2023-2024学年广东省佛山市禅城区明德中英文学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市禅城区明德中英文学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知，，，依次成比例线段，其中，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列四个命题中不正确的是(    )

A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

4.一元二次方程配方后可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，小明利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的长为米，测得米，米，则楼高是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点将线段分成、两部分，且，如果，那么称点为线段的黄金分割点．若是线段的黄金分割点，，则分割后较短线段长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.已知、是一元二次方程的两根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，中，，，点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的长是______ ．

12.一个不透明的盒子中装有黑球和白球共个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有______个．

13.已知，则 ______ ．

14.如图，，请补充一个条件：______ ，使∽．

15.已知关于的一元二次方程：的一个根是，则另一个根的值为______ ．

16.如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

已知如图，、分别是的边，上的点，，，，求证：∽．

19.本小题分

小明和小刚用如图的、两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明胜；当所转到的数字之积为偶数时，小刚胜如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．
用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由．

20.本小题分

四边形是菱形，对角线与相交于，，，求菱形的面积．

21.本小题分
关于的一元二次方程有两个不等实根、．
求实数的取值范围；
若方程两实根、满足，求的值．

22.本小题分

在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就同时停止运动，设运动时间为秒．
当时，，两点之间的距离是多少？
若的面积为，求关于的函数关系式．
当为多少秒时，以点，，为顶点的三角形与相似？

23.本小题分
今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，年该类电脑显卡的出厂价是元个，年，年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，年该电脑显卡的出厂价调整为元件．
这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以元个销售时，平均每天可销售个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低元，每天可多售出个，如果每天盈利元，单价应降低多少元？

24.本小题分
如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．
求证：；
在图中，若在上，且，则成立吗？为什么？
根据你所学的知识，运用、解答中积累的经验，完成下列各题：
如图，在直角梯形中，，，，是的中点，且，求的长；
如图，在中，，，，，则的面积为______ 直接写出结果，不需要写出计算过程．

 

25.本小题分
【问题探究】如图在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，则的长度为______ ；
【类比迁移】如图在矩形中，，，连接，过的中点作交于点，交于点，求的长度．
【拓展应用】如图李大爷家有一块平行四边形的菜地，测得米，米，，为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路小路面积忽略不计，求新开出的小路的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
：：，
，，，
：：，
；
故选：．
能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．根据题意得：：：代入数值即可求得．
此题注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．

2.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有种，
两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

3.【答案】 

【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，故C正确，不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理．

4.【答案】 

【解析】解：，
，即，
故选：．
先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上，这样方程左边就为完全平方式．
本题考查了利用配方法解一元二次方程：先把二次系数变为，即方程两边除以，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．

5.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长，
故选：．
由三角形的中位线定理可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知：大长方形的面积路的面积种花的面积，然后利用平移即可写出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

7.【答案】 

【解析】解：，，
．
∽．
．
，
米．
故选：．
先判断出∽，再根据相似三角形对应边成比例解答．
本题主要考查了相似三角形的应用，此题是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．

8.【答案】 

【解析】解：根据黄金分割点的概念得：，
；
故选：．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，
所以，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，整理得：，代入计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，
此时，即，
，
的最小值为，
故选：．
连接，由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：在中，，是斜边上的中线，，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案．
本题考查直角三角形性质，熟记直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：共试验次，其中有次摸到白球，
白球所占的比例为，
设盒子中共有白球个，则，
解得，
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．

13.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，
故答案为：．
依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值．
本题主要考查了比例的基本性质，掌握等比性质是解题的关键．

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：当时，
，
，
，
∽，
故答案为：答案不唯一．
利用相似三角形的判定方法两角对应相等两三角形相似两边对应比值相等，且夹角相等两三角形相似，得出答案即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解法一：是方程的一个根，
，
解得：，
将代入原方程得：，
解得：，，
方程的另一个根为．
故答案为：．
解法二：是方程的一个根，
可设该方程的另一个根为，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
由，得：，
将代入，得：
解得：，
则方程的另一个根为，
故答案为：．
解法一：先把代入原方程，求出的值，进而再将的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根；
解法二：设该方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得，据此可求出方程的另一个根．
此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义，根与系数的关系等，理解一元二次方程根的意义是解法一的关键；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解法二的关键．

16.【答案】 

【解析】解：连接，
，点为的中点，
，
又，
，
，
则，
，
，，
，
，
根据勾股定理得，．
故答案为：．
连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．
本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

17.【答案】解：  ，

或，
解得，． 

【解析】先把方程左边因式分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程的方法，掌握一元二次方程的常见解法是解题的关键．

18.【答案】证明：，，，，
，
又，
∽． 

【解析】首先根据已知得出：：，又因为，进而得出∽．
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

19.【答案】解：根据题意分析可得：共种情况；为奇数的种，为偶数的种．
故奇数偶数，

小明获胜的概率，

这个游戏对双方不公平，
理由：，，
，
这个游戏对双方不公平． 

【解析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
此题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】解：四边形为菱形，
，
则，
，，
． 

【解析】据菱形的性质可得，然后利用勾股定理求出的值，最后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直的性质．

21.【答案】解：方程有两个不等实根，
，
即，
解得：；

、，
由，得：，
整理，得：，
解得：或，
，
． 

【解析】由方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
由根与系数的关系可得、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再根据即可确定的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出关于的一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】解：由题意得，，则，
当时，，，
由勾股定理得；
答：，两点之间的距离是；
由题意得，，则，
因此的面积为；
答：关于的函数关系式为；
分两种情况：
当∽时，，即，解得；
当∽时，，即，解得．
因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 

【解析】在中，当，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
由点，点的运动速度和运动时间，又知，的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
应分两种情况：当∽时，根据，可将时间求出；当∽时，根据，可求出时间．
本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．

23.【答案】解：设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：平均下降率为；
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
为了减少库存，
，
答：单价应降低元． 

【解析】设平均下降率为，利用年该类电脑显卡的出厂价年该类电脑显卡的出厂价下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】证明：在正方形中，，
．
在和中，
，
≌．
．


解：成立．理由如下：
，，
．
≌已证，
．
．
．
在和中，
，
≌．
．
，
．

解：如图，过点作交的延长线于点，
由和题设知：，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：


解得．
；
将沿着边折叠，使与重合，沿着边折叠，使与重合，
可得，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
设正方形的边长为，
可得，，
在中，
根据勾股定理得：
，
即，
解得：或舍去，
，
则．

因为为正方形，所以，，又因为，则≌，即可求证；
因为，，则有，又因为≌，所以，，，则≌，故GE成立；
过点作交的延长线于点，利用勾股定理求得的长；
由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出的长，再求得的面积．
此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．难度稍大，考查学生综合运用数学知识的能力．

25.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，交于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，过点作于点，交于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，，
∽，
，
在中，，
；
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
又，
∽，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
．
如图，过点作于点，交于点，则，根据正方形的性质及矩形的判定与性质推出，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理求解即可；
如图，过点作于点，交于点，则，根据正方形的性质及矩形的判定与性质推出，根据相似三角形的判定与性质求解即可；
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质推出四边形是矩形，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质推出，，则∽，根据相似三角形的性质求解即可．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形及相似三角形是解题的关键．