北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定习题

1.3正方形的性质与判定随堂练习-北师大版数学九年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列说法中不正确的是

A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C．矩形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线相等

2．现有一张纸片，∠BAF＝∠B＝∠C＝∠D＝∠FED＝∠F＝90°，AB＝AF＝2，EF＝ED＝1．有甲、乙两种剪拼方案，如图1，2所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ）

A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以

C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以

3．如图，点是正方形中边上一点，于点，BF//DE，且交于点，若，，则的长是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，与交于点P，连接．若正方形的边长与的周长均为a，则矩形的面积是（   ）．

A． B． C． D．不能确定

5．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④，其中正确结论的序号为（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③

6．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为（     ）

A． B． C． D．

8．如图，点 为正方形 对角线 上一点，如果 ，那么 的度数是（   ）

A． B． C． D．

9．下列说法中,正确的是(     )

A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形正方形

10．下列说法正确的是(　　)

A．平行四边形的对角线互相平分且相等 B．矩形的对角线相等且互相平分

C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对称轴是正方形的对角线

二、填空题

11．如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=，则DP=          

12．如图，在中，，，分别在上，点在内．若四边形是边长为的正方形，则                    ．

13．已知在正方形中，，则正方形的面积为          ．

14．如图，正方形EFGH的顶点均在正方形ABCD的边上，若正方形EFGH的面积比正方形ABCD的面积小8，则AFBF＝     ．

15．在中，点O是对角线的中点．过点O作直线，直线分别交于点H，F，直线分别交于点G，E．连接．有下列四个结论：

①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是矩形；③四边形不可以是菱形；④四边形不可以是正方形，其中正确的是        ．（写出所有正确结论的序号）

16．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HOBG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（），其中正确结论的序号为     ．

17．如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为      .

18．如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为，则点A的坐标为            ．

19．已知正方形的对角线长为3，则它的面积为    

20．如图,正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为      

三、解答题

21．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积；

（2）在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使△AQB的面积等于四边形ABDC的面积的一半？若存在这样的点，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，点P是线段BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系，并证明你的结论．

22．【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则______；

【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；

【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．

①线段与的数量关系是_____________________．

②若，是的三等分点，则的面积为____________________．

23．如图，在正方形中，为对角线上一点，，垂足为，，垂足为．求证：．

24．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

（1）感知：根据教材内容，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．易证DE＝DF，AE＝AF．（不必证明）

（2）探究；如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，请探究AM、AN、AF三条线段的等量关系，并加以证明．

（3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，直接写出四边形AMDN的周长＝　 　．

25．问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图1，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；

(1)解决问题：AH与DF之间的数量关系是 ，位置关系是 ；

(2)深入研究：如图2正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：

(3)拓展延伸：如图3，在正方形ABCD旋转过程中（0 º＜α＜90 º），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC．

①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；

②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形．（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）