湖北省黄石市黄石港区教研协作体2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

黄石港区教研协作体九年级质量监测

数学试题

班级：______      姓名： ______

注意事项：

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间为120分钟．满分120分．

2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题．

3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效．

★祝考试顺利★

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（    ）

A． B． C． D．

2．如图是杭州2022年亚运会会徽，在选项的四个图中，不能由下图经过旋转得到的是（    ）

A．  B．

C．  D．

3．电影《长津湖》一上映，第一天票房亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达亿元，平均增长率记作x，方程可以列为（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在中，，将点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

5．一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根  B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

6．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，，则右轮廓DFE所在抛物线的表达式为（    ）

A．  B．

C．  D．

8．如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（    ）

A． B．6 C． D．

9．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．下列结论中正确的个数是（    ）

①；②；③；④若三点，，均在函数图象上，则；⑤若，则是等边三角形．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11．在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______．

12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步，意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为______．

13．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为______s．

14．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，交于点H，且，则的长为______．

15．若实数a，b满足，，则______．

16．如图，平面内三点A，B，C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题8.0分）解方程（1）；（2）．

18．（本小题8.0分）如图所示，点O是等边内的任一点，连接，，，，，将绕点C按顺时针方向旋转得．

（1）求的度数；

（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明：

19．（本小题8.0分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

（1）将向右平移6个单位长度得到请画出；

（2）画出关于点O的中心对称图形；

（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______．

20．（本小题8.0分）已知关于x的方程有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求k的值．

21．（本小题8.0分）我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法：

由于，

又因为①，所以②，由①+②可得，

将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解．

请根据上述材料回答下面的问题：

（1）若的对偶式为n，则______；（直接写出结果）

（2）求方程的解；

（3）解方程．

22．（本小题10.0分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型，设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：t），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数的图象与线段的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系．

（1）当时，求P关于t的函数表达式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）．

①求w关于t的函数表达式；

②该药厂销售部门分析认为，是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范

围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

23．（本小题10.0分）如图，在中，，，点D为边上一点，连结，过点B作交的延长线于点E．

（1）如图1，若，，求的面积；

（2）如图2，延长到点F使，分别连结，，交于点G．求证：；

（3）如图3，若，点M是直线上的一个动点，连结，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请求出的度数．

24．（本小题12．0分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标：

（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．D

[解析][分析]

本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．

根据题意画出图形，得出，，即可得出答案．

[解答]

解：如图，

由题意得：，，

解得：，．

故选：D．

10．[答案]A

[解析]解：由图象可得，

开口向下，，即，与y轴交于点，，

∴；故①正确．

∵图象与x轴有两个交点，

∴，即，故②错误．

∵点A在与之间，

∴，即，解得，故③错误．

由抛物线对称性可得，的对称点为：，

∵，，

∴，故④错误．

当时，函数解析式为，

当时，，解得：，，

∴

当时，，

∴，

故⑤正确；

故选A．

根据开口得到，根据对称轴得到，即，根据与y轴交点得到，即可判断①：根据图象与x轴交点可得，即可判断②：根据点A在与之间可得，即可判断③；根据对称性找到的对称点，结合函数性质即可判断④，将代入解析式，求出解析式，计算A、B、D三点坐标即可判断⑤：

11．[答案]

12．[答案]

13．[答案]4

14．[答案]6.25

15．[答案]2或

[解析][分析]

本题主要考查的是根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解．

分，讨论，当时，将给出的代数式进行变形求解即可：当时，由题干可知a、b是一元二次方程的两根，利用根与系数的关系即可求得a与b的积与和，然后代入代数式求值即可．

[解答]

解：当时，原式=；

当时，

∵实数a，b满足，，

∴实数a、b是一元二次方程的两根，

∴，，

∴原式，

综上所述，或．

故答案为2或．

16．[答案]

[解析]解：如图，将绕点D顺时针旋转得到．

由旋转性质可知：，，，

∴是等腰直角三角形．

∴．

∴当的值最大时，的值最大．

∵．

∴．

∴的最大值为7．

∴的最大值为．

故答案为．

17．[答案]解：（1）∵，

∴，

则或，

解得，；

（2）∵，

∴，

∴或，

解得，．

18．[答案]解：（1）∵，，

∴．

∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，

∴，，

∴．

（2）线段，，之间的数量关系是．

证明：如图1，连接，

∵绕点C按顺时针方向旋转得到，

∴，，，

∴是等边三角形，

∴，

由①知，在中，

∵，

∴，

∴．

19．[答案]

[解析]解：（1）如图，即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）旋转中心Q的坐标为，

20．[答案]解：（1）当时，原方程为，

解得，

∴符合题意，

当时，原方程为一元二次方程，

∵该一元二次方程有实数根，

∴，

解得，且，

综上所述，k的取值范围为；

（2）∵和是方程的两个根，

∴，，，

∵，

∴，

解得，

经检验，是分式方程的解，且符合题意，

∴k的值为1．

21．[答案]解：1；

（2）

∵①

∴②

∴由[①+②]得：

两边平方得：，∴

经检验是原方程的解

故答案为：．

（3）

∵①，

∴②，

邮[①+②]，得，

两边平方得：

∴，

解得

经检验是原方程的解

∴方程的解是．

22．[答案]解：（1）设时，，

将、代入，

得，

解得，

∴当时，P关于t的函数表达式为；

（2）①当时，，

当时，，

当时，，

∴w关于t的函数表达式为；

②由（2）知，w关于t的函数表达式为，

则w关于t的函数图象如图所示，

由图象可知，当时，，

解得t，（不合题意，舍去），

当时，，

解得，（不合题意，舍去），

∵，

∴，

∵，

∴P随t增大而增大，

∴当时，P有最小值12，当时，P有最大值19．

23．[答案]（1）解：∵，，

∴．

设，则，

∴，

∵，

∴，

．

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴的面积=；

（2）证明：延长到H，使，连接，，如图，

∵，，

∴．

∵，，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，．

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴为的中位线，

∴，

∴；

（3）解：的度数为．理由：

过点D作，交的延长线于点E，作点P关于的对称点，连接，，，，如图，

∵，，

∴，

∴．

∵将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，

∴，，

∵，

∴，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴，

∴．

点在过点A且垂直于的直线上运动．

∵点P关于的对称点，

∴，．

∴．

∵，

∴当，Q，在一条直线上时，，此时的值最小．

如图，，Q，在一条直线上，

∵，，

∴．

∴．

∴，，

∴

∵，关于对称，

∴，

∴，∴．∴，

∴，∴，

∴，∴四边形是菱形，

∴，∴．

24．[答案]（1）；（2），；（3）或或或

[解析][分析]（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解：

（2）证明，得到，求出，利用二次函数的性质得到的最大值即可得到结果：

（3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标．

[详解]解：（1）将A，B代入中，

得，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）令，则，∴，

∵，∴，

∵轴，∴，

∵，∴，则当最大时，最大，

设的解析式为，

则，解得：，

∴的解析式为，

设， ，

则，

当时，最大，则，

此时；

（3）∵是以为斜边的等腰直角三角形，

设，

如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，

∵，即，，

∴，又，，

∴，

∴，，

则，

即，

解得：或（舍），

∴，即：

如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，

同理可得，，

∴，，

∴，

解得：或（舍），

∴，即；

如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，

此时；

如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，

同理可得，，

∴，，∴，

解得：（舍）或，

则，即；

综上：点E的坐标为或或或．

（一个点2分，两个点4分，三个点5分）