2023-2024学年广西南宁外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年广西南宁外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一.选择题（本题共12小题，共36分）

1.的相反数是
(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.下列问题中应采用全面调查的是(    )

A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 企业招聘，对应聘人员进行面试

5.已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )

A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定

6.不等式组的解在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.将抛物线向上平移个单位得到的抛物线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到点的距离为，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.  C.  D.

9.往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在宽为米，长为米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要米，则修建的路宽应为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

11.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论正确的是______．
A.
B.
C.
D.

12.如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到延长交于点，连接下列结论：，四边形是正方形，若，则；其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二.填空题（本题共5小题，共15分）

13.二次根式有意义，则的取值范围是          ．

14.分解因式： ______ ．

15.如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是______．

 

16.二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，方程的解为______．

17.古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有只，树有棵，由題意可列方程组______．

18.如图，的半径为，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是______．

三.解答题（本题共8小题，共69分）

19.计算：．

20.解分式方程：．

21.在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形
画出关于原点对称的；
将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的．

22.为声援扬州“运河申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分分，学生得分为整数，成绩达到分以上包括分为合格，达到分以上包含分为优秀．这次竞赛中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示．

补充完成下面的成绩统计分析表：

小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中排名属中游略偏上”观察上表可知，小明是______组的学生；填“甲”或“乙”
甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．

23.如图，是的直径，和是它的两条切线，平分．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量盒与销售单价元之间的函数图象如图所示．
求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

25.如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
求此抛物线的解析式；
已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

26.【问题提出】如图，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则______，半径的长为______；
如图，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
求的度数；
连接，若正方形的边长为，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选A．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握运算性质和公式是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C.调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.企业招聘，对应聘人员进行面试，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．

5.【答案】 

【解析】解：，
点与的位置关系是点在圆外．
故选：．
根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．
此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集。
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可。
【解答】
解：，
解得，
不等式组的解集是：，
在数轴上表示为：

故选D。

7.【答案】 

【解析】解：向上平移个单位得．
故选A．
按照“左加右减，上加下减”的规律．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．

8.【答案】 

【解析】解：一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行，在开始时经过这一段，蚂蚁到点的距离随运动时间的增大而增大；到弧这一段，蚂蚁到点的距离不变，走另一条半径时，随的增大而减小．
故选：．
根据蚂蚁在上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化可得正确选项．
本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，距离不发生变化抓住问题的特点得到图象的特点是解决本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故选：．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设修建的路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或，
不合题意，舍去，
故选：．
要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去面积．

11.【答案】B、 

【解析】解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
；
故A错误；
对称轴为，得，即，
故B正确；
对称轴的位置不一定，
当时，可能大于也可能小于，
不能确定，
故C错误；
当时，，
，即．
故D正确．
故答案为：、．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断正确由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断正确过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“可得≌，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断正确．
【解答】
解：设交于，如图：

四边形是正方形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
，
，故正确；
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故正确；
如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
，故正确；
正确的有：，
故选：．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，；
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：公有因式为，
原式，
故答案为：．
由提公因式，可直接得出结论．
本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
．
作轴于，轴于，

．
，
，
．
在和中，

，
，．
，
，，
，，
．
故答案为：．
由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．

16.【答案】， 

【解析】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
所以方程的解为，，
故答案为：，．
先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，根据方程的解即为的图象与轴的交点即为所求．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键是求出抛物线与轴的交点．

17.【答案】 

【解析】解：依题意，得：，
故答案为：．
根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：连接、，作的外接圆，如图，

，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，要使的最大面积，则点到的距离最大，
，点在上，
，
如图，

当点优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，且面积为，
的最大面积为．
故答案为：．
连接、，如图，由可判断为等边三角形，则，根据圆周角定理得，由于，所以，因为，则要使的最大面积，点到的距离要最大；由，可根据圆周角定理判断点在上，且，如图，于是当点优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，从而得到的最大面积．
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．

19.【答案】解：原式

． 

【解析】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行．
原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．

20.【答案】解：去分母，得．
整理得，解方程得．
经检验是原分式方程的解．
故原分式方程的解是． 

【解析】观察可得方程最简公分母为，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解．
本题考查解分式方程的能力．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．

21.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求，
． 

【解析】分别作出点，，关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得；
将点，分别绕点顺时针旋转得到对应点，再与点首尾顺次连接即可得．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及弧长公式．

22.【答案】；；
甲；
乙组的平均分，中位数高于甲组，方差小于甲组，故乙组成绩好于甲组． 

【解析】解：甲组的成绩为：，，，，，，，，，，甲组中位数为，乙组成绩为，，，，，，，，，，平均分为分，
填表如下：

观察上表可知，小明是甲组的学生；

乙组的平均分，中位数高于甲组，方差小于甲组，故乙组成绩好于甲组．
故答案为：；；甲；乙组的平均分，中位数高于甲组，方差小于甲组，故乙组成绩好于甲组．
将甲组成绩按照从小到大的顺序排列，找出第、个成绩，求出平均数即为甲组的中位数；找出乙组成绩，求出乙组的平均分，填表即可；
观察表格，成绩为分处于中游略偏上，应为甲组的学生；
乙组的平均分高于甲组，中位数高于甲组，方差小于甲组，所以乙组成绩好于甲组．
此题考查了条形统计图，加权平均数，中位数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．

23.【答案】证明：过点作，垂足为，

是的切线，
，
平分，，
，
是的切线．

解：过点作，垂足为，

，，都是的切线，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
． 

【解析】过点作于点，通过角平分线的性质得出即可证得结论．
过点作于点，根据切线的性质可得出的长度，继而在中利用勾股定理可得出的长，继而可得出的长度．
此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质，难度一般．

24.【答案】解：设函数解析式为，由题意得：
，
解得：，
，
当时，，
，
与之间的函数关系式为；
设销售利润为元，
，
抛物线开口向下，
，
当时，有最大值，是，
当销售单价定为元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】可用待定系数法来确定与之间的函数关系式，根据图象可得的取值范围即可；
根据利润销售量单件的利润，然后将中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．

25.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，
，
，
解得，
抛物线的解析式；
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，，
直线的解析式为；
设点坐标为，则点，
，，
，，，
当时，即，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；
当时，即，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；
当时，即，
，
解得，
点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或． 

【解析】由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解；
求出直线的解析式，设点坐标为，则点，利用勾股定理表示出，，，然后分当时，当时，当时三种情况进行讨论，列出关于的方程，求出的值，即可写出点的坐标．
本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论．

26.【答案】   

【解析】解：过点作于点，如图，

，
．
，
．
，，
．
在中，
，
．
故答案为：；；
点是的内心，
平分，平分，
，．
，
，
，
．
．
在和中，
，
≌，
，
；
作的外接圆，连接，，，过点作，交的延长线于点，如图，

设的半径为，则的最小值为．
由“定弦定角”模型可知：，，
优弧的度数为，
优弧所对的大圆心角为，
．
，
为等腰直角三角形，
．
．
四边形为正方形，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
．
，
的最小值为：．
过点作于点，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；
利用三角形的内心的性质和直角三角形的性质，求得的度数，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得的度数，利用周角的定义即可求得结论；
作的外接圆，连接，，，过点作，交的延长线于点，设的半径为，则的最小值为；由“定弦定角”模型可知：，，可求得，利用等腰直角三角形的性质求出的半径，利用平行线的判定与性质得到为等腰直角三角形，再利用勾股定理求得的长，则结论可得．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，三角形的外接圆的性质，三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，连接题干中的定义与性质并熟练应用是解题的关键．