新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练8（含解析）

小题满分练8

一、单项选择题

1．(2022·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|ln x>0}，则(∁UA)∩B等于(　　)

A．(0,2)   B．(0,2]

C．(1,2)   D．(1,2]

答案　D

解析　因为A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，

故∁UA＝{x|－1≤x≤2}，

又B＝{x|ln x>0}＝{x|ln x>ln 1}＝{x|x>1}，

故(∁UA)∩B＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．

2．(2022·葫芦岛模拟)某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x(单位：℃)的关系．现收集了7组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，7)得到如图所示的散点图．

由此散点图，在20 ℃至36 ℃之间，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的经验回归方程类型的是(　　)

A．y＝a＋bx   B．y＝a＋

C．y＝a＋bex   D．y＝a＋bln x

答案　C

解析　由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的升高，增长速度越来越快，所以y＝a＋bex最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的经验回归方程类型．

3．(2022·中山模拟)已知{an}为正项等比数列，且a2a4＝4，设Tn为该数列的前n项积，则T5等于(　　)

A．8  B．16  C．32  D．64

答案　C

解析　因为{an}是正项等比数列，

所以a＝a2a4＝4，a3＝2或a3＝－2(舍去)，

T5＝a1a2a3a4a5＝a＝25＝32.

4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)

A．－6  B．－5  C．5  D．6

答案　C

解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，

所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，

b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.

因为〈a，c〉＝〈b，c〉，

所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，

即＝，

即＝3＋t，解得t＝5，故选C.

5．(2022·福州模拟)充电电池是电动汽车的核心零件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向，已知电池充入的电量E(单位：kW·h)与充电时间t(单位：min)满足函数E(t)＝M(1－e－kt)，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为80 kW·h，充电30 min充入了40 kW·h的电量；电池B的容量为60 kW·h，充电15 min充入了20 kW·h的电量．设电池A的充电效率为k1，电池B的充电效率为k2，则(　　)

A．k1>k2

B．k1<k2

C．k1＝k2

D．k1，k2的大小关系无法确定

答案　B

解析　由题意得

则

同理

则

得

由指数函数单调性得－30k2<－30k1，即k1<k2.

6．(2022·邯郸模拟)已知直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若·＝0，则m的值为(　　)

A．－4或0   B．－4或4

C．0或4   D．－4或2

答案　A

解析　由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，

则圆心为C(0，－2)，半径为2，

由·＝0，得CA⊥CB，即圆心C到直线x－y＋m＝0的距离为2×＝，

即＝，即m＝0或m＝－4.

7.(2022·潍坊模拟)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，圆x2＋y2＝a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　B

解析　联立

且M在第一象限，

可得M，

而A1(－a，0)，A2(a，0)，

所以|MA1|2＝2＋2＝2a2，

|MA2|2＝2＋2＝2a2，

由题意知，∠A1MA2＝∠PMA2＝90°，

故△MPA2是等腰直角三角形，

所以∠MA2P＝45°，

而∠PA2M的内角平分线与y轴平行，

所以∠MA1A2＝22.5°，

又tan 45°＝＝1，

可得tan 22.5°＝－1，

则tan2∠MA1A2＝2＝

＝(－1)2，可得＝3－2，所以e＝.

8．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　)

A．c>b>a   B．b>a>c

C．a>b>c   D．a>c>b

答案　A

解析　因为b＝cos ＝1－2sin2，

所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2

＝2×.

令f(x)＝x－sin x，

则f′(x)＝1－cos x≥0，

所以函数f(x)在R上单调递增，

所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，

即有x>sin x(x>0)成立，

所以>sin ，得>sin2，所以b>a.

因为＝＝4tan ，

所以令g(x)＝tan x－x，

则g′(x)＝－1＝≥0，

所以函数g(x)在定义域内单调递增，

所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，

即有tan x>x(x>0)成立，

所以tan >，即4tan >1，

所以>1，又b>0，所以c>b.

综上c>b>a.故选A.

二、多项选择题

9．(2022·潍坊质检)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　)

A．复数z的虚部为i

B.＝－i

C．z2＝z－1

D．复数z的共轭复数为－＋i

答案　BC

解析　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)．

因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，所以

解得

即z＝＋i.

对于A，复数z的虚部为，故A错误；

对于B，＝＝－i，

故B正确；

对于C，因为z2＝2＝－＋i，

z－1＝－＋i，

所以z2＝z－1，故C正确；

对于D，复数z的共轭复数为－i，故D错误．

10.(2022·深圳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有(　　)

A．F为AA1的中点

B．F为BB1的中点

C．F为CC1的中点

D．F为A1D1的中点

答案　ACD

解析　如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，得EM∥平面ACD1，同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内的相交直线，则得平面EMGHIJ∥平面ACD1，若EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，A，C，D满足．

11．(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝|sin x|sin x，则(　　)

A．f(x)为周期函数

B．y＝f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的值域为[－1,1]

D．f(x)在上单调递增

答案　ACD

解析　对于A选项，

因为f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|sin(x＋2π)

＝|sin x|sin x＝f(x)，

所以2π是函数f(x)的一个周期，A正确；

对于B选项，

因为f(－x)＝|sin(－x)|sin(－x)

＝－|sin x|sin x＝－f(x)，

则y＝f(x)的图象关于原点对称，B错误；

对于C选项，当x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z时，

f(x)＝sin2x＝∈[0,1]；

当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z时，

f(x)＝－sin2x＝∈[－1,0]．

故函数f(x)的值域为[－1,1]，C正确；

对于D选项，

当x∈时，

2x∈(－4π，－3π)，

因为f(x)＝sin2x＝，

所以f(x)在上单调递增，D正确．

12．(2022·益阳模拟)定义f″(x)是y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，且在x0两侧f″(x)异号，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．可以证明，任意三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是(　　)

A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数

B．函数f(x)＝x3－3x2－3x＋5的对称中心也是函数y＝tan x的一个对称中心

C．存在三次函数h(x)，方程h′(x)＝0有实数解x0，且点(x0，h(x0))为函数y＝h(x)的对称中心

D．若函数g(x)＝x3－x2－，则g＋g＋g＋…＋g＝－1 011

答案　BCD

解析　对于A，

设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

易知y＝f″(x)是一次函数，∴任何三次函数都只有一个对称中心，故A不正确；

对于B，由f(x)＝x3－3x2－3x＋5，

得f′(x)＝3x2－6x－3，f″(x)＝6x－6，

由6x－6＝0，得x＝1，

∴函数f(x)的对称中心为(1,0)，

又由x＝，k∈Z，得x＝k，k∈Z，

∴f(x)的对称中心是函数y＝tan x的一个对称中心，故B正确；

对于C，设三次函数

h(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

所以h′(x)＝3ax2＋2bx＋c，h″(x)＝6ax＋2b，

联立得3ac－b2＝0，

即当3ac－b2＝0时，存在三次函数h(x)，方程h′(x)＝0有实数解x0，且点(x0，h(x0))为函数y＝h(x)的对称中心，故C正确；

对于D，∵g(x)＝x3－x2－，

∴g′(x)＝x2－x，g″(x)＝2x－1，

令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝，

∵g＝×3－×2－＝－，

∴函数g(x)＝x3－x2－的对称中心是，∴g(x)＋g(1－x)＝－1，

设T＝g＋g＋g＋…＋g，

∴2T＝＋＋…＋＝－2 022，

∴g＋g＋g＋…＋g＝－1 011，故D正确．

三、填空题

13．(2022·潍坊模拟)为了解某社区居民2022年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得经验回归方程＝0.76x＋0.4，则t＝________.

答案　8.5

解析　由题意知，

＝＝10，

＝＝，将(，)

代入＝0.76x＋0.4可得，

＝0.76×10＋0.4，

解得t＝8.5.

14．(2022·邵阳模拟)一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位是高三(1)班的同学，现要选4人去“表彰会”上演讲，若高三(1)班的2人同时参加，则2人演讲的顺序不能相邻，则要求高三(1)班至少有1人参加的演讲的方案共有________种．(用数字作答)

答案　3 024

解析　若高三(1)班只有1人参加，

则有CCA＝2 688(种)不同的方案；

若高三(1)班2人都参加，则有CAA＝336(种)不同的方案，故共有3 024种不同的方案．

15．(2022·天津模拟)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________．

答案　2

解析　因为a>0，b>0，且ab＝1，

所以＋＋＝＋＋

＝＋≥2＝2，

当且仅当＝，且ab＝1，

即或时，等号成立．

16．(2022·潍坊模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1＝∠ADB1，则tan∠APB1＝________，点P的轨迹围成的封闭图形的面积为________．

答案　　

解析　tan∠APB1＝tan∠ADB1＝＝.

由正方体ABCD－A1B1C1D1知AB1⊥平面A1BCD1，又点P满足A1P⊥AB1，

所以点P在平面A1BCD1内运动，

如图，连接A1B，交AB1于点O，连接PO.

由对称性知，∠APO＝∠B1PO，

所以tan∠APB1＝＝，

解得tan∠APO＝，

所以PO＝＝，

所以点P的轨迹围成的封闭图形是以点O为圆心，为半径的圆，

所以面积S＝π×2＝.