2022-2023学年北京八十中高一（上）期中数学试卷(1)

这是一份2022-2023学年北京八十中高一（上）期中数学试卷(1)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京八十中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
2．（5分）如图中可以表示以x为自变量的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．（5分）“x＜1”是“x2＜1”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．即不充分也不必要
4．（5分）在下面四个等式运算中，正确的是（　　）
A．3a﹣2=13a2 B．a23÷a13=3a
C．234=324 D．6(-8)6=-8
5．（5分）若函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥3
6．（5分）如图是函数y＝f（x）的图像，f（6）的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|x的单调减区间是（　　）
A．[1，2] B．[﹣1，0] C．[0，2] D．[2，+∞）
8．（5分）已知a=(35)25，b=(25)35，c=(25)25，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
9．（5分）某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（　　）吨．
A．20 B．30 C．40 D．60
10．（5分）已知函数f（x）=f(x-1)+2，x＞00，x=0f(x+2)+2，x＜0，则f（﹣3）＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
11．（5分）设区间A=[0，12)，B=[12，1]，函数f(x)=x+12，x∈A3(1-x)，x∈B，若x0∈A，且f（f（x0））∈A，则x0的取值范围是（　　）
A．(13，12) B．[0，14) C．[0，38] D．(14，12)
12．（5分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：
①每个集合都恰有5个元素；
②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（　　）
A．56 B．72 C．87 D．96
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．（5分）存在量词命题p：∃x∈[﹣2，2]，x²﹣4≤x的否定是 　 　．
14．（5分）设集合M＝{a2，a}，N＝{1}，若N⊆M，则a的值为 　 　．
15．（5分）函数f（x）=x+1x的定义域是　 　．
16．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（8，4），则α＝　 　．
17．（5分）除函数y＝x，x∈[1，2]外，再写出一个定义域和值域均为[1，2]的函数：　 　．
18．（5分）设关于x的不等式ax2﹣2x+a≤0的解集为S．
（1）若S中有且只有一个元素，则a的值为 　 　；
（2）若0∈S且﹣1∉S，则a的取值范围是 　 　．
19．（5分）用max{a，b}表示a，b两个实数中的最大值．设f（x）＝max{x+2，x2﹣3x+5}，则函数f（x）的最小值是 　 　．
20．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调，且f（1）＝2，f（﹣2）＝3，给出下列四个结论：
①f（x）在（﹣∞，0]上单调递减；
②存在x∈（﹣1，1），使得f（x）≥2；
③不等式2＜f（x）＜3的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）；
④关于x的方程[f（x﹣1）]2﹣5f（x﹣1）+6＝0的解集中所有元素之和为4．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题：本大题共4小题，第21题、第23题各13分，第22题、第24题各12分，共50分．
21．（13分）已知集合A＝{x|x＞3a+1}，集合B＝{x|x2﹣5x+6＞0}．
（1）当a＝﹣3时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
22．（13分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2，且f（1）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，4]时，函数f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．
23．（12分）已知函数f(x)=x-mnx2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f(1)=12．
（1）求m，n的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若实数t满足不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0，求t的取值范围．
24．（12分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y＝ax（a＞1）；②y＝x3．
（2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）＝f（n）＝0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，⋯，n﹣1}有f（i）≤0；
（3）在（2）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（i）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．

2022-2023学年北京八十中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．【解答】解：A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选D．
2．【解答】解：由函数的定义可知，
每一个x有且只有一个函数值与之对应，
故选：C．
3．【解答】解：因为x2＜1⇔﹣1＜x＜1，
所以“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．
故选：B．
4．【解答】解：对于选项A：3a﹣2=3⋅1a2=3a2，故选项A错误，
对于选项B：a23÷a13=a23-13=a13=3a，故选项B正确，
对于选项C：234=423，故选项C错误，
对于选项D：6(-8)6=686=8，故选项D错误，
故选：B．
5．【解答】解：由二次函数性质知：f（x）对称轴为x=-2(a-1)2=1-a，
∴1﹣a≥4，解得：a≤﹣3．
故选：A．
6．【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的图象为两端折线，
在区间[3，9]上，有f（3）＝6，f（9）＝0，
则有f(6)-f(9)6-9=f(3)-f(9)3-9，解可得f（6）＝3；
故选：A．
7．【解答】解：函数f（x）＝|x﹣2|x=-x2+2x，x≤2x2-2x，x＞2的图象如下图所示：

由图可得：函数的单调减区间是[1，2]，
故选：A．

8．【解答】解：∵y=x25在（0，+∞）为增函数，
∴(35)25＞(25)25，即a＞c，
∵y＝（25）x为减函数，
∴(25)35＜(25)25，即b＜c，
∴a＞c＞b，
故选：C．
9．【解答】解：由题意可知，一年总运费为900x×3=2700x，
故一年的总运费与总存储费用之和为3x+2700x≥23x⋅2700x=180，
当且仅当3x=2700x，即x＝30时，等号成立，
故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨．
故选：B．
10．【解答】解：依题意f（﹣3）＝f（﹣3+2）+2＝f（﹣1）+2＝f（﹣1+2）+2+2＝f（1）+4＝f（1﹣1）+2+4＝f（0）+6＝6．
故选：D．
11．【解答】解：∵0≤x0＜12，∴f（x0）＝x0+12∈[12，1]＝B，
∴f[f（x0）]＝3（1﹣f（x0））＝3[1﹣（x0+12）]＝3（12-x0）．
∵f[f（x0）]∈A，∴0≤3（12-x0）＜12，∴13＜x0≤12．
又∵0≤x0＜12，∴13＜x0＜12．
故选：A．
12．【解答】解：由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，
当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}，
X1+X2+X3取得最小值：X1+X2+X3＝8+18+13＝39，
当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，
X1+X2+X3＝16+16+16＝48，
当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，
X1+X2+X3取得最大值：X1+X2+X3＝16+19+22＝57，
所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57＝96，
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题p：∃x∈[﹣2，2]，x²﹣4≤x的否定是：∀x∈[﹣2，2]，x²﹣4＞x．
故答案为：∀x∈[﹣2，2]，x²﹣4＞x．
14．【解答】解：M＝{a2，a}，N＝{1}，
若N⊆M，a2＝1或a＝1，
解得a＝1或a＝﹣1，
当a＝1时不满足集合元素互异性，舍去，
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：由x+1≥0x≠0，得x≥﹣1且x≠0．
∴函数f（x）=x+1x的定义域为：[﹣1，0）∪（0，+∞）；
故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．
16．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象过点（8，4），
∴8α＝4，即23α＝22，解得：α=23，
故答案为：23．
17．【解答】解：定义域和值域均为[1，2]的函数为y＝3﹣x，x∈[1，2]，
故答案为：y＝3﹣x，x∈[1，2]（答案不唯一）．
18．【解答】解：（1）关于x的不等式ax2﹣2x+a≤0的解集为S，
又S中有且只有一个元素，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4a2＝0，解得a＝±1；
当a＝﹣1时，ax2﹣2x+a≤0的解集为R，故舍，所以a＝1．
（2）因为0∈S且﹣1∉S，
所以a≤0a×(-1)2-2×(-1)+a＞0，解得﹣1＜a≤0，
所以实数a的取值范围为（﹣1，0]．
故答案为：（1）a＝1；（2）（﹣1，0]．
19．【解答】解：由题意f（x）=x+2，x+2≥x2-3x+5x2-3x+5，x2-3x+5＞x+2=x+2，1≤x≤3x2-3x+5，x＜1，或x＞3，
因为f（x）＝x2﹣3x+5在（﹣∞，1）上单调递减，故f（x）＞f（1）＝3，在（3，+∞）上单调递增，故f（x）＞f（3）＝5；f（x）＝x+2在[1，3]上单调递增，故f（x）≥f（1）＝3，
综上可知，f（x）min＝f（1）＝3．
故答案为：3．
20．【解答】解：因为f（x）为偶函数，且f（﹣2）＝3，所以f（2）＝f（﹣2）＝3，
又因为f（x）在[0，+∞）上单调，f（1）＝2＜f（2），所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减，故①正确；
因为f（x）在（0，1）上单调递增，f（1）＝2，故此时f（x）＜2，则当x∈（﹣1，1）时，f（x）＜2，故②错误；
当x∈（0，+∞）时，不等式2＜f（x）＜3，即f（1）＜f（x）＜f（2），则1＜x＜2，
由f（x）为偶函数，则不等式2＜f（x）＜3的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2），故③正确；
方程[f（x﹣1）]2﹣5f（x﹣1）+6＝0可化为[f（x﹣1）﹣2][f（x﹣1）﹣3]＝0，则f（x﹣1）＝2或f（x﹣1）＝3，
当f（x﹣1）＝2时，则x﹣1＝±1，解得x＝2或0，
当f（x﹣1）＝3时，则x﹣1＝±2，解得x＝3或﹣1，
此时2+0+3+（﹣1）＝4，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共4小题，第21题、第23题各13分，第22题、第24题各12分，共50分．
21．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，集合A＝{x|x＞﹣8}，集合B＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＜2或x＞3}，
所以A∩B＝{x|﹣8＜x＜2或x＞3}；
（2）因为A∪B＝B，则A⊆B，
所以3a+1≥3，解得a≥23，
所以实数a的取值范围为[23，+∞)．
22．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，f（1）＝a+b+c＝0，
所以2a=2a+b=-2a+b+c=0，
解得a＝1，b＝﹣3，c＝2，
所以f（x）＝x2﹣3x+2；
（2）由题意得x2﹣3x+2＞kx2在x∈[1，4]时恒成立，
所以k＜1-3x+2x2在x∈[1，4]时恒成立，
令t=1x，则t∈[14，1]，
所以k＜2t2﹣3t+1在t∈[14，1]时恒成立，
根据二次函数的性质可知，当t=34时，2t2﹣3t+1取得最小值-18，
故k＜-18，
所以k的取值范围为{k|k＜-18}．
23．【解答】解：（1）因为函数f(x)=x-mnx2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f(1)=12，
则f（1）=1-m1+n=12且f（0）＝﹣m＝0，解得m＝0，n＝1，
所以函数f(x)=xx2+1，
检验：f(-x)=-xx2+1=-f(x)，
故函数为奇函数，
所以m＝0，n＝1；
（2）f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
证明如下：对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=(x1x2-1)(x2-x1)(x12+1)(x22+1)，
由﹣1≤x1＜x2≤1，得x2﹣x1＞0，x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，
又x12+1＞0，x22+1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）不等式可化为f（2t﹣1）＜﹣f（t），又f（x）是奇函数，所以f（2t﹣1）＜f（﹣t），
又f（x）是增函数，且x∈[﹣1，1]，所以，解得0≤t＜13，
所以t的取值范围是[0，13)．
24．【解答】解：（1）①函数f（x）＝ax（a＞1）具有性质P，f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=ax-1+ax+1-2ax=ax(1a+a-2)，
因为a＞1，ax(1a+a-2)＞0，
即f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），
此函数为具有性质P；
②函数f（x）＝x3不具有性质P，
例如，当x＝﹣1时，f（x﹣1）+f（x+1）＝f（﹣2）+f（0）＝﹣8，2f（x）＝﹣2，
所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），
此函数不具有性质P．
（2）证明：假设f（i）为f（1），f（2），⋯，f（n﹣1）中第一个大于0的值，
则f（i）﹣f（i﹣1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N*，
均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），
所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥⋯≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，
所以f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+⋯+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，
与f（n）＝0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，⋯，n﹣1}有f（i）≤0．
（3）不成立．
例如，f(x)=x(x-n)，x为有理数x2，x为无理数，
证明：当x为有理数时，x﹣1，x+1均为有理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）＝2，
当x为无理数时，x﹣1，x+1均为无理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2＝2，
所以，函数f（x）对任意的x∈R，
均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P．
而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．
所以，在（2）的条件下，
“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．
如f(x)=0(x为有理数)1(x为无理数)，f(x)=0(x为整数)1(x为非整数)，f(x)=0(x为整数)x2(x为非整数)等．
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