，
所以，
即，舍去．
答：这两个月的平均增长率是． 

【解析】本题设这两个月的平均增长率是，十月份的销售额为万元，十一月份的销售额为万元，十二月份在十一月份的基础上增加，变为即万元，进而可列出方程，求出答案．
此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．

22.【答案】解：设每件童装应降价元，
根据题意得，
，，
根据题意，不合题意，应取．
答：每件童装应降价元； 

【解析】设每件童装应降价元，那么现在可售出，利润每件为，然后利用盈利元就可以列出方程解决问题；
此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

23.【答案】解：点在直线上，
，
点坐标，
把点代入得到，
．
由解得或，
点坐标，点坐标．
． 

【解析】将点代入求出，再把点代入抛物线求出即可．
解方程组即可求出交点坐标．
利用三角形面积公式即可计算．
本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象交点坐标，属于中考常考题型．

24.【答案】解：抛物线与轴交于点和点，
，
解得：．
所求抛物线解析式为：；

抛物线解析式为：，
其对称轴为，
设点坐标为，当时，，
，
当时，，解得，
点坐标为：；
当时，，解得，
点坐标为：或；
当时，由勾股定理得：，解得，
点坐标为：．
综上所述存在符合条件的点，其坐标为或或或；

过点作轴于点，设
，，



，
当时，最大，且最大值为．
此时，点坐标为 

【解析】已知抛物线过、两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
可根据的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了点的坐标，由于是抛物线与轴的交点，因此的坐标为，根据、的坐标可求出的距离．然后分三种情况进行讨论：
当时，位于的垂直平分线上．求点坐标关键是求的纵坐标，过作轴于，如果设，那么直角三角形中，的长，可根据的坐标得出，，因此可根据勾股定理求出的值，点的横坐标与的横坐标相同，纵坐标为，由此可得出的坐标．
当时，根据的长即可求出的纵坐标，也就得出了的坐标要注意分上下两点．
当时，因为的坐标为，那么直线必垂直平分，因此的纵坐标是，由此可得出的坐标；
由于四边形不是规则的四边形，因此可将四边形分割成规则的图形进行计算，过作轴于，直角梯形中，为的横坐标的绝对值，为的纵坐标，已知的纵坐标，就知道了的长．在中，，因此可用的横坐标表示出的长．如果根据抛物线设出的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形的面积与的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形的最大值及对应的的横坐标的值．即可求出此时的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．