四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三数学（理）上学期9月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校2024届补习年级九月月考

理科数学试题

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先确定集合，再由并集的定义计算．

详解】由已知

，

故选：C．

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据命题的否定的定义判断．

【详解】存在命题的否定是全称命题，

命题“，”的否定是：，．

故选：C．

3. 函数的零点为，且，，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据零点的存在性定理求解.

【详解】因为在单调递增，

且，

即，所以，

故选：C.

4. 已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数的最小正周期可求得的值，由当时，函数取得最小值，可求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.

【详解】因为函数的最小正周期是，则，则，

当时，函数取得最小值，则，

所以，，所以，，其中，

因此，.

故选：B.

5. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果.

【详解】由题意得：，

，，

即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为.

故选：D.

6. 已知等差数列，其前n项和满足，则（    ）

A. 4 B.  C.  D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.

【详解】是等差数列，其前n项为，

，

，.

故选：A.

7. 已知点在幂函数f（x）＝xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（　　）

A. b＜a＜c B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. a＜c＜b

【答案】C

【解析】

【分析】

先将点代入幂函数即可求出，再利用幂函数的单调性即可判断出大小.

【详解】解：∵点在幂函数f（x）＝xn的图象上，

∴，∴，

∴幂函数，在上单调递减，

又∵，

∴，即a＞c＞b.

故选：C．

8. 若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先根据命题的真假性求出的范围，化简命题，再根据充分性和必要性的概念求解即可.

【详解】因为：实数使得“”为真命题，

所以有解，所以，解得，

即；

因为：实数使得“”为真命题，

所以，由指数函数的图象和性质可得，

即，

所以，，即是的必要不充分条件，

故选：A

9. 部分图象大致是（    ）

A.  B.  

C.    D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，可化为

所以，

故为偶函数，图形关于y轴对称，排除B，D选项；

令可得，或，

由，解得，，

由，解得，

所以函数最小的正零点为，

当时，，，，排除A，

故选：C.

10. 设函数，则使得 的的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得出答案.

【详解】函数的定义域为，且

所以函数为偶函数，
又因为当时，函数，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为偶函数有，
所以由可得，
所以，即，整理得：，
解得：，
所以的取值范围为.
故选：C.

11. 若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（    ）

A. 14 B. 13 C. 12 D. 11

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数的部分图象，借助图形求出在内两个图象交点个数作答.

【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数，

函数在上递增，且，在上递减，且，在上递增，且，

在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图，

由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在内的交点个数，

观察图象知，函数的图象在内有12个交点，

所以函数在内有12个零点，C正确.

故选：C

12. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.

【详解】设，，

所以函数在上为增函数．

由的定义域为可知，得，

将不等式整理得，即，

可得在上恒成立，即在上恒成立；

令，其中，所以

，令，得．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

所以，即

故选：B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若实数满足约束条件，则的最大值为__________.

【答案】3

【解析】

【分析】由实数满足约束条件，作出可行域，再平移直线，由直线直线在y轴上的截距最小时求解.

【详解】解：由实数满足约束条件，得可行域如图所示：

平移直线，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，

此时目标函数取的最大值，最大值为3，

故答案为：3

14. 已知函数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，进而求解结论.

【详解】解：∵函数，

∴，

∴.

故答案为：.

15. 若，则的最小值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算找出之间的关系，再利用基本不等式求出最值.

【详解】

即：则，于是

当且仅当时等号成立.

故答案为：.

【点睛】灵活使用对数的运算法则，以及掌握基本的基本不等式题型.

16. 设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若，， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是_______________.

（1）函数图象关于对称；

（2）；

（3）；

（4）

【答案】（1）（3）

【解析】

【分析】根据 为奇函数推出对称中心 , 根据 逆向思维得到 , 代入 推出 的对称轴 , 进一步得出周期 4 , 周期也为 4 , 算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.

【详解】因为, 则,

因为 ，所以,

用去替x，所以有，所以有,

取 代入得到 则 ，

故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故（1）正确；

在上为奇函数, 则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，; ，而，所以有，则 的周期 ;

又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故

,

,故（3）正确；

, 是由 的图像移动变化而来, 故 周期也为 4 ,

因为 ,

所以 ，,

所以，故（2）错误；

，周期为 4 , ，,,

故，

由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，

故（4）错误;

故答案为：（1）（3）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列的前项和，且满足：，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.

试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①

当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.

（2）由（1）得：，∴

∴

18. 已知函数在时取得极大值4.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数在区间上的最值.

【答案】（1）；   

（2）最大值为4，,最小值为0.

【解析】

【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；

（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.

【小问1详解】

，由题意得，解得.

此时，，

当时，，所以在单调递增，

当时，，所以在单调递减，

当时，，所以单调递增，

所以在时取得极大值.

所以.

【小问2详解】

由（1）可知，单调递增，在单调递减，在单调递增.

又因为，，，，

所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.

19. 记的内角所对边分别为．已知．

（1）求的大小；

（2）若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．

条件①：；条件②：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；

(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，

若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.

【小问1详解】

，

由正弦定理知，即．

在中，由，

．

．

．

．

【小问2详解】

若选择条件①，由正弦定理，得．

．

又，即．

．

．

若选择条件②，由，即．

设．

则．

由，得．

．

．

20. 已知函数（），（）．

（1）若函数在处的切线方程为，求实数与的值；

（2）当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；

（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.

【小问1详解】

，由得，

∴，，

即切点为，代入方程得，

所以，；

【小问2详解】

由题意可得时，．

∵时，在恒成立，

故在为增函数，

∴，

．

①当时， 在区间上递增，所以，

由解得，舍去；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

故，

故，解得或，

∴；

③当时，在区间上递减，所以，

由解得，∴.

综上，.

21. 已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为

又，所以

试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增， 由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.

（2）,则,所以的两根即为方程的两根. 因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,

所以

令,由得

因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.

考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值

【思路点睛】导数与函数的单调性

(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则

y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.

(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.

（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；

（Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..

【答案】(Ⅰ)，圆;(Ⅱ)1.

【解析】

【分析】（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是，曲线是圆.

（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.

【详解】（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.

（Ⅱ）点满足：

所以，即.

因为，所以.

从而.

所以.

据此可得直线的斜率为.

【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.

23. 设函数，M为不等式的解集.

（1）求M；

（2）证明：当a，时，.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意给的函数解析式，分段去绝对值号，分别求解不等式解集即可完成求解；

（2）根据第（1）问求解出的范围，对要证明的式子进行平方，然后合并即可判断.

【小问1详解】

①当时，由得，

解得；即；

②当时，由得，

解得，即；

③当时，由得，

解得，此时，这样的x不存在.

所以的解集.

【小问2详解】

证明：由（1）知，当时，，，

从而，

因此，