考点12+最短路径问题的10大类型-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

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考点12 最短路径问题的10大类型
【问题背景】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直。
常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。
类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。



类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，
即PA+PB的和最小.








作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短

2.两动一定型
类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．


作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．




类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．



作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．



3.两定两动型最值
类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移






作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，
交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

类型6：（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且
AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD




4.垂线段最短型
类型7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．


点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。




类型8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.

作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0


类型9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。


类型10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。



考点1 两定一动型
考点2.两动一定型
考点3. 两定两动型最值
考点4.垂线段最短型




考点1 两定一动型
1．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（   ）
    
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
【详解】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值的最小值，
，
当时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：C．
  
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）
    
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，．
    
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点A关于直线的对称点为点B，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3．（2022秋·新疆昌吉·八年级校考期中）如图，在中，，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据题意点B关于直线的对称点为点C，故当点P在上时，有最小值，求解即可．
【详解】连接，
垂直平分，
，
，
当A、P、C在一条直线上时，有最小值，最小值为，
故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题的应用，明确A、P、C在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
4．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，正方形网格中有M、N两点，在直线上求点P使最短，则点P应选在（   ）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【分析】利用轴对称思想，作出点M关于直线的对称点E，连接，其经过的点是C点，判断选择即可．
【详解】作出点M关于直线的对称点E，连接，
其经过的点是C点，

故选C．
【点睛】本题考查了线段和最短问题，熟练掌握轴对称性质，准确构造对称确定点的位置是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线m表示一条河，点M、N表示两个村庄，计划在m上的某处修建一个水泵向两个村庄供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是（图中实线表示铺设的管道）（    ）

A．B．C． D．
【答案】D
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于Q，
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道最短，
故选：D．

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
6．（2023秋·八年级课时练习）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）；
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
  
(1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标；
(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)见解析

【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图，再根据图写出点坐标即可．
（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小．
【详解】（1）解：（1）与关于轴对称，，
点．
（2）解：如图，即为所求，．
  
（3）解：如图，点即为所标．
  
【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
8．（2022春·福建泉州·七年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．
  
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________．
【答案】(1)见解析
(2)①12；②2

【分析】（1）根据模型作出图形；
（2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
  
（2）①如图2，
  
作法：（Ⅰ）作关于的对称点，
（Ⅱ）作点关于的对称点，
（Ⅲ）连接，分别交于点，交于，
则的周长最小，
连接、，
点和点关于对称，
，，
同理可得，，，
，
，
为等边三角形，
，
的周长；
②如图3，
    
作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点，
（Ⅱ）连接交于，交于，
（Ⅲ）连接、，
，
，
此时的值最小，最小值为，
，，，，
，，
，
为等边三角形，
，即 的值最小为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．

考点2.两动一定型
9．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，
∴，，
∴，，
则即为的周长最小值，

，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
10．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（    ）

A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则为所求的最小值，根据是的平分线可知，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N．

是的平分线，
，
，
是点B到直线的最短距离（垂线段最短），
是的最小值，
，，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题、角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
11．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（      ）

A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【答案】A
【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点．

是的角平分线，与关于对称，
点值上，，
，，，，
，
，
的最小值为2.4．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．
12．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ）

A．136° B．96° C．90° D．84°
【答案】A
【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，

则AM=PM，AN=QN，
∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
∴周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，
由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝，
∴
∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
∴∠P+∠Q=，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：

过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，，由三角形的内角和求得即可解答.
【详解】解：∵，
∴如图，分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，
∵BM垂直平分，EN垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键.
15．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（      ）

A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【详解】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，

由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10•CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（2019秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ）

A．145° B．110° C．100° D．70°
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，
∴∠P1OM=∠MOP，∠NOP=∠N O P2，

根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则
△PMN的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=70°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=110°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=110°，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=110°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．

考点3. 两定两动型最值
17．（2018秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（   ）

A．β﹣α＝30° B．β﹣α＝40° C．β+α＝180° D．β+α＝200°
【答案】D
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，可得MP+PQ+QN最小，根据轴对称的性质可得∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形内角和及外角性质即可得答案.
【详解】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
∴NQ=NQ′，PM=PM′，∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴MP+PQ+QN最小，
∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，
∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．
故选D．

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【详解】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．

故选：D．
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是(    )
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.
【详解】
解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，
∴四边形AMNI为平行四边形，
∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.
故选C.
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

考点4.垂线段最短型
20．（2021·西藏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长．
【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF=C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG=∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，


∴BC=BC'，
∵AC=BC=10，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5，
∴CE+EF的最小值为5，
故选：C．

【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键．
21．（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，

∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22．（2019春·湖南湘西·七年级统考期中）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（     ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理是两点之间线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．
23．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案．
【详解】解：如下图，

过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．
∵AD平分∠CAB，AC⊥BC
∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．
24．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【详解】
∵P是∠AOB角平分线线上一点，且∠AOB＝
∴∠AOP＝∠AOB＝     
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4
∴OP＝2DM＝8
∴PD＝OP＝4
∵C点是OB上一个动点
∴当PC丄OB时，PC的值最小
此时PC＝PD＝4
∴PC的最小值为4
故选C
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，直角三角形的性质，.熟记性质并做出辅助线构造直角三角形是集体的关键．
25．（2019秋·安徽亳州·八年级统考阶段练习）已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．-2
【答案】C
【分析】过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短，即可判断点N的位置，计算得到最小值即可.
【详解】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短
∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4
故选C
【点睛】本题主要考查垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键.
26．（2021秋·浙江杭州·七年级杭州市公益中学校考期末）如图，A是直线l外一点，点B，E，D，C在直线l上，且，D为垂足，如果量得，，，，则点A到直线l的距离为（    ）

A．11 cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
【答案】D
【分析】根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可知AD的长度是点A到直线l的距离，从而得解．
【详解】∵AD=5cm，∴点A到直线l的距离是5cm．
故选D．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记定义是解题的关键．
27．（2021·山东临沂·统考二模）如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN＋MN的最小值为（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作Q点关于OP的对称点E，过E作EF垂直AB交AB于F点，利用三角形的高求出EQ=,又△EFQ相似于△OPB，利用相似的性质求出EF即可.
【详解】
解：作Q点关于OP的对称点E，过E作EF垂直AB交AB于F点，
由题意可得：PQ=4，PQ=3，OP=5
则△OPQ，OP边上的高为，所以EQ=
又分析题意可得：△EFQ∽△OPB
则 即，解得：EF=.
故答案为D.
【点睛】本题考查了最短距离问题，解答的关键在于根据题意做出辅助线和正确运用相似三角形的知识.