浙江省台州市路桥区东方理想学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年浙江省台州市路桥区东方理想学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各图案中，属于中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知，以为圆心，为半径作若使点在内，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.数，，，中，是一元二次方程的解的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，那么得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.若关于的一元二次方程有一根为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.已知二次函数的图象经过与两点，关于的一元二次方程有两个不同的实数根，其中一个根是如果关于的方程有两个不同的整数，则这两个整数根可能是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.点关于原点对称的点的坐标是______．

12.若关于的一元二次方程一根为，则另一根为______．

13.在如图所示的方格纸格长为个单位长度中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是          ．
 

14.一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若弦，则的半径为______．

15.如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为______ ．

16.如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为          ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点均在格点上，点的坐标为．
把向上平移个单位得到对应的，画出并写出的坐标．
以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出的坐标．

19.本小题分

如图，抛物线与直线交于，两点．
求，两点的坐标；
根据图象，直接写出不等式的解集．

20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程有一个根是，求方程的另一个根．

21.本小题分
如图，是的直径，切于点，切于点，且．
求的度数；
若，求点到弦的距离．
 

22.本小题分
某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元．每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？

23.本小题分
我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高锅口直径与锅盖直径视为相同，建立直角坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．
求和的解析式；
如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径；
如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．

24.本小题分
如图：在中，，为边上一点不与点，重合，试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，继续推理就可以使问题得到解决．
请根据小明的思路，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
如图，在中，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
如图，已知是的直径，点，是上的点，且．
若，，求弦的长为______；
若，求的最大值，并求出此时的半径．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．

2.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：．
根据顶点式的意义直接解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为，注意符号问题．

3.【答案】 

【解析】解：已知，以为圆心，为半径作，
若使点在内，
点到圆心的距离应该小于圆的半径，
圆的半径应该大于．
故选D．
根据点与的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
本题考查点与圆的位置关系．

4.【答案】 

【解析】解：方程可化为：，
或，
解得：或，
故选：．
先解方程，再判断求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，掌握一元二次方程份解法是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接，如图，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

6.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．根据旋转的性质结合坐标系内点的坐标特征解答．
【解答】
解：由图知点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，画图，从而得点坐标为．
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
整理，得．
解得，．
又方程是关于的一元二次方程，
，
，即．
故选：．
把代入方程得到一个关于的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定的值．
本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能理解一元二次方程的解的含义是解此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，即，
解得，
的长为，
故选：．
连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过与两点，
则函数的对称轴是直线，
关于的一元二次方程有两个不同的实数根，其中一个根是
则抛物线开口向下，
如果关于的方程有两个不同的整数，相等于和有在轴上方的两个交点，且两个解关于对称轴对称，
只有符合上述条件，
故选：．
二次函数的图象经过与两点，关于的一元二次方程有两个不同的实数根，其中一个根是
则抛物线开口向下，进而求解．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．

12.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程的两根分别为与，则，．

13.【答案】 

【解析】【分析】
根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数．
本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．
【解答】
解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
与都对，，
，
，
为等边三角形，
，
，
即的半径为．
故答案为：．
连接、，如图，先根据圆周角定理得到，则可判断为等边三角形，从而得到．
本题考查了圆周角定理，判断为等边三角形是解决问题的关键．也考查了等边三角形的判定与性质．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，，
，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
过点作于点，根据切线的性质得到，得出，分析出当最小时，面积最小，再根据切线的性质和勾股定理得出，推出当最小时，最小，进而利用三角形面积求出的长度，即的最小值，从而解答本题．
本题主要考查的是切线的性质和三角形的面积，推出当最小时，最小，得出最小是解题的关键．
【解答】
解：过点作于点，
是的切线，
，
，
是的半径，大小不变，
当最小时，的面积最小，
在中，，
则当最小时，最小，
对于直线，当时，，当时，，
则，，
由勾股定理得：，
，
则，解得：，
当点与点重合时，最小，的最小值为，
则的最小值为：，
的最小值，
故答案为：．

17.【答案】解：，
或，
所以，；
，，，
，
，
，． 

【解析】利用因式分解法解方程；
先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．本题第小题还可以利用配方法求解．

18.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作，点的坐标为．
 

【解析】利用点平移的坐标特征写出、、的对应点、、的坐标，然后描点得到；
利用关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

19.【答案】解：抛物线与直线交于，两点，
，
解得：，，
，；
由图象可知，当时，抛物线位于直线的下方，
不等式的解集为． 

【解析】通过联立方程组求解，即可得出答案；
通过观察图象，结合抛物线与直线的交点坐标可得出答案．
本题考查了抛物线与直线的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系，解题关键是运用数形结合思想，通过观察图象解决问题．

20.【答案】解：，
方程总有两个不相等的实数根；
设方程的另一个根为，
由根与系数关系得，
解得，
方程的另一个根为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证；
利用两根之积等于即可求出方程的另一个根．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程两个实数根”；牢记两根之积等于．

21.【答案】解：切于点，切于点，
，，
，
是等边三角形，
，
；
作于，如图所示：

则，
由得：是等边三角形，
，
，
，
，
，
点到弦的距离为． 

【解析】此题考查了切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点；熟练掌握切线的性质和垂径定理是解题的关键．
由切线长定理得出，，证出是等边三角形，得出，即可得出答案；
作于，由垂径定理得出，由等边三角形的性质得出，，由勾股定理得出，求出即可．

22.【答案】解：设每次下降的百分率为根据题意，得
解得：，不符合题意，舍去．
答：该商品连续两次下降的百分率为．
设降价元，利润为元．根据题意，得
当，即售价为元时，可获最大利润元． 

【解析】根据增长率下降率公式列出一元二次方程即可求解；
根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式．

23.【答案】解：由于抛物线、都过点、，可设它们的解析式为：；
抛物线还经过，
则有：，解得：，
即：抛物线：；
抛物线还经过，
则有：，解得：，
即：抛物线：．

当炒菜锅里的水位高度为时，，即，
解得：，
此时水面的直径为．

锅盖不能正常盖上，理由如下：
当时，抛物线：，抛物线：，
而，
锅盖不能正常盖上． 

【解析】已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
炒菜锅里的水位高度为即，列方程求得的值即可得答案；
底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，和中的值的差与比较大小，从而可得答案．
本题主要考查待定系数求函数解析式与二次函数的实际应用，解题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题求解．

24.【答案】 

【解析】解：，
理由：由旋转知，，，
，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
，
根据勾股定理得，，
在中，，
；

，
理由：如图，
将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，
同的方法得，≌，
，在中，，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
即：；

如图，过点作交的延长线于，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
故答案为；

，
，
，
当时，的最大值为，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
的半径为．
先判断出，进而得出≌，得出，，再根据勾股定理得出，在中，，即可得出结论；
同的方法得，≌，得出，再用勾股定理的出，，即可得出结论；
先根据勾股定理的出，再判断出≌，得出，
将，代入中，即可得出结论；
先求出，再将，代入，化简得出，进而求出，最后用勾股定理求出即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形性质性质，构造全等三角形是解本题的关键．