重庆市万州沙河中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

万州沙河中学2023-2024学年度高二十月月考

数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知点，则直线的斜率是（    ）

A． B． C．3 D．

2．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

3．若向量，向量，则（    ）

A． B． C． D．

4．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则•的值为（　　）

A． B． C．1 D．2

6．已知点A在基底下的坐标为（8,6,4），其中， ，则点A在基底下的坐标为(　　)

A．(12,14,10)      B．(10,12,14)        C．(14,10,12)        D．(4,2,3)

7．已知过点的直线与轴、轴分别交于，两点．若为线段的中点，则这条直线的方程为（    ）

A．    B．      C．    D．

8．如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（    ）

A． B．16 C．8 D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9．已知直线，则下列说法正确的是（    ）

A．直线过点 B．直线的斜率为

C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为

10．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ）

A． B． C．1 D．

12．已知空间中三点，，，则（    ）

A．

B．与方向相反的单位向量的坐标是

C．

D．在上的投影向量的模为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知直线和直线平行，则实数的值为            .

14．如图，在正方体中，E为AB中点，F为中点，异面直线EF，所成角的余弦值为        .

15．已知，，，则点到直线的距离为     .

16．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为           .

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

18．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：

(1)斜率是且经过点；

(2)经过两点；

(3)在轴上的截距分别为，.

19．如图，在直三棱柱中，，分别是的中点.

（1）求向量的模；

（2）点P是线段上一点，且，求证：平面.

20．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点.

(1)求平面的一个法向量

(2)点到平面的距离；

(3)若G是棱上一点，当平面时，求的长.

21．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．

22．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24，点为线段上一动点，且交于点.

（1）求直线斜率的大小；

（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；

（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案：

1．D

【详解】因为点，所以.

2．B

【详解】直线的斜率为，则由，知，即

3．C

【详解】因为向量，向量，

则，

则，

4．C

【详解】∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.

对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D错误.

5．B

【详解】解：建立如图所示坐标系,则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），

故（1，0，0），（1，1，1），则•1，

6．A

【详解】∵点A在基底下坐标为(8,6,4)，

∴. ＝

∴点A在基底下的坐标为(12,14,10)．

7．C

【详解】设所求直线的方程为．令，得，所以点坐标为，

又因为为线段的中点，点纵坐标为0，所以根据中点坐标公式得，解得，所求直线的方程为．

8．D

【详解】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，

则四边形为平行四边形.

线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.

，则为二面角的平面角，即

，如图所示.

为等边三角形，

，，，平面，平面

平面

又平面

在中

9．BD

【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确；

又由，得到，所以直线斜率为，在上的截距为，所以选项BD正确，

又由直线，令，得到，所以选项C错误，

10．AD

【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；

若，则，即有，可得，

解得，则，故B错误，D正确．

11．ACD

【详解】

当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则

当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则

故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或

12．AB

【详解】由题， .

A选项，，则，故A正确；

B选项，，则 ，故B正确；

C选项，设，则，即不存在，故C错误；

D选项，，则，故D错误.

13．

【详解】因为直线和直线平行，则，解得.

14．

【详解】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，

设正方体的棱长为2，则，，，，

则，，

.

异面直线EF，所成角的余弦值为.

15．

【详解】解：,,

在的投影为，

点到直线的距离为,

16．6

【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时，

所以，由方程组，解得，，

所以，，两点之间的切比雪夫距离为6.

17．【详解】解：（1），

∴，

∴.

（2），

∵，

∴，

∴，

∴.

18．【详解】

（1）所求直线方程为，化为一般式方程为；

（2）所求直线方程为，化为一般式方程为；

（3）所求直线方程，化为一般式方程为.

19．【详解】

由题意，两两垂直，以C为原点，如图建立空间直角坐标系

则

（1）因为N，H分别为中点，因此

即：

（2）由题意：

设平面的法向量为：

则令

，又

平面

20．【详解】（1）如图，以顶点为原点，分别以线段所在直线为轴建立坐标系.

根据题意，图中各点坐标可表示为

设平面的法向量为，则，

    即，   取，

平面的一个法向量为

（2）设点到平面的距离为，则，

所以点 到平面 的距离.

（3）根据（1）可设点的坐标为，点的坐标为,

当平面时，   即，

解得.

故的长为

21．【详解】（1）是正三角形，为的中点，

．

又是直三棱柱，

平面ABC，

．

又，

平面．

（2）连接，由（1）知平面，

∴直线与平面所成的角为，

．

是边长为2的正三角形，则，

．

在直角中，，，

．

建立如图所示坐标系，则，，，，．

，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．

，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．

设平面与平面夹角为，则

．

平面与平面夹角的余弦值为．

22．【详解】（1）显然直线斜率存在，设直线方程为，

则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，

于是得，解得，

所以直线斜率为；

（2）由（1）知直线的方程为：，即，，

因，则，

又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点，

所以时，点为线段中点，且；

（3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图，

当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合，

设，因，则，于是有，解得，此时，

当时，由，知四边形为正方形，

设，则，于是有，解得，此时，

当时，由，得，即，

设，则，直线上点，

显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时，

综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形.