江西省赣州市南康区2022届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含答案)

赣州市南康区2021~2022学年度第一学期期末检测

九年级数学试题卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）

1. 以下为四个银行的标志，其中是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

2. 下列事件为必然事件的是（    ）

A. 购买二张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放极限挑战

C. 抛掷一枚硬币，正面向上 

D. 一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球

【答案】D

3. 如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（    ）

A. O B. P C. Q D. M

【答案】B

4. 一元二次方程配方后可化为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

5. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）．图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的．那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6. 已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是（    ）

A. 最小，最大 B. 最小，最大

C. 最小，最大 D. 无法确定

【答案】A

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 从，，3中随机任取一数，取到无理数的概率是__________．

【答案】

8. 已知是方程的解，则________．

【答案】-6

9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的弧交AB于点E，交BC于点D，则∠DCE的度数为_________°．

【答案】18

10. 若m，n是方程两个根，则的值为_________．

【答案】6

11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到菱形AEFG．当点E恰好落在AC上时，设EF与CD交于点H，则HE＝_________．

【答案】##

12. 若二次函数在－2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是_________．

【答案】或4．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. （1）解方程：．

（2）如图，已知弓形弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．

【答案】（1），；（2）r＝5．

【详解】解：（1）∵x（x－4）＝0，

∴x＝0或x－4＝0，

∴，．

（2）并经过圆心O，

∴，，

在Rt△OAD中，，

解得r＝5．

14. 已知点与点关于原点对称，求点P、Q两点的坐标，并直接写出PQ的长．

【答案】点P（－12，－6），点Q（12，6），PQ的长为

【详解】∵点与点关于原点对称，

∴，

解得，

∴点P（－12，－6），点Q（12，6）．

∴PQ．

15. 如图，△ABC内接于，AB＝AC，D是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出△ABC中AB边上的中线CE；

（2）在图2中，画出△ABC中AC边上的中线BF．

【答案】（1）见解析；   

（2）见解析

【解析】

【小问1详解】

解：如图1所示，CE即为所求．

【小问2详解】

解：如图2所示，BF即为所求．

16. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是_________；

（2）小沈从中随机抽取一张卡片，再从余下卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“A，共享出行”和“D，共享知识”的概率．

【答案】（1）；   

（2）见解析．

【解析】

【小问1详解】

解：有“共享出行、共享服务、共享物品、共享知识”共4张卡片，

小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；

【小问2详解】

解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，

抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．

17. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为且经过点．

（1）求该二次函数的解析式．

（2）求直线与该二次函数图象的交点的坐标．

【答案】（1）；   

（2）两个函数交点坐标是（2，－3）和（－1，0）

【解析】

【小问1详解】

解：设二次函数是，

把B（3，0）代入函数，

则，

解得，

所求函数是；

【小问2详解】

解：根据题意联立直线解析式与二次函数解析式组成方程组为

，

解得，

，，

∴两个函数交点坐标是和．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出△ABC关于y轴对称的，直接写出点的坐标_________；

（2）画出绕点O顺时针旋转90°后的，求出线段扫过的面积（结果保留π）．

【答案】（1）见解析，坐标为（－2，－4）；   

（2）

【解析】

【小问1详解】

如图所示，坐标为（－2，－4）；

【小问2详解】

如图所示，即为绕点O顺时针旋转90°后三角形；

线段扫过的面积为：

19. 已知二次函数．

（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；

（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．

【答案】（1）见解析；（2）．

【详解】（1）由题意，得 △=，

∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．

（2）∵ ，

∴ ，．

∵该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数，

∴ ，

即．

∵ m取最小整数；

∴．

20. 如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠B＝∠F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠B＝30°，连接AD，求AD的长．

【答案】（1）见解析；   

（2）

【解析】

【小问1详解】

证明：连接CO．

∵D为BC的中点，

∴OD⊥BC，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠OCB，

又∵∠B＝∠F，

∴∠OCB＝∠F，

∵OD⊥BC，

∴∠DCF+∠F＝90°，

∴∠DCF+∠OCB＝90°，即OC⊥CF，

∴CF为的切线．

【小问2详解】

解：连接AD，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ACB＝90°．

∵AB＝4，∠B＝30°，

∴AC＝2，，

，

在Rt△ACD中，．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．

（1）第1题：某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住的每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大?

第2题：张大爷佩戴能计步的运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后整理数据如下表．与第一次锻炼相比，张大爷第二次锻炼时步数在增加，平均步长在减少，其中步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设平均步长减少的百分率为x（0<x<0.5）．

（2）根据题意完成表格填空①_________，②_________．

（3）求平均步长减少的百分率x；【温馨提示：数学运算可以先约分后化简】

（4）张大爷发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求张大爷这500米的平均步长．

【答案】（1）房价为350元时，宾馆利润最大；   

（2）①0.6（1－x）；②10000（1+3x）；   

（3）x＝0.1；    （4）王老师这500米的平均步幅为0.5米

【解析】

【小问1详解】

解：设房价为（180+10x）元，宾馆总利润为y元，依题意得：

∵－10<0，抛物线开口向下，

∴当x＝17时，y有最大值，

180+10x=350元，

答：房价为350元时，宾馆利润最大．

【小问2详解】

解：由题意得第二次锻炼的平均步长为，第二次锻炼的平均步数为，

故答案为：；；

【小问3详解】

解：由题意得：10000（1+3x）×0.6（1－x）＝7020．

解得：（舍去），

∴x＝0.1；

【小问4详解】

解：根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）＝23000，

500÷（24000－23000）＝0.5（m）．

答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．

22.

已知△ABC中，∠ACB＝135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE．

（1）求证：△ACD为等腰直角三角形；

（2）若BC＝1，AC＝2，求四边形ACED的面积．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【小问1详解】

证明：∵△AED是△ABC旋转90°得到的，

，∠CAD＝90°，

∴AC＝AD，

∴△ACD是等腰直角三角形；

【小问2详解】

解：∵△ACD是等腰直角三角形，

∴∠ADC＝∠ACD＝45°，AC＝AD＝2，

，

由(1)知，∠ADE＝∠ACB＝135°，

∴∠CDE＝∠ADE－∠ADC＝90°，

∵DE＝BC＝1，

∴．

六、（本大题共12分）

从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．其中第1题满分为7分，第2题满分为12分

23. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．

【答案】，

【解析】

【详解】解：由题意得可知：AP＝2t，BQ＝4t，

∵AB＝12mm，

∴BP＝12－2t，

∵∠B＝90°，

（0<t≤6）

24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E，经过E、D两点的抛物线的图象记为，抛物线的图象记为．设矩形ABCD的周长为L．

（1）当点A的横坐标为－1时，求m的值；

（2）求L与m之间的函数关系式：

（3）当与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【小问1详解】

解：当x＝0时，y＝1，故E（0，1），

当点A的横坐标为－1时，A（－1，1），D（1，1）

把D（1，1）代入中，得到，

．

【小问2详解】

解：∵抛物线的对称轴，

∴AE＝ED＝2m，

∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，

∴AD＝BC＝4m，AB＝CD＝2，

【小问3详解】

解：∵当与矩形ABCD恰好有两个公共点，

∴抛物线的顶点在线段AE上，

，

∴m＝2或－2（舍弃），

．