新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练压轴题突破练2（含解析）

压轴题突破练2

1．(2022·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)－x2≥对于任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝ex－1－a，

①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

②当a>0时，

令f′(x)＝ex－1－a＝0，x＝1＋ln a，

当x∈(－∞，1＋ln a)时，

f′(x)<0，f(x)在(－∞，1＋ln a)上单调递减；

当x∈(1＋ln a，＋∞)时，

f′(x)>0，f(x)在(1＋ln a，＋∞)上单调递增．

(2)由f(x)－x2≥，

得ex－1≥x2＋ax＋＝2，

对于任意x≥0恒成立，

因此

记h(x)＝

由h′(x)＝得x＝1＋2ln 2，

当x∈[0,1＋2ln 2]时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

当x∈[1＋2ln 2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，

所以h(x)min＝1－2ln 2，

因此a≤2－4ln 2；

记t(x)＝

易知t(x)单调递减，

所以t(x)max＝t(0)＝

所以a≥

综上，实数a的取值范围为

2．(2022·石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，过点P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<0，x2>0.

(1)证明：直线PA的方程为－y1y＝1.

(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP＋∠BFP＝π.

证明　(1)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y－1＝k(x－1)，

联立

消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0，

则Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋2)＝0，

化简得k2＋k－1＝0.

因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标

x1＝－＝，

得y1＝，则＝3k，

故直线PA的方程为y＝(x－x1)＋y1，

则yy1＝－＋y，即－y1y＝1.

(2)由(1)同理可得lPB：－yy2＝1，

又lPA与lPB均过点P(1,1)，

所以－y1＝1，－y2＝1.

故lAB：－y＝1，F(－2,0)，

·＝(3,1)·(x1＋2，y1)＝3x1＋6＋y1，

·＝(3,1)·(x2＋2，y2)＝3x2＋6＋y2，

又因为x1<0，x2>0，

所以x1≤－，x2≥，

则cos〈，〉＝

＝＝－，

cos〈，〉＝

＝＝，

故cos〈，〉＝－cos〈，〉，

故∠AFP＋∠BFP＝π.