湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第一次大练习数学试题和答案

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）

数  学

时量：120分钟    满分：150分

得分：_________

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则（       ）

A． B． C．0 D．1

2．已知直线m，n和平面，，给出下列四个命题，其中正确的是（       ）

A．若m∥，，则m∥n

B．若，，则

C．若m∥n，，，则

D．若，，m∥，n∥，则∥

3．若为偶函数，则a=（       ）

A．0 B． C．1 D．2

4．如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（       ）

A． B． C． D．

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，，则A=（       ）

A． B． C． D．

6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x，y，记事件A为“为偶数”，事件B为“”，则的值为（       ）

A． B． C． D．

7．若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．对实数a，b，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数c的取值范围是（       ）

A．  B．

C．  D．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．2019年中国5G建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（       ）

A．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加

B．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%

C．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快

D．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少

10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（       ）

A．若l∥n，则a=6或

B．若，则

C．直线恒过点（1，）

D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为

11．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（       ）

A．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象

B．函数的图象关于点（，0）对称

C．函数在区间上的最大值为

D．若函数（）为偶函数，则的最小值为

12．如图ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的动点（不含端点），点F在侧面BCC1B1上运动，且满足A1F∥平面AD1E，则下列命题正确的有（       ）

A．侧面BCC1B1上存在点F，使役A1F⊥BC1

B．直线A1F与直线DC所成角的正切值的范围为（0，）

C．当点E固定时，三棱雉D1-AEF的体积为定值

D．设正方体的棱长为1，当E为棱CC1上靠近C1的三等分点时，则过点A，D1，E三点的截面面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是__________．

14．已知，则__________．

15．设函数（），若在有且仅有5个零点，则的取值范围是__________．

16．已知向量a，b，e满足，，，，则的最小值是__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知直线l经过点P（2，3），倾斜角为．

（1）若，求直线l的斜截式方程；

（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程．

18．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，且．

（1）求角C；

（2）设BC的中点为D，且AD=，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱雉P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=，BC=，PA=2．

（1）求证：AB⊥PC；

（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；

（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．

21．（本小题满分12分）

斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，侧面ABB1A1上侧面BCC1B1，平行四边形BCC1B1的面积为．

（1）求点A到平面BCC1B1的距离；

（2）如图，D为BB1的中点，AD=，BB1=，BC⊥BB1，求二面角A-B1C-B的大小．

22．（本小题满分12分）

已知函数（）满足：，，且当时，．

（1）求a的值；

（2）求解集；

（3）设，（），若，求实数m的值．

湖南师大附中2023—2024学年度高二第一学期第一次大练习

数学参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A  【解析】，所以，故选A．

2．C  【解析】A选项中，与平行或异面；B选项中，与可以成任意角；C选项正确；D选项中，若，则无法得到，故选C．

3．A  【解析】为偶函数，，，故选A．

4．B  【解析】．故选B．

5．C  【解析】已知，

由余弦定理得：，

因为，所以，又，则，

又，解得．故选C．

6．A  【解析】由题意知，若事件“为偶数”发生，则两个数均为奇数或均为偶数，

其中基本事件数为，，一共18个基本事件，

，而同时发生，一共有9个基本事件，，则在事件发生的情况下，发生的概率为，故选A．

7．C  【解析】因为，所以．故选C．

8．B  【解析】由题意知，当，

即时，，

当，即或时，，

函数有两个零点，

函数的图象与函数的图象有两个交点，画出函数的图象如图，由图知，当时，函数有两个零点．故选B．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得，部分选对的得，有选错的得0分．

9．BC  【解析】对于A，2015年与2014年相比中国移动电话用户数减少，所以A不正确；对于B，2011—2019年中国移动电话用户数的增速按从小到大的顺序排列，为，，则增速的中位数为，故B正确；对于C，2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快，故C正确；对于D，中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，但都是正增长，故D错误．故选．

10．AC  【解析】若，则，解得或，经检验，均符合，故A正确；若，则，解得或，故B不正确；由得，则得，所以恒过点，故C正确；若直线在轴上的截距为6，则，得，

所以直线的方程为，斜截式为，故D不正确．故选AC．

11．BC  【解析】因为所以，所以．

又因为，得（舍）或，

因为，可得，所以，

函数的图象向左平移个单位长度，即变换为：，A结论错误；

对于B，，可得关于对称，包含点，故B结论正确；对于C，当时，，则函数，所以的最大值为，C结论正确；

对于D，函数为偶函数，即为偶函数，易得为最小值，故D错误．故选BC．

12．AC  【解析】连接，过点作，交于点，连接，

在平面内，过点作，交于点，在平面内，过点作，交于点，则平面平面平面，又点在侧面上运动，且平面平面，故．

当为与的交点时，易证平面，

且平面，A正确；

直线与所成角即为，设正方体的棱长为1，

则，在点从到的移动过程中，从靠近点移动到靠近，

此时，，故B错误；

因为平面，所以，故C正确；

当为棱上靠近的三等分点时，过点三点的截面为梯形，此时，得到与间的距离，故，故D错误．故选AC．

三、填空题：本大题共4小题，每小题，共20分．

13．1  【解析】如图，设圆锥的母线长为，底面半径为，

则圆锥的侧面积，即．

由于侧面展开图为半圆，可知，可得，因此．

14．e  【解析】，又．

15．  【解析】在区间上有且仅有5个零点，

，解得．

16．  【解析】法一：（投影法）构造图形如下图，由可知，

点分别在直线与直线上移动，且保持，

取的中点，连，由极化恒等式可知，

．由图可知，点在直线上运动，

故取最小值时，只要取最小即可．

所以，当时，的最小值为．

法二：（坐标法）由题可设，于是，

所以．（极化恒等式）

法三：（坐标法）由题可设，于是，

则，即，（基本不等式）

所以，当且仅当时等号成立，故．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）由题：，

故直线方程为，所以．

（2）当截距为零时，直线方程为；

当截距不为零时，设所求直线的方程为，将代入得，解得，

直线方程为，即．

所求直线的方程为或．

18．【解析】（1）中，，

由正弦定理得，．

所以，

即，

所以；

又，所以，所以，

所以，

又因为，所以，即．

（2）设，则中，由可知，

由正弦定理及可得，

所以，

所以，

由可知，，

所以．

19．【解析】（1）证明：四边形是直角梯形，，

，

又是直角三角形，即．

平面平面，

又平面，

平面，

又平面．

（2）方法一：（几何法），

，

又为的中点，．

易知，故，

则由余弦定理可得，

．

设点到面的距离为，则．

又，设直线与平面所成角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值为．

方法二：（向量法）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，

．

设平面的法向量为，

则即

解得令，则，

于是，取．

设直线与平面所成角为，则．

故直线与平面所成角的正弦值为．

20．【解析】（1）由频率分布直方图知，，所以．

又样本中身高不低于的学生的频率为，

所以，样本中身高不低于的学生人数为人．

（2）设除小张与小明外其他98名同学的身高为，小张与小明的身高分别为，样本的平均数为，样本的方差为．

由题意．

又，

所以样本的方差．

21．【解析】（1）设点到平面的距离为．

因为，

所以．

解得，即点到平面的距离为．

（2）因为，由（1），可得平面，

（反证法：若与平面不垂直，作平面，垂足为，连接，

则为直角三角形，因此，即，矛盾!因此平面）．

又平面，所以．过点作于，连接．

又平面，

所以平面平面，所以．

因此即为二面角的平面角．

在中，因为为的中点，，

所以，即．

因为侧面侧面，侧面侧面，

侧面，所以侧面侧面，所以．

又平面．

所以平面平面，所以．

在等腰中，．

在矩形中，，所以．

在中，．

在等腰中，．

在中，，

所以．

在中，，所以．

所以二面角的大小为．

22．【解析】（1）由题意，所以，

又当时，，代入得，所以．

（2）设，则，

所以，又，代入解得；

显然，在是单调递增，又，所以时，，

又时，，

所以时，，类推可得时，

综上，解集为．

（3）函数，由，即定义域为，

且在上单调递减，

所以在上单调递减，

又有，结合（2）结论知时，时，，

由恒成立，

即在上恒成立，设，

则不等式在上恒成立，

①当时，不等式化为，显然不满足恒成立；

②当时，将代入得，与矛盾；

③当时，只需，

综上，实数的值为．