考点11 等腰三角形的12类高频考点方法归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

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考点11 等腰三角形的12类高频考点方法归类1 等腰三角形的概念求边长的方法有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.弄清楚相等的边是腰，第三边就是底边，但要注意构成三角形的条件。利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题.2 利用等腰三角形的性质求角度的方法在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键．3 等腰三角形多结论判断问题的做题方法等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键．4 等腰三角形的分类讨论思想解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论；5 三线合一的应用三线合一主要指的是等腰三角形的底边上的高、顶角角平分线、底边上的中线三条线段合为一条，往往可以通过三线中的一线得出另外两条线，从而利用相关性质解决问题。6 等腰三角形的判定方法等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”7 证明线段相等的方法判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据，可以证明两条线段是三角形中的的两条边，即证明等腰三角形即可。 8 等腰三角形的计算与证明在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．利用等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数.在格点中判定等腰三角形的个数还要用到分类讨论的思想. 9 作等腰三角形方法已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形.作法：1. 作线段 AB = a；2. 作线段 AB 的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D；3. 在 MN 上取一点 C，使 DC = h；4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形.10 等边三角形的性质和判定的应用 等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 11  含30°角的直角三角形在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，这个性质往往在求线段长或等线段的时候用的较多。12 与已知两点构成等腰三角形的个数可以采用画圆弧的方法，分别以两个端点为圆心画要求的线段长度的弧，再作线段的垂直平分线，与题目要求的交点，即为所求的点。 考点1 等腰三角形的概念求边长的方法考点2 利用等腰三角形的性质求角度的方法考点3 等腰三角形多结论判断问题的做题方法考点4 等腰三角形的分类讨论思想考点5 三线合一的应用考点6 等腰三角形的判定方法考点7 证明线段相等的方法考点8 等腰三角形的计算与证明考点9 作等腰三角形方法考点10 等边三角形的性质和判定的应用 考点11  含30°角的直角三角形考点12 与已知两点构成等腰三角形的个数 考点1 等腰三角形的概念求边长的方法1．（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（　　）A．26或28 B．26 C．28 D．2．（2023秋·重庆铜梁·八年级铜梁二中校考开学考试）下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（   ）A．，， B．，， C．，， D．，，3．（2023春·福建漳州·八年级统考期中）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，这个三角形的周长为（    ）A．7 B．13 C．22 D．17或224．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为（    ）A．6cm或13cm B．13cm C．6cm D．7cm 考点2 利用等腰三角形的性质求角度的方法5．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，，则的值是（   ）  A． B． C． D．6．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，点分别在上，，则的度数是（    ）  A． B． C． D．7．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，点在边上，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．8．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，在中，，平分，，，则（  ）A． B． C． D． 考点3 等腰三角形多结论判断问题的做题方法9．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在中，，的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号有（    ）  A．①②③ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④10．（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）已知和都是等腰三角形，，交于点，下列结论：①；②；③；④平分．正确的结论是（    ）  A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④11．（2023秋·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在中，已知，点是边的中点，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径画圆弧，两弧在直线上方的交点为，直线交于点，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中，一定正确的是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④12．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有几个（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点4 等腰三角形的分类讨论思想13．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（　　）A． B． C． D．或14．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，为钝角，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是（    ）  A． B． C． D．15．（2021秋·广东江门·八年级校考阶段练习）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ）A． B． C． D．或16．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ）A． B． C．或 D．或 考点5 三线合一的应用17．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．  18．（2023·山东菏泽·校考三模）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：．19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，．(1)求证：；(2)若，求的长．20．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，垂足为点，．(1)说明的理由；(2)若，请说明的理由． 考点6 等腰三角形的判定方法21．（2023春·福建漳州·八年级统考期中）如图，BD平分，，垂足为点D，．求证：是等腰三角形．  22．（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）已知：如图，在和中，，，垂足分别为，，，求证：是等腰三角形．  23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．  (1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长． 24．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在和中，，．(1)求证：；(2)过点D作交于点E，求证：是等腰三角形． 考点7 证明线段相等的方法25．（2023春·吉林松原·九年级校联考阶段练习）如图，相交于点．求证：．26．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，，与相交于点O ．  (1)求证：；(2)求证：；(3)连接，求证：． 27．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交于E，F，  (1)求证：是等腰三角形；(2)求的周长． 28．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）如图1，在四边形中，，，平分．  (1)试说明：；(2)如图2，在上述条件下，若，过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接，试说明．  考点8 等腰三角形的计算与证明29．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，中，D为的中点，厘米，厘米．  (1)若点P在线段上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明；(2)若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在的哪条边上追上点P？ 30．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点．(1)求证：．(2)若，求的长． 31．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，在中，是边上的中线，E，F为射线上的点，连接，且． (1)求证：；(2)若，试求的长． 32．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1 n mile/h=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°．求从海岛B到灯塔C的距离． 考点9 作等腰三角形方法33．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知等腰三角形的底边长为a，顶角的角平分线长为b，求作：等腰三角形 34．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知：线段a．请利用尺规作图法求作：等腰，使，且边上的高等于．（不写作法，保留作图痕迹）35．（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）已知等腰三角形的底边长为，底边上的高为，如图所示，利用尺规作图，求作这个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．36．（2022秋·八年级课时练习）作一个等腰三角形，使它的腰长为，底边长为． 考点10 等边三角形的性质和判定的应用37．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．38．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到，使，求证：．39．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．(1)若，则的度数为______，的角度为______；(2)求证：是等腰三角形；(3)当是等边三角形时，求的度数． 40．（2023春·广东河源·八年级统考期末）如图，在中，，D为边上中点，于点E，于点F，且．(1)求证：为等边三角形；(2)连接，线段，求线段的长． 考点11  含30°角的直角三角形41．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，已知中，，，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，，求的长．  42．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，已知是等腰直角三角形，，点D为边的延长线上一点，连接，若，，求的长．43．（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，早上，一艘轮船以海里小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，到上午，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 44．（2023春·全国·八年级期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F．(1)求证：是线段的垂直平分线；(2)若，，求的长．  考点12 与已知两点构成等腰三角形的个数45．（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个．A．1 B．2 C．3 D．446．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ）A．5 B．4 C．3 D．247．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（    ）．A．1 B．2 C．3 D．448．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）在矩形（长方形）ABCD中，AB=3，BC=4，若在矩形所在的平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PAD都为等腰三角形，则满足此条件的点P共有（     ）个．A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个