2024内江威远中学高三上学期9月月考数学（文科）试题含解析

威远中学校2023-2024学年高三上学期月考

数学（文科）

2023.9.22

命题人：黄禄超  做题人：杨竣铃  审题人：李斌  袁理建

数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1. 设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，B＝{x|0＜＜2}，则A∩B＝（　　）

A. （2，4） B. （1，1） C. （﹣1，4） D. （1，4）

【答案】A

【解析】

【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算即可．

【详解】A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|1＜x＜4}；∴A∩B＝（2，4）．

故选A．

【点睛】本题主要考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集的运算．

2. 为虚数单位，复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得.

【详解】由，得，

所以，

故选：B.

3. 已知向量，，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量坐标运算及模长公式求解即可.

【详解】，，

，

.

故选：D.

4. 已知为奇函数，且时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.

【详解】为奇函数，且时，，.

故选：D

5. 已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）．

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】画出可行域及目标函数，利用几何意义求出最小值.

【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．目标函数，

即，平移直线，当其过点A时纵截距最小，即z最小．

由，可得即点，所以．

故选：B

6. 已知命题：函数在上是减函数，命题：恒成立，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用二次函数的性质、基本不等式求得两个命题，再利用充分与必要条件的相关定义判定即可.

【详解】易知函数的对称轴为，即函数的单调递减区间为，

故，命题，；

又恒成立等价于，

由基本不等式可知，当且仅当时取得等号，

即，命题，

显然，即可以推出不能推出，

故是的充分不必要条件.

故选：A

7. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；

当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.

故选：C

8. 设，，，则，，的大小关系是．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.

【详解】因为

，故本题选C.

【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.

9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】在中，由余弦定理求出，从而根据两个等边三角形的面积比求得所求概率.

【详解】在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，所以所求概率为.

所以本题答案为A.

【点睛】本题考查几何概型和余弦定理应用，本题关键在于利用余弦定理求出，属中档题.

10. 已知函数，则下列结论成立的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称

C. 的最小值与最大值之和为0 D. 在上单调递增

【答案】B

【解析】

【分析】对于根据即可求出；对于可根据函数在对称轴处取的最值验证；对于利用解析式可直接求得最大和最小值，验证即可；对于可求得函数的单调增区间，验证即可.

【详解】对于,的最小正周期为,故错误；

对于，2为最大值，

所以的图象关于直线对称，故正确；

对于依据函数解析式得故错误；

对于令，解得

令，得的一个增区间为，

故在上为减函数，在上为增函数，故错误.

故选：

11. 已知函数是上的偶函数，，当时，，则（    ）

A. 的图象关于直线对称

B. 4是的一个周期

C. 在上单调递减

D. ：

【答案】A

【解析】

【分析】易得为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可.

【详解】由题知，

因为函数是上的偶函数，

所以为奇函数，所以

对于A：因为

所以，从而

所以

所以的图象关于直线对称，A选项正确；

对于B：由A知

所以，从而

所以是以8为周期的函数，B选项错误；

对于C：当时，为增函数，

又因为为奇函数

所以在上单调递增，C选项错误；

对于D：因为

所以

又

因为在上单调递增

所以，D选项错误；

故选：A.

12. 已知函数(，e为自然对数的底数)与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可将问题转化为方程在上有解，分离参数可得，令，利用导数求出值域即可求解.

【详解】因为函数()与的图象上存在关于直线对称的点，

则函数(，e为自然对数的底数)

与函数的图象有交点，

即在上有解，

即在上有解，

令，（），

，

当时，，函数为减函数，

当时，，函数增函数，

故时，函数取得最小值，

当时，，

当时，，

故实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据指数与对数运算性质计算即可.

【详解】.

故答案为：-2

14. 函数的值域为__________

【答案】

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.

【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，

上单调递减，在上单调递增，

当时，；当时，，

的值域为.

故答案为：.

15. 已知，若数列的前项和为，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用裂项相消法进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

因此，

所以的取值范围为

故答案为：

16. 已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】求导，分，与三种情况，结合函数极值及函数图象的走势，得到不等式，求出实数a的取值范围.

【详解】由函数，则，

当时，不经过三四象限，不合题意，舍去，

当时，由得或，

若，则当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故在处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限，

在处取得极小值，且极小值为，函数一定过第三和第一象限，

要想经过第四象限，只需，解得；

若，则当或时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，

在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限，

函数一定过第二和第四象限，要想经过第三象限，只需，解得，

综上，实数a的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值，利用函数图象的变化趋势后得出极值满足的性质，从而求解.

三、解答题（本题共计6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17. 近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在月日随机抽取了该市人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于分钟的人称为“运动达人”．

（1）估算这人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；

（2）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．

附：，，

【答案】（1）众数为35，平均数为   

（2）填表见解析；没有的把握认为“运动达人”与性别有关

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图求众数与平均数知识可得答案；（2）由题目数据可完成列联表，后由独立性检验知识可得答案.

【小问1详解】

（1）由众数的定义可知，这人当天体育锻炼时间的众数为的组中值，即35，

设这人当天体育锻炼时间的平均数为；

则；

【小问2详解】

根据已知条件，列联表如下：

根据列联表中的数据有

，

所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．

18. 等比数列的各项均为正数，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】解：（1）设数列的公比为，

则，由

得：，所以.

由，得到

所以数列的通项公式为.

（2）由条件知，

又

将以上两式相减得

所以.

19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求B；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；

（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出 ，进而求出的周长.

【详解】解：（1），

由正弦定理得：，

整理得：，

∵在中，，

∴，

即，

∴，

即；

（2）由余弦定理得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的周长为.

20. 已知函数.

（1）求的最值；

（2）求曲线过点的切线方程.

【答案】（1）最小值为，无最大值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案；

（2）设切点为，根据导数的几何意义得出斜率.根据已知结合斜率的公式即可得出.联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案.

【小问1详解】

由已知可得，的定义域为，

且.

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增.

所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.

所以，的最小值为，无最大值.

【小问2详解】

设切点为，则

根据导数的几何意义可知，

曲线在处的斜率，

则，

所以，，

整理可得，.

设，则在上恒成立，

所以，在上单调递增.

又，所以存在唯一解.

所以，的解为，切点，

此时斜率为，

切线方程为，整理可得，切线方程为.

21. 已知函数.

（1）若为的极小值点，求实数的值；

（2）已知集合，集合，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，由求出，再进行检验即可；

（2）转化为当时，恒有，求导，分与两种情况，求出满足要求，时不合要求，从而得到答案.

【小问1详解】

，由题可知，，

当时，，当时，；

当时，，故满足为极小值点.

【小问2详解】

由题意，即当时，恒有，即有，

显然，，

当，即时，恒成立，所以在单调递增，

，即时满足恒成立；

当即时，由得，其中，

由得，

所以时，单调递减，

所以时，与题设矛盾.

综上，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，

一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.

二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，

三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.

（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若点坐标为，圆与直线交于、两点，求的值.

【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在圆的极坐标方程两边同时乘以，由可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义可求得的值.

【详解】（1）在直线的参数方程中消去参数，可得直线的普通方程为，

在圆的极坐标方程两边同时乘以，可得，

由可得圆的直角坐标方程为，即；

（2）设点、对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，即，

，由韦达定理得，，

又直线过点，所以.

【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题.

选修4-5.：不等式选讲

23. 已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.

（1）求f(x)的最小值m；

（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：.

【答案】（1）3；（2）证明详见解析.

【解析】

【分析】（1）分段讨论去绝对值可得到值域，从而得到最小值；

（2）配凑成形式，再利用均值不等式求最值即可.

【详解】（1）当x<-1时，；

当–1≤x<2时，；

当x≥2时，；

综上，f(x)最小值m=3；

（2）由（1）知m=3，因为a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，

，

当且仅当a=b=c=1时，等号成立，

所以即.

【点睛】本题考查了分段函数的定义域、值域及求最小值的问题，考查了利用基本不等式求最值的问题，注意等号成立的条件.