福建省福州市文博中学2021-2022学年九年级下学期期中数学试题

2021-2022学年第二学期

初三年级半期考数学科考试（题目卷）

（完卷时间：120分钟，总分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．是一个（    ）

A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数

2．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底各地已累计完成投资1002亿元，可以表示为（    ）元．

A． B． C． D．

4．不等式组的整数解的个数是（    ）

A．0个 B．2个 C．4个 D．5个

5．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（    ）

（第6题）

A．俯视图的面积为3  B．左视图的面积为4

C．主视图的面积为4  D．三种视图的面积都是4

7．如图，已知的对角线，将且ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（    ）

（第7题）

A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm

8．如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且则cos∠AEC的值为（    ）

（第8题）

A． B． C． D．

9．已知实数a是一元二次方程的根，则的值为（    ）

A．48 B．49 C．50 D．51

10．已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点．则（    ）

A．当时，的取值范围是

B．当时，的取值范围是

C．当时，的取值范围是

D．当时，的取值范围是

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．多项式分解因式的结果是______

12．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为______．

13．数据1，2，0，4，6，4的中位数为a，众数为b，则=______．

14．已知一次函数的图象如图所示，反比例函数，当时，随x的增大而______（填“增大”或“减小”）．

（第14题）

15．如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽（重叠部分忽略不计），则圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是______cm．

（第15题）

16．如图，正方形OABC中，A，C分别在x，y轴正半轴上，反比例函数的图象与边BC，BA分别交于点D，E，且，对角线AC把分成面积相等的两部分，则k=______．

（第16题）

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17．（8分）计算：

18．（8分）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F为DE上一点，若，．求证：．

19．（8分）先化简，再求值：，其中．

20．（本题满分8分）

如图，等腰，，射线AD与BC交于点D．

（1）在射线AD上求作一点E，使得；

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若，，求BE的值．

21．（本题满分8分）

在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了3500元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了2600元．

（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？

（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？

22．（本题满分10分）为了监控一条生产线上某种零件的生产质量，检验员每隔25分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的20个零件尺寸的数据统计：

零件尺寸的数据为x，按照生产标准，需对超标零件进行整改，整改费用如表：

（1）求所抽取的20个零件出现超标零件的频率；

（2）若从超标零件中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率．

23．（本题满分10分）如图，AB为的直径，C，D为上不同于A，B的两点，过点C作的切线CF交直线AB于点F，直线于点E．

（1）求证：；

（2）若，，求BD的长．

24．（本题满分12分）如图1，在中，，，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作，射线DE交BC边于点E，过点B作交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：；

（2）当时（如图2），求AD的长；

（3）点D在AC边上运动的过程中，若，则CD=______．

25．（本题满分14分）

已知，点在抛物线上，其中．

（1）若，点在抛物线上，求m的值；

（2）记O为坐标原点，抛物线的顶点为M．若，点在此抛物线上，求点M的坐标；

（3）若，且，求抛物线的解析式．

答案

一、选择题：1-5：DCACD    6-10：CCDAD．

二、填空题：11．    12．    13．

14．减小    15．    16．．

三、解答题：17．原式=

18．∵四边形ABCD是平行四边形

∴，

∴

∵，

∴

∴在和中

∴

∴

19．原式=

当时，

原式

20．（1）如图，点E即为所求。

（2）∵

∴∴∴，

21．（1）设每次买酒精x瓶，消毒液y瓶

∴解得：．

（2）设买消毒液m瓶，则买酒精2m瓶．

∴

解得：

∴m可以取的最大值为111．

∴最多能购买消毒液111瓶．

22．（1）频率为．

（2）把零件尺寸为107.5毫米、110.2毫米、107.8毫米、110.4毫米的4个零件记为A、B、C、D．

树状图如下：

共有12种结果，费用最低的有2种，即BD、DB．

∴概率为．

23．

（1）证明：连接OC，

∵，∴，∴，

∵CF切O于C，OC是O的半径，

∴，∵，∴，

∴，

∴；

（2）连接AD，

∵AB为O的直径，∴，即，

∵，∴，∴，

在中，∵，，，

∴，

∵，

∴，∴，

设O的半径为r，则，解得，

在中，，

，

∴．

24．（1）∵

∴

∵，

∴，∴

（2）作于M

在中，

∴

即

∴

∵，

∴

∵，∴

∵，

∴，∵

∴

∴，∴

（3）作交AC于H，交AC于M，交FH于N

∴四边形BMHN为矩形

∴，

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

当时，由点D不与C重合，可知为等腰三角形

∵∴

25．（1）∵，∴．

将代入，得．

或．

∵，∴．

（2）∵，∴抛物线．

将代入，得．即．

∴抛物线的对称轴是．

设对称轴与x轴交于点N，根据抛物线的对称

性得，是等腰三角形，

∴．

∵，∴．

∴当时，；

当时，．

∵，∴，

（3）方法一：∵点在抛物线上，

∴①

∵，

∴②，③，④

由③得，⑤，

由④得，⑥

将⑤⑥代入方程①得，

整理得，．

解得，．

∵，∴．

将代入③得，，

将代入④得，．

∵，∴．∴．

∴，．

∴抛物线的解析式为．