新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练2（含解析）

大题保分练2

1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos A＝1，B＝.

(1)求b的值；

(2)求△ABC面积的最大值．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理知，

＝＝＝2R，

∵acos C＋ccos A＝1，

∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，

即2Rsin B＝1，

∴b＝2Rsin B＝1.

(2)在△ABC中，由余弦定理得

cos B＝＝，

∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，

∴(2－)ac≤1，

∴ac≤2＋，

又∵S△ABC＝acsin B＝ac，

∴S△ABC≤，

即△ABC面积的最大值为.

2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．

(1)求比赛结束，乙得4分的概率；

(2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值．

解　(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，败一场，最后一局比赛，甲胜．

则比赛结束，乙得4分的概率为

C×××＝.

(2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分，

其概率为2＝；

若甲连败两局结束比赛，甲得2分，

其概率为2＝；

若甲以2∶1结束比赛，甲得6分，

其概率为C×××＝；

若乙以2∶1结束比赛，甲得4分，

其概率为C×××＝，

故X的分布列为

E(X)＝2×＋4×＋6×＝.

3．(2022·襄阳模拟)已知等差数列{an}满足a1＝1，且前四项和为28，数列{bn}的前n项和Sn满足2Sn＝3bn－3λ(λ∈R)．

(1)求数列{an}的通项公式，并判断{bn}是否为等比数列；

(2)对于集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}．若λ＝1，设数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将集合A－B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前30项和T30.

解　(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，且前4项和为28，∴S4＝4×1＋×d＝28，解得d＝4，

∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3.

∵2Sn＝3bn－3λ，

∴当n≥2时，2Sn－1＝3bn－1－3λ，

两式相减得2bn＝3bn－3bn－1(n≥2)，

即bn＝3bn－1(n≥2)，

又2b1＝3b1－3λ，

∴b1＝3λ.

∴当λ＝0时，数列{bn}的通项公式为bn＝0，不是等比数列；

当λ≠0时，数列{bn}是首项为3λ，公比为3的等比数列，且bn＝λ3n.

(2)由(1)知bn＝3n，

则b4＝81，b5＝243，

∵a30＝4×30－3＝117，

∴b4<a30<b5，

∴T30中要去掉{bn}的项最多4项，

即3,9,27,81，

其中9,81是{an}和{bn}的公共项，

∴数列{cn}的前30项和T30由{an}的前32项和去掉9,81，

则T30＝(a1＋a2＋…＋a32)－(9＋81)

＝－90＝1 926，

∴数列{cn}的前30项和T30为1 926.

4.(2022·唐山模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D为BC的中点，E为棱AA1上一点，AD⊥DC1.

(1)求证：BC⊥平面A1AD；

(2)若平面A1DE与平面C1DE的夹角为30°，求直线CE与平面C1DE所成角的正弦值．

(1)证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，

∴CC1⊥AD，

又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，

CC1⊂平面BCC1B1，DC1⊂平面BCC1B1，

∴AD⊥平面BCC1B1，

又BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC.

由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，

BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，

又AD∩AA1＝A，AD⊂平面A1AD，

AA1⊂平面A1AD，

∴BC⊥平面A1AD.

(2)解　由(1)知，AD⊥BC，

又D为BC的中点，∴AB＝AC.

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，

设AE＝t(0≤t≤2)，则E(0，，t)．

由(1)知，平面A1DE的一个法向量可取＝(2,0,0)，

设平面C1DE的法向量为n＝(x，y，z)，

∵＝(1,0,2)，＝(0，，t)，

∴

令x＝2，

解得z＝－，y＝t，

∴n＝(2，t，－)，

∴|cos〈，n〉|＝

＝＝，

解得t＝1，此时n＝(2，1，－)，

设CE与平面C1DE所成角为θ，

∵＝(－1，，1)，

∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝

＝＝，

即直线CE与平面C1DE所成角的正弦值为.