2022-2023学年北京市陈经纶中学高一（上）期中数学试卷(2)

这是一份2022-2023学年北京市陈经纶中学高一（上）期中数学试卷(2)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市陈经纶中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合M满足∁UM＝{1，2}．则（　　）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
2．（5分）若实数a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2＞b2 B．ac＞bc C．ab＞1 D．a﹣c＞b﹣c
3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2﹣x+14≥0”的否定是（　　）
A．∀x∉R，x2﹣x+14＜0 B．∃x∈R，x2﹣x+14＜0
C．∃x∈R，x2﹣x+14≥0 D．∀x∈R，x2﹣x+14＜0
4．（5分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．y＝﹣x2 B．y=x12 C．y＝x﹣1 D．y＝x3
5．（5分）设函数f（x）=-x，x≤0x2，x＞0．若f（a）＝4，则实数a＝（　　）
A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2
6．（5分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）如图是函数y＝f（x）的图象，f（f（2））的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）函数f（x）=1-x2x3的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷，对函数论、三角级数论等都有重要贡献．狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D(x)=1，x为有理数0，x为无理数，则下列关于狄利克雷函数D（x）的判断错误的是（　　）
A．对任意有理数t，D（x+t）＝D（x）
B．对任意实数x，D（D（x））＝1
C．D（x）既不是奇函数也不是偶函数
D．存在实数x，y，D（x+y）＝D（x）+D（y）
10．（5分）已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣x]＝4，则f（3）的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
11．（5分）计算：64-23的值是　 　．
12．（5分）函数f（x）=xx-1的定义域为 　 　．
13．（5分）已知集合A＝{x|x﹣a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为 　 　．
14．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+1在区间[1，+∞）上单调递增，则f（﹣1）的取值范围是 　 　．
15．（5分）若x＞1，则4x+1x-1的最小值是　 　．
16．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果实数x0满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点，则在下列集合中：
①{x|x∈R，x≠0}；②{x∈Z|x≠0}；③{x|x=1n，n∈N*}；④{x|x=nn+1，n∈N*}，以0为聚点的集合有 　 　．
三、解答题：本大题共5个小题，共70分．
17．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2x﹣4≥x﹣2}．
（1）求∁U（A∩B）；
（2）若集合C＝{x|2x+a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
18．（14分）已知函数f（x）＝（ax﹣2）（x+1）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[0，2]上的最值；
（Ⅱ）当a≤0时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
19．（14分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：y=920vv2+3v+1600(v＞0)．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
20．（15分）已知定义在[﹣1，1]上的奇函数f(x)=ax+bx2+1，且f(1)=12．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义证明之；
（3）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（15分）已知集合S＝{1，2，3，⋯，1000}，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），若x﹣y都不能整除x+y，则称集合A是S的“好子集”．
（1）分别判断数集P＝{2，4，6，8}与Q＝{1，4，7}是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
（2）证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；
（3）求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．

2022-2023学年北京市陈经纶中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，又∁UM＝{1，2}，
∴M＝{3，4，5}，
故选：B．
2．【解答】解：因为a，b，c为实数，且a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确，
当a＝﹣1，b＝﹣2时，a2＜b2，ab=12＜1，故A，C错误，
当c＝0时，ac＝bc，故B错误，
故选：D．
3．【解答】解：命题为全称命题，则全称命题“∀x∈R，x2﹣x+14≥0”的否定是∃x∈R，x2﹣x+14＜0，
故选：B．
4．【解答】解：A．函数为偶函数，不满足条件．
B．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．
C．函数为奇函数，且当x＞0时，y=1x为减函数，满足条件．
D．函数为奇函数，当x＞0时为增函数，不满足条件．
故选：C．
5．【解答】解：∵f（x）=-x，x≤0x2，x＞0，f（a）＝4，
∴当a＞0时，f（a）＝a2＝4，解得a＝2或a＝﹣2（舍）；
当a≤0时，f（a）＝﹣a＝4，解得a＝﹣4．
∴a＝﹣4或a＝2．
故选：B．
6．【解答】解：若函数函数f（x）在[0，1]上单调递增，由单调性的定义可知，此时函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），即充分性成立；
若函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），则函数f（x）在[0，1]上不一定单调递增，比如函数f(x)=(x-14)2，故必要性不成立．
综上，“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的充分不必要条件．
故选：A．
7．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y＝f（x）＝2x，∴f（2）＝4．
当3＜x≤9时，由 y﹣0=6-03-9 （x﹣9），可得 y＝f（x）＝9﹣x，故 f（ f（2））＝f（4）＝9﹣4＝5，
故选：C．
8．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
又f（﹣x）=1-(-x)2(-x)3=-1-x2x3=-f(x)，∴f（x）为奇函数，排除B，C；
又f（12）=1-1418=6＞0，f（1）＝0，∴排除D．
故选：A．
9．【解答】解：A：若x为有理数，则x+t为有理数，D（x）＝D（x+t）＝1，D（D（x））＝D（1）＝1，
若x为无理数，则x+t为无理数，D（x）＝D（x+t）＝0，D（D（x））＝D（0）＝1，AB正确；
若x为有理数，则﹣x为有理数，D（x）＝D（﹣x），若x为无理数，﹣x为无理数，D（x）＝D（﹣x），即D（x）为偶函数，C错误；
当x，y无无理数且x+y也为无理数时，D（x+y）＝0，D（x）+D（y）＝0+0＝0，D正确．
故选：C．
10．【解答】解：由f[f（x）﹣x]＝4，且f（x）是单调函数可知f（x）﹣x必是常数，
设f（x）﹣x＝k（k为常数），得f（x）＝x+k，且f（k）＝k+k＝4，解得k＝2，
∴f（x）＝x+2，f（3）＝5．
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
11．【解答】解：原式=(26)-23=2﹣4=116．
故答案为116．
12．【解答】解：要使函数有意义，则x≥0x-1≠0，
得x≥0x≠1，即x≥0且x≠1，
即函数的定义域为{x|x≥0且x≠1}，
故答案为：{x|x≥0且x≠1}．
13．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣a≤0}＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，A∩B≠∅，
∴a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
14．【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+1对称轴为x=-a2，
∵函数f（x）＝x2+ax+1在区间[1，+∞）上单调递增，图象开口向上，
∴-a2≤1，解得a≥﹣2，
∵f（﹣1）＝2﹣a，
∴2﹣a≤4，
故f（﹣1）的取值范围是（﹣∞，4]．
故答案为：（﹣∞，4]．
15．【解答】解：x＞1，则4x+1x-1=4（x﹣1）+1x-1+4≥24(x-1)⋅1x-1+4＝8，
当且仅当4（x﹣1）=1x-1即x=32时取等号，此时取得最小值8．
故答案为：8．
16．【解答】解：对于①，集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a＞0，都存在x=a2（实际上任意比a小的数都可以），
使得0＜|x﹣0|=a2＜a，
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；
对于②，{x|x∈Z，x≠0}，对于某个实数a＞0，比如a＝0.5，
此时对任意的x∈{x|x∈Z，x≠0}，都有|x﹣0|≥1，
也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是{x|x∈Z，x≠0}的聚点；
对于③，{x|x=1n，n∈N*}，对任意的a＞0，都存在n＞1a，即1n＜a，
使0＜|x﹣0|=1n＜a，∴0是集合{x|x=1n，n∈N*}的聚点；
对于④，{x|x=nn+1，n∈N*}，nn+1=1-1n+1，
∴nn+1随着n增大而增大，
∴nn+1的最小值为11+1=12，故当a＜12时，即不存在x，使得0＜|x﹣0|＜a，
∴0为聚点的集合有①③．
故答案为：①③．
三、解答题：本大题共5个小题，共70分．
17．【解答】解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，
∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|﹣1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，
∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥3}；
（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞-12a，
∴C＝{x|x＞-12a}，
∵B∪C＝C，
∴B⊆C，
∴-12a＜2，解得a＞﹣4；
故a的取值范围为（﹣4，+∞）．
18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-12)2-94，x∈[0，2]．
在区间[0，12]上，f（x）单调递减；在(12，2]上，f（x）单调递增．
所以，当x=12时，f(x)min=f(12)=-94；
又f（0）＝﹣2，f（2）＝0＞﹣2，
所以当x＝2时，f（x）max＝0；
（Ⅱ）f（x）＞0，即（ax﹣2）（x+1）＞0，
当a＝0时，得﹣2（x+1）＞0，x＜﹣1，解集为（﹣∞，﹣1）；
当a≠0时，由（ax﹣2）（x+1）＝0，得x1=2a，x2＝﹣1，
①a＜﹣2时，2a＞-1，解集为(-1，2a)，
②﹣2＜a＜0时，2a＜-1，解集为(2a，-1)，
③a＝﹣2时，2a=-1，解集为∅．
19．【解答】解：（1）函数可化为y=920v+1600v+3≤92080+3=92083
当且仅当v＝40时，取“＝”，即ymax=92083≈11.08千辆，等式成立；
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使920vv2+3v+1600≥10，
即v2﹣89v+1600≤0⇒v∈[25，64]
20．【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，
所以f(-x)=-ax+b(-x)2+1=-f(x)=-ax+bx2+1，
整理得﹣ax+b＝﹣ax﹣b，
解得b＝0，
又因为f(1)=a1+1=12，
解得a＝1，
综上所述，a＝1，b＝0；
（2）f（x）在（0，1）上单调递增，
证明如下：∀x1＜x2∈（0，1），
则f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=x1(x22+1)-x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x1-x2)+x1x2(x2-x1)(x12+1)(x22+1)=(x1-x2)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1)，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
又∵∀x1，x2∈（0，1），
∴0＜x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增；
（3）由f（x）是奇函数，
不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
又f（x）在[﹣1，1]上是增函数，
则﹣1≤t﹣1＜﹣t≤1，
解得0≤t＜12．
所以t的取值范围是[0，12)．
21．【解答】解（1）由于4﹣2＝2整除4+2＝6，所以集合P不是集合S的“好子集”；
由于4﹣1＝3不能整除4+1＝5，7﹣1＝6不能整除7+1＝8，7﹣4＝3不能整除7+4＝11，
所以集合Q是集合S的“好子集”；
（2）（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以x﹣y≠1，
假设存在A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），使得x﹣y＝2，
则x与y同为奇数或同为偶数，从而x+y是偶数，
此时，x﹣y＝2能整除x+y，与A是S“好子集”矛盾，
故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；
（3）设集合A＝{a1，a2，a3，⋯，an}（a1＜a2＜a3＜⋯＜an）是集合S的一个“好子集”，
令：ai+1﹣ai＝bi，（i＝1，2，3，…n﹣1），
由（2）知bi≥3，（i＝1，2，3，…n﹣1）
于是：an﹣a1＝b1+b2+⋯+bn﹣1≥3（n﹣1）．
从而：3（n﹣1）≤an﹣a1≤1000﹣1＝999
所以：n≤334．
另一方面：取A＝{1，4，7，⋯，997，1000}（证明是好子集），
此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，
故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334．
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