安徽省县中联盟2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（月考）

2023~2024学年安徽县中联盟高二10月联考

数学试题

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：人教版必修第一册､第二册，选择性必修第一册2.2结束.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知是虚数单位，，则（    ）

A.    B.    C.2    D.

2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ）

A.    B.    C.    D.

3.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转后与轴交于点，要使直线平移后经过点，则应将直线（    ）

A.向左平移个单位长度    B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度    D.向右平移个单位长度

5.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知向量，集合，其中，则（    ）

A.

B.

C.若，则为钝角

D.若，则

8.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（    ）

A.

B.

C.为偶函数

D.不等式的解集为

10.如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（    ）

A.点关于直线的对称点的坐标为

B.点关于点的对称点的坐标为

C.夹角的余弦值为

D.平面的一个法向量的坐标为

11.已知，点及直线，则（    ）

A.直线恒过的定点在直线上

B.若直线在两坐标轴上的截距相等，则

C.若直线过第二､四象限，则

D.若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则

12.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.都是周期函数，且有相同的最小正周期

B.若在上有2个不同实根，则的取值范围是

C.若方程在上有6个不同实根，则的值可以是

D.若方程在上有5个不同实根，则的取值范围是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

14.已知平面的一个法向量，点，且，则__________.

15.已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________.

16.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.

17.（本小题满分10分）

已知直线.

（1）若，求的值；

（2）若，求过原点与点的直线的方程.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.

（1）利用空间向量证明；

（2）求的长.

19.（本小题满分12分）

2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名：

（1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数；

（2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）；

（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件与事件是否相互独立.

20.（本小题满分12分）

已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.

（1）求的最小值；

（2）若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知中，内角所对的边分别为，且.

（1）若的平分线与边交于点，求的值；

（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.

22.如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.

2023~2024学年安徽县中联盟高二10月联考•数学

参考答案､提示及评分细则

1.D  由知，则.

2.C  因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选C.

3.A  由题可知是边长为的正三角形，所以

，故选A.

4.D  设直线的倾斜角为，则，旋转后的直线斜率为，又点坐标为，所以旋转后的直线方程为，因为直线过点，所以把直线向右平移个单位长度后经过点，故选D.

5.B  因为共面，所以存在实数，使得，即，所以在上的投影向量的模为，故选B.

6.C  设点关于直线的对称点为，则，解得.由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选C.

7.D  设，令得，所以错误；为锐角，C错误；，D正确.故选D.

8.A  因为，所以，故选A.

9.AD  由，且在上单调递减，知，A正确；由奇函数图象关于原点对称可知在上单调递减，且，则，B错误；为非奇非偶函数，C错误；画出简易图象知不等式的解集为，D正确.故选AD.

10.AD  对于A，设点关于直线的对称点为，则四边形为正方形，所以坐标为，A正确，对于，设点关于点的对称点为，则中点为，由得错误；对于，由，得，所以夹角的余弦值为错误；对于，因为，设平面的一个法向量的坐标为，，则，取得平面的一个法向量的坐标为，D正确，故选AD.

11.CD  对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为，直线斜率存在时，其方程为，得其过定点，综上直线过点，其不在直线上，错误；对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1，当直线过原点时，直线不过原点且斜率为-1时，错误；对于，直线过第二､四象限，则直线斜率，正确；若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补，又直线过定点，经分析知只有时满足题意，此时直线的斜率为，D正确.故选CD.

12.ABD  对于都是周期函数，且最小正周期都是2，正确；对于时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，因为时，所以，所以的取值范围是，B正确；都是最小正周期为2的周期函数，在上两函数图象有1个交点，在每个周期上两函数图象有2个交点，所以方程在上有5个实根，C错误；方程在上有5不同实根，，所以的取值范围是，D正确.故选ABD.

13.必要不充分

14.  因为，所以，因为，所以，所以，所以.

15.  因为点分别在直线上移动，所以0，两式相减得，所以直线的斜率，因为，所以，所以，即直线斜率的取值范围是.

16.  因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则，所以，解得，

所以该截角四面体的外接球的表面积为.

17.解：（1）因为直线斜率为，且，

所以，直线斜率为，

由得，解得或，

当或时与均不重合，所以的值为3或-1.

（2）因为直线斜率为，且，

所以，直线斜率为，

由得，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

18.（1）证明：设，则构成空间的一个基底，

，

，

所以

，

所以.

（2）解：由（1）知，

所以

.

所以.

19.解：（1）这8家企业综合得分的极差为，

因为，所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列，则第45百分位数为第4个数据77.2.

（2），

.

（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，前5个数据依次为：，从中任取2个不同数据，结果有：

，，共有10种，

，

，

，

，

，

，

，即事件与事件相互独立.

20.解：（1）因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.

所以，设直线的倾斜角为，

则，

所以，

所以当，即时，取得最小值4，

（2）直线的方程为，即，

所以，

所以，

整理得，

因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，

所以，解得，

所以的取值范围是.

21.解：（1）可得，

解得，

设，则，

由余弦定理得，

所以.

因为为的平分线，

所以，

又，则.

（2）因为，由（1）得，

设，

由余弦定理得，

所以，

因为，

所以，当时取等号，

所以，

所以，当时取等号，

所以的最小值为.

22.解：（1）因为四棱锥是正四棱锥，连接交于点，则，

连接，则平面，所以两两垂直.

如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设，因为，则，

设与交于点，则为的中点，

所以，

，

所以，

设平面的一个法向量为，则有，

得，

取，得，

直线的一个方向向量为，

设与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）因为四棱柱的体积为，所以，

由（1）知，，

.

因为，则，

所以，

，

设平面的一个法向量为，则有，得，

取，得，

所以点到平面的距离为.